книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

кус, неустойчивый узел и седло, а также один предельный цикл — устойчивый. Из диаграммы видна роль сепаратрис, как разде­ ляющих кривых, являющихся «водоразделом» для траекторий различных типов. Мы рассмотрели три типа особых траекторий. Определив все особые траектории, разбиваем фазовую плоскость на отдельные ячейки, каждая из которых заполнена фазовыми траекториями одного типа. Характер фазовых траекторий в каж­ дой из ячеек нетрудно определить, зная особые траектории. Та­ ким путем можно получить качественную картину всех возмож­ ных движений системы.

ПРИЛОЖЕНИЕ III

О МЕТОДЕ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

Рассмотрим систему 2-го порядка, описываемую дифферен­ циальным уравнением

х + k2x + \if{x, х) = 0. (ПШ. 1)

Как известно, для случая малого р периодические решения этого уравнения могут быть найдены по методу Пуанкаре [40]. Ван дер Поль разработал для этого случая метод приближен­ ного исследования процесса установления и определения перио­ дических решений [41].

Н. Н. Боголюбов и Н. М. Крылов развили точный метод оты­ скания переходных процессов и периодических решений уравне­ ния (ПШ. 1) для случая малого р [3]. Для случая большого р известен приближенный метод «разрывной трактовки» и точный метод построения асимптотических решений [24]. Рассматрива­ емый в настоящей работе приближенный метод интегрирования позволяет в ряде случаев приближенно найти форму периодиче­ ских решений, процесс установления и период колебания.

Излагаемый метод дает хорошие результаты при исследова­ нии нелинейных консервативных систем независимо от величи­ ны р, если сила упругости монотонно возрастает с отклонением. При этом несущественно, симметрична ли характеристика сил упругости относительно начала координат или несимметрична. Во многих случаях неконсервативных систем изложенный метод также дает вполне удовлетворительные результаты, в особенно­ сти при определении периода колебаний. При этом формулы для периода колебаний в ряде задач оказываются действительными для любых р.

Необходимо также отметить, что предлагаемый метод позво­ ляет без труда установить, насколько изучаемая нелинейная си­ стема близка к какой-либо линейной и, следовательно, в какой области значений параметров применимы решения, полученные

230

по любому из вариантов метода малого параметра. Условие бли­ зости соблюдается, если полупериоды (или четверти периода ко­ лебаний), найденные по методу малого параметра, близки или равны соответствующим величинам, найденным по предлагаемо­ му методу. Указанные условия являются необходимыми.

1.О МЕТОДЕ ВАН ДЕР ПОЛЯ И ЕГО ОГРАНИЧЕНИЯХ

Пусть дано уравнение

х + k2x + |i/(х, х ) —0.

Согласно обычной трактовке метода Ван дер Поля для этого уравнения ищется решение в виде

=cos(kt + у )— a -^ -sin (kt + y)— aksin(kt + y),

-^ - = — /[acos(Ztf + у), — a£sin(6f + y)]sin(ftf-hy). (ПШ.7) dt k

231

Умножая выражение (ПШ.4) на sin(^ + v), а уравнение

Вводя новую переменную и — ki + у, находим

Считая теперь величину p достаточно малой, усредняем пра­ вые части выражений (ПШ.7) и (ПШ.8) за одно колебание в предположении а = const и получаем

2п

Возводим обе части этого выражения в квадрат:

Так как p мало, квадратом его можно пренебречь, и вместо последнего уравнения получаем

2п

с92(а) = А2 + - ^ - Г /(acosu, — afcsinu)cosudu. (ПШ.12)

п а j

232

Последнее выражение можно переписать в виде

2л

а 2(а )= -----Г /,(acosu, — aks\nu)cosudu, (ПШ.13)

яа J

о

где

^(acosu, — ak sin и) = k2ucos и + \if(a cos и, — a&sinu).

Укажем теперь на те ограничения, которые накладываются при применении метода Ван дер Поля на вид уравнения (ПШ.1). Эти ограничения не сводятся только лишь к требованию мало­ сти |х. Рассмотрим выражение (ПШ.10) для средней частоты колебаний ш(а). Нетрудно заметить, что в окончательное выра­ жение для частоты (после интегрирования) не войдут члены, учи­

тывающие силы трения, если эти члены нечетны по х. Это отно­ сится, например, к дифференциальному уравнению затухающих колебаний

х + 2bx + k2x = О

ик уравнению Ван дер Поля

х— р (1 — х2)х + х = 0.

Если члены, зависящие от скорости, не нечетны по х, то они будут влиять на результат, но учет их влияния формулой (ПШ.10) будет обычно неправильным.

Отметим влияние упругих (консервативных) сил при опреде­ лении частоты. Правильным будет учет этих сил в пределах рас­ сматриваемого приближения лишь в том случае, если соответст­ вующие члены нечетны по х, т. е. если характеристики упругой силы симметричны относительно начала координат. Если же эти

неверным даже качественно.

Выражение (ПШ.10) дает описание процесса установления. Оно будет правильно учитывать скоростные члены, если послед­

ние нечетны по х. В противном случае их учет может быть не­ верным.

Рассматривая ограничения в сведениях, даваемых методом Ван дер Поля, необходимо отметить, что его применение для случая несимметричных систем никак не учитывает этой несим­ метричности при определении стационарной амплитуды, хотя по­ грешность может иметь порядок ц.

Отметим и другой недостаток при использовании одного из полученных выражений — накладывание ненужных ограничений при использовании формулы (ПШ.13), дающей квадрат часто­

233

ты. Из структуры и самого вывода выражения (П111.11) следу­ ет, что оно применимо лишь пока р достаточно мало. Если, на­ пример, при фиксированном значении р/г будет уменьшаться до нуля, второй член правой части, а вместе с ним и средняя час­ тота о)(а) будут неограниченно увеличиваться, между тем как в действительности это обстоятельство, как очевидно из физичес­ ких соображений, не может иметь места.

Так как выражения (ГИИ.12) и (ПШ.13) получены из урав­

ражения (ПШ.12) и (ПШ.13) применимы лишь в случае малых р. В действительности столь общий вывод является неверным. В случае, например, симметричных консервативных систем, т. е. при выполнении условия

f(x, X) = f(X )= — f(— X),

требование малости р при использовании формулы (ПШ.13) не является необходимым, а лишь достаточным. Рассматривая, на­ пример, крутильные колебания вала, описываемые уравнением

х + kx + h sgn х = О,

для квадрата частоты получаем выражение

Казалось бы, очевидным условием применимости этой форму-

ft

лы должна служить малость отношения — .измеряющая откло- aft

нение зависимости &x + /isgn;c от линейного закона*f(x) — kx.

< П 1 , , Л 5 )

В то же время, если k = 0, точное выражение для периода легко находится из закона равноускоренного движения

П . , . - 4 У Т | / i = 5 , 6 5 j / - V

234

Сравнивая последние выражения, замечаем, что ошибка в ве­ личине периода, даваемая приближенной формулой, оказывается меньше 2 %.

Это обстоятельство не является случайным. При использова­ нии выражения (ПШ.13) необходимым условием применимости формулы (П1П.10) является не формальное требование малости р, а, как будет показано дальше, условие того, чтобы действи­ тельное движение, определяемое дифферециальным уравнением, было близко к синусоидальному. В случаях малых р последнее условие, разумеется выполняется, однако оно может иметь место при любых р.

Можно привести ряд примеров, подтверждающих сказанное. Формула (П1П.13) представляет образец того, как ошибки, вносимые двумя последовательными допущениями, взаимно ком­

пенсируют одна другую.

2.ВЛИ ЯНИ Е С И Л Ы ТРЕНИЯ Н А Х А Р А К Т Е Р Д ВИ Ж Е Н И Я

Чтобы выяснить причины, обуславливающие ограничения в результатах, получаемых с помощью метода Ван дер Поля, рас­ смотрим ближе картину взаимодействия сил трения и сил упру­ гости в колебательных системах с одной степенью свободы. В уравнении

f(x, х) представляет собой некоторую силу, являющуюся, вообще говоря, функцией положения и скорости. Однако если заданы не­

которые начальные условия, например х = а, х = 0 при t = 0, то в силу уравнения (ПШ.16) х само является функцией положе­ ния и можно записать

f(x, x) = cp(x, а).

Действительно, предположим, что решение известно. Пусть оно имеет вид

Дифференцируя это выражение по времени, получаем

235

В дальнейшем всякий член в выражении (П1П.16), завися­ щий от х, будем называть силой трения, неконсервативной или скоростной силой.

Возьмем прямоугольную систему координат и на оси ординат

при t = 0. Выражение f(x, х) = ф(х, а) в дальнейшем будем на­ зывать также характеристикой силы. На рис. ПШ.1,а, б даны характеристики сил, действующих в линейной консервативной си­ стеме и в системе, описываемой уравнением

затуханием, меньшим критического; на рис. ПШ.2, б — при зату­ хании, большем критического. На рис. ПШ.2, в, г даны харак­ теристики силы, действующей в системе, описываемой уравнени­

при X < 1 и X> 1 .

Эти характеристики сил показывают, что трение может весьма сильно изменять картину действия сил в неконсервативных сис­ темах (по сравнению с консервативными), вызывая различный характер движения колеблющейся точки в различных четвертях колебания.

Рассмотрим рис. ПШ.2, а. В 1-й четверти (х > 0, х < 0) сила трения противоположна по знаку восстанавливающей силе, уменьшая последнюю. Больше того, после момента достижения достаточной скорости (величина которой уменьшается с увели­ чением степени демпфирования) сила трения оказывается столь значительной, что превосходит по абсолютному значению вели­ чину восстанавливающей силы. Начиная с этого момента, колеб­ лющаяся точка не только не увеличивает своей скорости, но и

236

pnc. пни

Рис. П1И.2

237

начинает тормозиться, что как бы эквивалентно перемещению по­ ложения равновесия из х = 0 в х = х\. Вследствие указанного, движущаяся точка приходит к положению равновесия за боль­ шее время и с меньшей скоростью, чем в соответствующей кон­ сервативной системе (при затухании, равном нулю). Мгновенная,

аследовательно, и средняя частоты оказываются меньшими, чем

вконсервативной системе.

Во 2-й четверти колебания (х > 0, х < 0) сила трения скла­ дывается с восстанавливающей силой, увеличивая последнюю. Вследствие этого, колеблющаяся точка тормозится более энер­ гично и приходит к максимальному отклонению за меньшее вре­ мя, чем в соответствующей консервативной системе.

При этом отклонение оказывается меньшим, чем в 1-й чет­ верти. Мгновенная, а следовательно, и средняя частоты оказы­ ваются большими, чем в соответствующей консервативной сис­ теме, причем увеличение частоты во 2 -й четверти равно умень­ шению частоты в 1-ой. В 3-й и 4-ой четвертях колебаний взаимо­ действие силы трения и восстанавливающей силы имеет тот же характер, как соответственно в 1 и 2 -й четвертях, причем положе­ ние равновесия как бы перемещается из х = 0 в х = Хг. Вследст­ вие этого применение метода Ван дер Поля, осредняющего за целое колебание, не может обнаружить влияния силы трения в диссипативных системах, симметричных относительно начала.

Для 2-го колебания описанная картина движения сохраняет­ ся с той разницей, что начальное отклонение оказывается равным не а\, a a2(a2 < a i). При этом условные положения равновесия перемещаются в л:3 и х4(х3 < x t, х4 < jc2) и т. д.; с каждым коле­ банием амплитуды уменьшаются и движение затухает.

В случае отрицательного трения характер взаимодействия восстанавливающей и диссипативной сил является обратным описанному: в 1 и 3-й четвертях колебания (в 4 и 2-м квадрантах фазовой плоскости) сила трения совпадает по знаку с восстанав­ ливающей силой, увеличивая последнюю, во 2 и 4-й четвертях (в 1 и 3-м квадрантах) — противоположна. Вследствие этого, движущая точка приходит к положению равновесия за меньшее время и с большей скоростью, чем в соответствующей консер­ вативной системе,— происходит раскачка системы.

Таким образом, сила трения может по-разному взаимодейст­ вовать с силой упругости в разных четвертях колебания, опре­ деляя диссипацию или. накопление энергии и обеспечивая нали­ чие автоколебательного режима.

Возникает естественная мысль, нельзя ли вместо анализа од­ ной системы, в которой силы трения по-разному взаимодейству­ ют с силой упругости в каждой из четвертей колебания, рассмат­ ривать такие системы, в каждой из которых характер взаимо­ действия сил трения и сил упругости будет во всех четвертях ко­ лебания одинаковым. Осреднение по частоте за целое колеба-

238

ние, примененное к каждой из таких систем, должно в этом слу­ чае уже учесть влияние силы трения. Такое разбиение можно провести.

Рассмотрим сразу общий случай уравнения (ПШ.16). Обозначая х — у, запишем это уравнение в виде системы

Будем рассматривать движение вокруг положения равновесия х = 0, которому соответствует особая точка с индексом Пуанка­ ре, равным +1. Движение вокруг этого положения равновесия можно найти, рассматривая вместо уравнения (ПШ.16) четыре независимые системы:

В каждой из этих систем в отличие от системы (ПШ.22) ха­ рактер взаимодействия сил трения и упругости является во всех четвертях одинаковым, что нетрудно видеть из структуры, урав­ нений (ПШ.23).

Системы (ПШ.23) обладают следующими свойствами:

1 ) интегральные кривые этих систем на фазовой плоскости симметричны относительно обеих координатных осей;

2 ) их решения с точностью до произвольных постоянных сов­ падают с решением (ПШ.16) соответственно в 4, 3, 2 и 1-м квад­ рантах фазовой плоскости.

Для доказательства 1-го свойства достаточно показать, что для каждой пары точек фазовой плоскости, симметричных отно-

239