книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

Исключая время из системы (ПШ.23, а), получаем

sign х

от знака выражения —5— , который изменяется при изменении

У

знака х или у. В связи с этим, условия (ПШ.24) и (ПП1.25) вы­ полняются, что и доказывает 1 -е свойство для системы (ПШ.23, а). Аналогичное можно показать относительно осталь­ ных систем (ПШ.23).

Для доказательства 2-го свойства исключим время из систе­ мы (ПШ.24):

замечаем, что они тождественно совпадают. Аналогичное обстоя­ тельство имеет место относительно остальных систем (ПШ.23), что доказывает 2 -е свойство.

Уравнения вида (ПШ.23) в связи с симметричностью инте­ гральных кривых будем в дальнейшем называть квазиконсервативными. Для общности системы консервативные, симметричные относительно начала, будем считать частным случаем квазиконсервативных. Вследствие того, что интегральные кривые этих уравнений симметричны, достаточно иметь решение каждой из систем (ПШ.23) для одного из квадрантов фазовой плоскости. Найдя их и построив функции соответствия Vi(a) (i = 1, 2, 3, 4),

легко определить процесс ус­ тановления [21] (рис. ПШ.З).

колебательной системы, кото­ рая может быть весьма слож­ ной с точки зрения различия в характере взаимодействия сил трения и восстанавливающих сил в различных четвертях ко­ лебания, заменяется изучением

240

значительно более простых по своему существу квазиконсервативных систем.

Аналитически было показано, что квазиконсервативные сис­ темы обладают следующими свойствами:

а) их интегральные кривые симметричны относительно обеих осей координат;

б) их решения с точностью до произвольных постоянных сов­ падают с решениями исходной системы в соответствующих ква­ дрантах фазовой плоскости.

Если рассматривать вопрос с точки зрения сил, действующих в системе, то из ранее сказанного ясно, что упомянутые свойст­ ва объясняются следующим обстоятельством. В .квазиконсервативных системах характер взаимодействия скоростных и восста­ навливающих сил оказывается совершенно одинаковым для всех квадрантов фазовой плоскости (т. е. всех четвертей колебания). Например, если в исходной колебательной системе сила трения противоположна по знаку силе упругости в 1 и 3-й четвертях ко­ лебания и совпадает по знаку во 2 и 4-й четвертях, то для квазиконсервативных систем будет иметь место такая картина: в квазиконсервативной системе, описывающей движение в 1 и 3-й чет­ вертях колебания, сила трения, противоположная по знаку силе упругости для всех четвертей колебания, совпадает по знаку с восстанавливающей силой также во всех четвертях колебания.

Рассмотрим более подробно вопрос о влиянии сил трения и одновременно будем строить для рассматриваемых уравнений соответствующие квазиконсервативные системы.

Для более подробного исследования влияния сил трения за­

Здесь <р(х) зависит только от х [консервативная составляю­ щая силы f(x, х)], причем считается <р(х) не равной тождествен­ но «улю.

Пусть функция ф(х, х) нечетна, а 0(х, х) четна по 2-му аргу­ менту. Рассмотрим некоторые возможные случаи.

1. Случай асимметрии фазовой диаграммы относительно обе­ их координатных осей. Он может быть реализован при любой из двух характеристик силы

На рис. П1П.4, а, б приведены характеристики силы соответ­ ственно знакам ( + ) и (—).

В рассматриваемом случае сила трения не нарушает консер­ вативного характера системы. Очевидно, что в данном случае ис­ ходная система сама является квазиконсервативной; следова­ тельно, каждая амплитуда является стационарной.

2. Случай несимметрии интегральных кривых относительно осей координат. Он может быть реализован при характеристике

Рассматриваемый случай включает в себя диссипативные и автоколебательные системы. Характеристика силы симметрична относительно начала. В этом случае, как легко видеть, V\(а) = = о3(а), v2{a) = ц 4(а). Континуум стационарных амплитуд не­ возможен.

Рассмотрим теперь отдельно системы диссипативные и авто­ колебательные.

Диссипативные системы. Предположим вначале, что г|>(х, х) =

г|)(х, х) имеет тот же знак, что и х, то, как мы уже видели рань­ ше, оно уменьшает восстанавливающую силу во 2 и 4-м квадран­ тах и увеличивает ее в 1 и 3-м. Вследствие этого кривые tii = v3 на плоскости и, а пройдут ниже кривой v0, а кривые иг = £4 — выше.

В связи с этим колеблющаяся точка приходит к положению равновесия с меньшей скоростью и за большее время, чем при

Рис. ПНМ

242

Рис. m ii.5

силе трения, равной нулю. В то же время торможение точки при удалении от положения равновесия оказывается более ин­ тенсивным. Вследствие этого каждое последующее отклонение меньше предыдущего, что ясно показывается диаграммой V\a.

Характер фазовой диаграммы показан на рис. ПШ.З.

Если трение отрицательно [ф(х, х) имеет знак, противополож­

ный знаку х], то кривые щ и v3 на плоскости vta пройдут выше, а кривые v2 и 04— ниже кривой v0.

Колеблющаяся точка приходит к положению равновесия -за меньшее и удаляется за большее время, чем в соответствующей консервативной системе. Каждое последующее отклонение боль­

характеристики сил которых показаны на рис. П1И.6, а, б.

Автоколебательные системы. Для того чтобы в колебатель­ ной системе могли существовать автоколебания, кривые щ = v3 и 02 = ^4 на плоскости и, а должны пересекаться. Количество точек пересечения определяет число и амплитуды предельных

циклов.

На рис. ПШ.7 приведены диаграммы V, а для случая 1-го ус­ тойчивого предельного цикла и неустойчивого равновесия [слу­ чай уравнения Ван дер Поля

при р, = 1].

Рис. mii.6

Рис. П1Н.9 244

Рис. пш .ю

Фазовая диаграмма, построенная Ван дер Полем для р = 1, дана на рис. ПШ.8.

Заменяя это уравнение двумя квазиконсервативными, полу­ чаем

Характеристики сил последних уравнений для a > 1 показа­ ны на рис. ПШ.9, а, б. На рис. ПШ.Ю дан переходный процесс по работе [41].

Фазовые диаграммы для случая р = 1, построенные на рис. ПШ .8 для систем (ПШ.36), приведены на рис. ПШ.11,а, б.

245

3. УТОЧНЕНИЕ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ

Теперь ясно, что применение метода Ван дер Поля к квази-

определении периода колебания.

Однако в связи с тем, что при этом пишется решение, близ­ кое к решению х = a cos (kt + у) соответствующей консерватив­ ной системы, оно будет пригодным лишь при достаточно ма­

лом ц.

Возможности применения метода значительно расширяются, если искать решение, близкое к решению не консервативной сис­ темы x = a cos(^ + у), а в виде х = a cos(pt + у), где х явля­

ется решением дифференциального уравнения х + р2х = 0, а р— некоторая постоянная величина, подлежащая определению (р — определяет частоту того гармонического колебания, которое бу­ дет близко к истинным колебаниям соответственно каждой из квазиконсервативных систем).

Подчеркнем, что этот метод не даст результата, отличного от результатов известных методов малого параметра, если его ис­ пользовать к исходному уравнению. Только применение его к квазиконсервативным системам или, как будет пояснено ниже, осреднение на четверти колебания даст улучшенное решение.

Применим эту идею, чтобы найти период колебания уравне­ ния (ПШ.16). Будем рассматривать каждую из квазиконсерва­

тивных систем (ПП1.23), написанных для уравнения х + f (х, х) =

Полагаем решение в виде

х = acos(pit + у); х = — ар sin(piM- у).

Считая а и у новыми переменными, исключаем х и х анало­ гично тому, как это делалось в методе Ван дер Поля;

где и = p\t + у.

Выбираем теперь р\ таким образом, чтобы среднее значение

за целое колебание равнялось pi при а = ao = const:

dt

2л

du ,

-----du = ри

о dt

346

Интегрируем

р\ = ———Г f[acosu, — Pi@ sin u\cos иdu•

яа J

о

Получаем некоторое уравнение относительно р\. Пусть его ре2Я

Находя значения р2, рз и р*, а затем тг, тз и Т4 для остальных квазиконсервативных систем, получим период колебания исход­ ной системы в виде

Т = + Т2 + Тз + Т4.

Те же выражения для периода получаются, если производить осреднение частоты р другим путем — на каждой из четвертей колебания. В этом случае нет необходимости вводить квазиконсервативные системы в явном виде, хотя смысл проделанного ос­ реднения вытекает из их применения.

Соответствующие выражения будут иметь вид

T "

где

=sin2 и—*f{a cos u, — apjsinu) cos и

Пользуясь последними выражениями, подсчитаем, например, период стационарных колебаний для уравнения Ван дер Поля:

247

Отсюда получается квадратное уравнение относительно р\:

Р? + Pi — (2—аа)— 1 = 0.

я

Следовательно,

л

2

(ПШ. 39)

/»2-----—(2— а2)р2— 1 = 0;

-£-< 2— *> + ] / ^ ( 2 - ^ + 1 .

Найдем продолжительность каждой четверти колебания:

Величина условного полупериода будет иметь вид

Полученная формула устанавливает приближенную связь между амплитудой и периодом колебания. Если амплитуда ко­ лебаний приближенно известна, то уравнение (ПШ.42) опреде­ ляет период. Для уравнения Ван дер Поля величина стационар­ ной амплитуды приближенно равна 2 .

Полагая аст = 2, имеем

Гст= 2 у я 2 + ц2.

Если ц < 1, то

Гег = 2я(1

2я 2

Если р » 1, то

Т ст= 2 р +

248

Таким образом, при малых р «поправка на период» пропор­ циональна квадрату малой величины р. При больших р «поправ­ ка», зависящая от р, играет основную роль в величине периода.

В табл. ПШ.1 приведены значения п , тг и Тсг, подсчитанные по формулам (ПШ.40) — (ПШ.42) при различных р. Необходи­ мо отметить, что с увеличением р величина ti весьма быстро уве­ личивается, в то время как тг столь же быстро убывает.

Т а б л и ц а ПШ.1

Интересно сравнить выражение (ПШ.42) с полученными ра­ нее результатами. Для малых р метод Пуанкаре дает для пери­ ода стационарных колебаний выражение

Г „ = 2 я ( 1+ - ^ + . . . ) .

Для любых больших р по Ван дер Полю [40]

Тст= 1,62р.

Для любых р в связи с отсутствием до настоящего времени теоретической формулы для периода Ренсуки Усуи предложил на основании графических подсчетов эмпирическую формулу

В двух последних графах табл. ПШ.1 приведены результаты подсчета по этой формуле Тру и найденные графически Ван дер Полем значения ГвИз таблицы видно, что формула (ПШ.42) дает достаточно хорошую точность при любых р.

Выражения (ПШ.40) — (ПШ.42) позволяют выявить ряд тон­ костей в механизме изменения периода и формы колебаний в процессе установления. При увеличении р полупериод от значе­

меньше, чем 2-я четверть (ti < тг), при а > У~2 - наоборот (п >