книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

Рис. 3.8

трубопровода между ними, обладающего, вообще говоря, извест­ ной емкостью и инерционностью.

Профилированием поточной части компрессора, а также, на­ пример, выпуском воздуха из объема между ступенями здесь оказывается возможным влиять, в известных пределах, на вза­ имное расположение рабочих точек на характеристиках сту­ пеней.

Анализ проводится при пренебрежении гидравлическими со­ противлениями системы и аппроксимации характеристик ступе­

Исследование системы при пренебрежении емкостью проме­ жуточного трубопровода. Если пренебречь емкостью промежу­ точного трубопровода, можно принять равенство в любой момент времени секундных весовых расходов воздуха в сечениях k\ — kx

где Q — секундный весовой расход воздуха.

Введем безразмерные относительные переменные: отклонение

110

Мягкий режим самовозбуждения колебаний в системе соот­ ветствует отрицательной правой части выражения (3.47). Знак этого выражения зависит от параметров системы, формы харак­ теристик ступеней, а также от взаимного расположения рабочих точек на характеристиках компрессора. Жесткий режим само­ возбуждения колебаний будет иметь место, если знаки производ­ ных

и -^-[F,(Qo)F»(Qo)] dQ0 dQ%

на границе устойчивости противоположны, а

d3

1(Qo)^*2(Qo)] "> о.

dQl

Предположим, что приближенное периодическое решение уравнения (3.43) может быть записано в виде

где а (т), Ь(т) и с (т) — медленно меняющиеся функции времени. Укороченные уравнения Ван дер Поля для переходных про­

цессов при этом могут быть:

где

p = Y a 2 + bP\ tg 0 = — . a

Амплитуды стационарных колебаний определяются! корнями

Если рабочие точки находятся на устойчивых ветвях характери­ стики и ki > 0, то в системе нет иных устойчивых состояний равновесия. Далее автор работы [30] пишет: «Если же среди то­ чек устойчивой ветви характеристик компрессора имеются та­

соответствующее большей амплитуде предельного цикла. Именно в этих точках устойчивой ветви характеристик рассматриваемая система является потенциально-автоколебательной с жестким режимом самовозбуждения.

На неустойчивой ветви характеристик компрессора

точках неустойчивой ветви характеристик, где выполнены нера­ венства

полнены неравенства (3.52) и (3.53), а (3.54) не выполнено, то система не может здесь оставаться, так как эта точка неустой­ чива, не может совершать и периодических движений вокруг этого неустойчивого состояния равновесия, так как предельные циклы не существуют. Следовательно, здесь мы снова встреча­ емся с возможностью разрыва в экспериментально снимаемых характеристиках компрессора, когда система самопроизвольно по той или иной незамкнутой траектории, в зависимости от на­ чальных условий, смещается к новому состоянию равновесия, которое или само устойчиво, или вокруг него существует устой­ чивый предельный цикл.

Следует заметить, что возможность разрыва в характеристи­ ках компрессора а этом случае обусловлена не только опреде­ ленным сочетанием параметров системы и свойств характерис­ тик, но и принятым согласованием режимов работы ступеней. Разрыва в характеристиках можно избежать или, по крайней мере, сдвинуть его в желаемом направлении по расходу воздуха путем соответствующего размещения рабочих точек на характе­ ристиках ступеней.

Далее, всюду на неустойчивой ветви характеристик компрес­

равновесия Рг, определяемое по (3.51), разрыва в характерис­ тиках компрессора здесь быть не может.

Нужно отметить, что указанные в цитированном отрывке рассуждения и вводимое на их основе понятие разрыва характе-

114

ма. При этом на фазовой плоскости существуют два предельных цикла: большей амплитуды — устойчивый, меньшей — неустой­ чивый, равновесие — устойчиво (см. рис. 2.14).

Если к0> 0, k2= + У 8 1koki |, к4 < 0, то имеется полуустойчивый предельный цикл и устойчивое равновесие (см. рис. 2 .6).

В случае ко < 0 , k4> 0, k2< — V 8 1k0k41 положение равно­ весия неустойчиво. При этом имеются два предельных цикла: меньший — устойчивый, больший — неустойчивый.

Наконец, рассмотрим случай, который привел автора статьи

кмысли о разрыве характеристики компрессора: k0 < 0, к4 > 0 неравенство (3.54) не выполняется. В этом случае корни урав­

нения амплитуд — мнимые, т. е. Нет стационарных ' амплитуд. Физически это значит, что положительное трение, создаваемое

членом \k2\x2x, не может компенсировать влияние членов

(— |ко|— |k41х4]х, создающих отрицательное трение. В результа­ те происходит нарастание колебаний.

Как видим, это случай, рассматриваемый в теории колебаний и не требующий введения понятия разрыва характеристики ком­ прессора, которое само по себе физически не оправдано.

Здесь нужно отметить, что на практике неограниченное нарас­ тание колебаний, разумеется, не наблюдается: или нарастание колебаний прекращается, что свидетельствует о необходимости учета членов более высокой степени в характеристике компрес­ сора; или компрессор ломается под влиянием слишком интен­ сивного помпажа.

Исследование системы при учете емкости и инерционности промежуточного трубопровода. В этом случае мы должны учесть, что в сечениях k\— кх н а2— а2 не равны как секундные весовые расходы, так и статические давления (равенство давлений тре­ бует пренебрежения инерционностью промежуточного трубопро­ вода), при этом компрессор представляет систему с двумя степе­ нями свободы.

Рд = PaRl + pM Q ^ — QJ,

где Qi, С\ и Q2, с2— соответственно секундные весовые расходы воздуха и скорости звука за первой и второй ступенями ком­

прессора.

Введем безразмерные относительные отклонения:

Вводя безразмерное время

С|5,

2S, + e°i lj i252

2^1

и используя аналитические выражения характеристик ступеней, получаем следующую систему уравнений:

х + х = (<7о + Я\Х—q2x3)x + у,

у + Поу= ШхХ+ т2ху + т3у2+ mtx2+ т5ху2 +

где точками обозначено дифференцирование по т, а коэффициен­ ты выражаются соответствующими формулами.

Уравнения первого приближения системы (3.58) имеют ха­ рактеристическое уравнение

где

р —— (Ao+ *To)i г = т ю— ло<7о— А0>

q — tio + Ао9о+ 1» s — tiо— ТП\.

Рабочие точки равновесных режимов на характеристиках ком­ прессора, для которых одновременно выполнены неравенства Гурвица

р > 0, q > 0, г > 0, s > 0;

(3.60)

R = pqr— sp2— г2 > 0,

являются устойчивыми.

Переход к знаку равенства в неравенствах (3.60) дает ана­ литические выражения соответствующих границ устойчивости. Неравенства (3.60) позволяют построить качественную картину распределения областей устойчивости для типового случая рас-

116

Рис. 3.10

сматриваемой системы. Она представлена на рис. 3.10 в коорди­ натах dFl(Q0)/dQo, dF2(Qo)/dQ0 и фиксированных прочих пара­ метрах. Штриховка всюду нанесена со стороны области неустой­ чивости.

Сравнивая рис. 3.9 и 3.10, можно сделать вывод, что при учете емкости промежуточного трубопровода область устойчивости системы сужается. При этом оказываются ограниченными воз­ можности расширения области устойчивой работы системы, путем перепуска воздуха. Могут представиться случаи, когда уве­ личение количества перепускаемого воздуха не только не повы­ шает устойчивость системы, но и приводит к ее снижению. Если режим работы одной из ступеней будет смещен на восходящий участок характеристики, где величина положительной первой производной превышает некоторое ее предельное значение, то это может сделать неустойчивым весь компрессор. Паре чисто мнимых корней характеристического уравнения соответствует область устойчивости, ограниченная замкнутой кривой, распо­ ложенной в окрестностях начала координат.

Эта область устойчивости представляет интерес в связи с тем, что обычно выполняют согласование характеристик ступе­ ней путем сближения режимов максимального напора.

Рассмотрение показывает, что геометрические характерис­ тики промежуточного трубопровода могут оказать не только ко­ личественное воздействие на характер поведения компрессора, но и внести изменения в качественную картину. Из него также следует, что подбором геометрических характеристик не удается расширить сколь-нибудь существенно область устойчивой рабо­ ты, поскольку требуемые для повышения устойчивости геометри­ ческие пропорции оказываются неудобными по другим при­ чинам.

117

3.11. ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОСТУПЕНЧАТЫХ КОМПРЕССОРОВ

Из анализа двухступенчатых компрессоров видно, что взаи­ модействие ступеней может существенно менять картину поведе­ ния компрессора в целом: смещать зоны неустойчивой работы, в ряде случаев избыточным рассеянием энергии в одной ступе­ ни подавлять неустойчивость другой ступени и, следовательно, изменять размеры областей неустойчивости. В то же время ста­ ли очевидны высказанные соображения о целесообразных пу­ тях организации перепуска воздуха с целью повышения устой­ чивости компрессора: его предпочтительнее производить за низконапорными ступенями и за ступенями с большими положи­ тельными наклонами характеристик ступени.

Оценено также влияние геометрических размеров ступени на область устойчивости.

Указанный метод анализа может быть распространен и на

При аппроксимации компрессора системами с сосредоточен­ ными параметрами порядок системы дифференциальных уравне­ ний оказывается равным 2п, где п — число ступеней компрессо­ ра, причем каждая из ступеней определяет потенциально-колеба­ тельное звено.

При этом возникает более простая задача определения устой­ чивости в линейном приближении и значительно более трудная задача решения системы нелинейных уравнений, определяющих как условия возникновения мягкого и жесткого режимов помпажа, так и переходные и установившиеся режимы.

Поскольку вычислительные трудности нарастают очень быст­ ро с ростом числа ступеней, естественна тенденция использова­ ния ЭВМ. Такая попытка была сделана при исследовании много­ ступенчатых компрессоров в работе [42].

В ней рассматривается 12-ступенчатый компрессор, причем каждая ступень моделируется электрическим колебательным контуром.

К сожалению, дифференциальные уравнения, описывающие процесс, составлены неправильно: в связи с этим полученные результаты ошибочны.

Представляет интерес работа [43], где исследуется газотур­ бинный двигатель сверхзвукового самолета, имеющий многосту­ пенчатый компрессор. Каждая ступень представляется в виде со­ четания плоскости разрыва параметров и прямой трубы. Плос­

118

длина трубы принимается равной длине ступени. Высказываются некоторые соображения о поведении одноступенчатого компрес­ сора (при этом, правда, ошибочно утверждается, что в односту­ пенчатом компрессоре неустойчива вся восходящая область ха­ рактеристики и устойчивы все нисходящие участки), обсуждают­ ся вопросы адекватной идеализации каждой ступени.

При рассмотрении цилиндрической трубы как системы с со­ средоточенными постоянными используется уравнение вида (1.8). Компрессор (или его ступень) представляется в виде тру­ бы длиной I со входным Si и выходным s2 сечениями.

Эта труба заменяется прямой трубой со средним значением

„S,

5------ л »

где индексы 1 и 2 характеризуют условия на входе и на выходе ступени компрессора.

Т — статическая температура;' Tt — полная температура; W = = sop — массовый расход; о — скорость потока; р — плотность воздуха; М — число Маха потока; у — показатель адиабаты; R — газовая постоянная.

Выделим двумя поперечными сечениями элементарный объем

119