книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

Применяя этот метод, приходится заменять нелинейные члены в граничных условиях линеаризованными членами в смысле тео­ рии гармонического баланса или, например, использовать метод периодических решений Пуанкаре (метод малого параметра) в форме Витта [11]. Метод Фурье при указанном его видоизмене­ нии позволяет исследовать устойчивость системы, найти условия возникновения автоколебаний, определить амплитуду и частоту

автоколебаний и т. д.

Исследуем устойчивость, предполагая, что коэффициенты hu, h\2, Л21 и h22— постоянные величины. В таком случае получаем известную граничную задачу. Однако решение ее применительно к акустической системе с компрессором приводит к ряду инте­

Это линейное уравнение с постоянными комплексными коэф­ фициентами решается аналогично линейным уравнениям с пос­ тоянными вещественными коэффициентами. Для этого составля­ ется характеристическое уравнение, соответствующее уравне­ нию (4.31):

Отсюда находим два числа Xi и Аг, являющиеся безразмер­ ными волновыми числами. При этом решение уравнения (4.31) принимает вид

где А и В — произвольные постоянные, определяемые из началь­ ных условий.

130

В дальнейшем будем полагать, что коэффициенты pi и р2, ха­ рактеризующие распределенное сопротивление, малы, поэтому их квадратами и произведениями можно пренебречь. Следует помнить, что мы должны рассматривать две распределенные си­ стемы — входной и выходной трубопроводы и, следовательно, по­ лучим две пары волновых чисел Л-i и Х2. Решения характеристи­ ческого уравнения (4.32) для входного и выходного трубопрово­ дов дают (с точностью до р2)

но определить функцию р(т, у). Таким образом, решения урав­ нений (4.12) и (4.13) для входного (индекс 1) и выходного (ин­

В этих выражениях неопределенными являются коэффициен­ ты /4Ь Вь Л2 и В2 и комплексное число е. Для определения их

можно найти при исследовании автоколебаний. Что касается ве­ личины е, то она будет определена из условия равенства нулю

определителя однородной системы уравнений, получаемой, как указано, при удовлетворении граничным условиям.

Удовлетворяя граничным условиям путем подстановки выра­

£ц = Zi 1+ Z\m,

£ 1 2 = Zn + Zi;

£ 23 = (Z22- Z 2)e?l1;

E 2i = (Z"22— Z2) t \

£ 3i = —

e « ; Zi, -------Z „

лениями для входного и выходного трубопроводов соответствен-

132

но по потоку и против потока. Видно, что трубопроводы при на­ личии распределенного сопротивления и потока газов являются несимметричными четырехполюсниками. Если распределенное сопротивление отсутствует (щ = р,2 = 0), то волновые сопротив­ ления принимают значения Z\ и Z22, при этом они одинаковы в обоих направлениях.

4.3.ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ

ВСИСТЕМЕ

Проведем анализ полученного решения с целью оценки устой­ чивости системы. Для этого следует выбрать критерий устойчи­ вости. Движение в данной линеаризованной системе в зависи­ мости от положения рабочей точки на характеристике компрес­ сора может быть затухающим, периодическим или нарастающим.

Из выражений (4.36) — (4.39) следует, что характер зависи­ мости функций q и р от времени определяется знаком декремен­ та затухания б.

Если б > 0, то с течением времени функции q и р убывают, что соответствует устойчивому движению системы. При этом ус­ ловии в системе будет установившееся течение воздуха, а вся­ кие начальные возмущения будут убывать.

Если б = 0, то в системе могут установиться незатухающие периодические колебания. Наконец, если б < 0, то приращения р и q с течением времени будут неограниченно нарастать, т. е. движение в системе неустойчиво.

Таким образом, об устойчивости системы можно судить по знаку декремента затухания. Воспользуемся этим критерием для оценки устойчивости нашей системы. Определим также частоты собственных колебаний, на которых система может самовозбуждаться.

Для определения комплексной частоты е воспользуемся, как указано выше, уравнениями (4.40), переписав их в виде

ЕпАх+ ЕХ2ВХ+ 0 + 0 = 0;

0 + 0 + Е2зА2+ E2iB2= 0;

:Еп Ах+ Е^2ВХ+ Е22А2+ E2iB2= 0; ■£41^1 + Е±2В\ + Е^А2+ Е^В2= 0.

Для того чтобы эта система имела решения, отличные от ну­ левых, необходимо и достаточно приравнять нулю ее определи­ тель, т. е.

133

Поскольку входящие в уравнение (4.43) коэффициенты Ец{ являются комплексными величинами, то это комплексное урав­ нение распадается на два вещественных уравнения, из которых можно определить частоты со и декремент б:

уравнения для определения частоты и амплитуды автоколеба­ ний. При этом предварительно необходимо усреднить в смысле гармонического баланса входящую в эти уравнения величину F', которую следует считать функцией расхода (скорости).

- ( Z 22— Z2)[(0 ; - Z n ) e ^ 2+^ ) i'1 + ( 02- Z n ) e ^ 1+^ ) J'‘ ] Л* =

134

= ^ L-{(Z22- Z 2)[(0 2 - Z ;i)e(Xl+:4) y\_ (e' _ z ; ,) c(*2■+:ч) уi] eh _ z i i

- ( Z m — Za) [(0 l-Z ii)e (x«+^> y (0i— Zn)e(X2+x‘) 1'«]ex*}. (4.51)

Если воспользоваться выражениями (4.34) и (4.35), то мож­ но преобразовать степени различных членов выражения (4.51):

(Я2 + А.2) У\ + ^ 1 = — Х\ +X 2 + jb[(ai + a 2) y l + a2]\

(Я2 + Я|) ух + Яг = — Х\— х2+ /е [(<Z| + а2)ух+ а2];

(Я[ -)- Я^ ух -+- Я2 = Х\ + х2+ /е [(а] + а2)ух+ а2],

где

' - Л -

Из этих выражений следует, что все члены уравнения (4.51) имеют множитель е,е[(а'+а»>у>+а»1, на который уравнение мож­ но сократить. Тогда получаем

Это уравнение является достаточно сложным. Поэтому изу­ чим влияние параметров системы на величину частоты ш и дек­ ремента б для нескольких частных случаев. Рассмотрим, в част­ ности, случаи, кргда имеется один выходной трубопровод без распределенного затухания (/2 = 0, 1\= 0, р2 = 0), один входной трубопровод (А =т%0, 12 = 0, pi = 0), входной и выходной трубо­ проводы (Л Ф 0, 12ф 0, pi = р2 = 0) и распределенное затуха­ ние (pi = 0, р2 = 0).

135

При получении этих выражений мы воспользовались уравнением

(4.30).

4.4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ С ВЫХОДНЫМ ТРУБОПРОВОДОМ

Рассмотрим систему, состоящую из компрессора и выходно­ го (нагнетающего) трубопровода, на свободном конце которого находится акустическое сопротивление Z2. На входе в компрес­ сор сопротивление Z\\ входной трубопровод отсутствует (Л = 0), распределенное сопротивление также отсутствует (p.2 = 0). При этих предположениях получаем

Полагая пока Zx — 0 и принимая, что Z2 = /?2 + jX2, где R2 и Х2— активная и реактивная составляющие акустического сопро­ тивления, получаем из уравнения (4.54)

136

Комплексное уравнение (4.60) распадается на два веществен­ ных:

Разрешим уравнения (4.62) и (4.63) относительно декремен­ та 6 и частоты со. Для этого разделим одно уравнение на другое. Получаем

Отсюда

—АС sinх2cosх2 + ВС sin2 х2— ADcos2x2+ BD sinx2cos x2 =

=AC sin jc2cos x2— AD sin2 *2 + BC cos2 x2— BD sin x2cos x2

или

(BC + AD)(sin2 x2—cos2 x2) — 2(AC — BD)cos x2sin x2 = 0,

либо, после деления на cos2jc2,

(ВС + /4D)tg2 х2— 2(АС— BD)tg х2— (ВС + AD) = 0.

Для получения уравнения декремента_разделим сначала каж­ дое из уравнений (4.62) и (4J53) на cosx2, а затем решим урав­ нение (4.63) относительно tgx2. Тогда

137

Приравнивая правые части выражений (4.66) и (4.67), полу­ чаем

(А2 + В2)е-2в’ = (С2 + D2)e26'

или

Подставляя сюда значения коэффициентов А, В, С и D и про­ изводя преобразования, найдем выражение для определения де­ кремента

и реактивной составляющими акустического сопротивления на конце трубопровода.

Уравнение частот (4.65) является квадратным относительно

Получаем два ряда собственных частот: один — для случая, когда перед корнем взят знак плюс, второй — когда знак минус. Для того чтобы установить, какой из этих рядов соответствует реальным частотам системы, рассмотрим частные случаи. Под­ ставляя значения величины а в уравнение (4.71), найдем

Рассмотрим сначала случай, когда перед корнем взят знак плюс. Если |Z2|<С Z22, то выражение (4.72) принимает вид

(4.73)

Z90X 2 zg2x2

Отсюда следует, что при |Z2|->-0 tgX2 -»-°°. Известно, одна­

138

При |Z2|—>оо; tgjc2—;>■оо; х2 = -^-; п. .., что совпада­

ет со случаем закрытой на конце трубы.

Рассмотрим теперь случай, когда перед корнем взят знак ми­

ветствует случаю закрытой трубы.

На основе изложенного перед корнем в уравнении (4.72) сле­ дует взять знак минус, поэтому уравнение частот принимает вид

где

Zl— Rl + X l

Интересно отметить, что если Z22 = |Z2|, то

В табл. 4.1 приведены значения собственных частот для предель­ ных случаев закрытой (|Z2|-»-oo), открытой (|Z2|-»-0) и на­ груженной на волновое сопротивление (|Z2|->Z22) труб. Видно, что из уравнения частот (4.77) получаются, как частные случаи, частоты закрытой и открытой труб.

Если сопротивление (Z2) меняется непрерывно от нуля до бесконечности, то собственные частоты системы будут изменять-

139