книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

лежит на нисходящей ветви. Если М > 0, то режим будет жест­

чивой работы на нисходящей ветви характеристики и тем боль­ ше величина Ni [если считать, что характер протекания функции F(Qк) вдали от равновесного режима сохраняется].

Аналогично можно показать, что жесткий режим помпажа возможен и на левой устойчивой ветви характеристики, если в точке минимума характеристики F(QK) выполняется условие жесткого возбуждения, т. е. если

Ф( — е )< Ф ( + е).

Подобный случай показан на рис. 1.23, где QK*2 соответствует точке минимума характеристики компрессора. Здесь

Ф( — &) = а6а5 > 0;

Ф( + в) = cijCig > 0;

а 6а 5 < Ова 7 •

Следовательно, условие жесткого возбуждения в этом слу­ чае выполняется. Поэтому, если рабочая точка лежит достаточ­ но близко к точке В и слева от нее, то в системе возможны авто­ колебания при жестком возбуждении.

Этому случаю соответствует рис. 1.15, по которому можно проследить за видом кривой Ф(Ф) и за характером установле­ ния режима. На рис. 1.25 показано поведение системы в окрест­ ностях равновесного режима.

1.11. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ СЛУЧАИ ПОМПАЖА

Проведенный анализ различных случаев возбуждения коле­

60

нибудь параметра она переходит от устойчивого режима к не­ устойчивому. Если это иметь в виду, то полученные выше кри­

^;(Q), а при больших отклонениях от точки равновесия при

описанному: вблизи равновесного режима удовлетворяется

рис. 1.26, а функция Ф(<3) приведена на рис. 1.27.

Из характера кривой Ф(<2) видно, что при кСя = 0 имеется один устойчивый предельный цикл 1. В исходной системе этому

V

61

соответствует помпажный режим при самовозбуждении коле­ баний.

Пусть наклон секущей несколько увеличился (прямая 2 на рис. 1.26). Этому соответствует кривая Ф(С}), показанная на рис. 1.28.

На кривой в ближней окрестности особой точки соблюдается условие Ф (—Q) < Ф(С?), что соответствует накоплению энер­ гии. Несколько дальше от начала координат имеем Ф(—Q) >

щей 2 на рис. 1.26, в системе также возможен помпаж, причем он самопроизвольно возбуждается. Имеется, однако, отличие от рассмотренных ранее аналогичных случаев, которое заключает­ ся в том, что устанавливающийся автоколебательный режим не

в системе на одном и том же режиме работы возможны два ре­

чении секущая 2 превращается в касательную 3, чему соответ­ ствует рис. 1.29.

В этом случае вблизи начала координат соблюдается усло­ вие Ф(—Q) > Ф(С2), что соответствует рассеянию энергии; не­ сколько дальше от начала координат будет выполняться

62

Рис. 1.29 Рис. 1.30

рис. 1.28, то при увеличении -~La •могут быть два случая: kCa

1. Сначала исчезает внутренний устойчивый цикл сливаясь с особой точкой и передавая ей свою устойчивость, и остаются неустойчивый меньший и устойчивый больший циклы. При даль­

63

Особый случай, когда все три предельных цикла исчезают одновременно, не рассматривается.

Проанализируем картину перехода от трех предельных циклов (рис. 1.28) к одному устойчивому циклу при уменьшении

—-а -. При этом внутренний устойчивый цикл увеличивается, а

кС л

средний неустойчивый убывает, и при некотором значении

возникает полуустойчивый предельный цикл (неустойчи-

к С й

вый извне и устойчивый изнутри). При дальнейшем убывании

—— он исчезает, и остается один устойчивый предельный цикл

к С а

ренний устойчивый предельный цикл.

ГЛАВА 2

МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ ПОМПАЖА НЕПОСРЕДСТВЕННО ПО ХАРАКТЕРИСТИКАМ ВЕНТИЛЯТОРА И СЕТИ

2.1. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА

До сих пор рассматривались преобразованные уравнения движения воздуха в системе, содержащей вентилятор. При этом, во-первых, вводились некоторые упрощения в уравнение движения, в соответствии с которыми характеристика сети в окрестностях равновесного режима считалась линейной, а во-вторых, строилась вспомогательная кривая Ф(С2) и рассмат­ ривалась фазовая плоскость, не очень наглядно связанная с исходными переменными ре и QK. В то же время был сделан ряд качественных выводов и заключений и выяснены условия мягкого и жесткого возбуждения, которые, как показано ниже, являются достаточными.

Теперь рассмотрим способ непосредственного интегрирова­ ния дифференциального уравнения интегральных кривых (1.9). При этом фазовой плоскостью окажется обычная плоскость переменных рК и QK, в которой строятся характеристики венти­ лятора и сети. Новых допущений в уравнения движения (1 7> ч ( 1 .8) вносить не будем.

64

В системе координат рк, QK (рис. 2.1, а) изобразим характе­ ристику вентилятора (кривая 1) и характеристику сети (кри­ вая 2). Если колебаний давлений и расхода в системе нет, то состряние системы представляется точкой О пересечения кривых 1 и 2. При этом рб = Рк и Qr = QK.

Предположим, что^в системе происходят колебания. Тогда Рб Ф Рк и Qr Ф Qk. Возьмем одинаковые масштабы для осей абсцисс и ординат. Будемрассматривать рис. 2.1, а как фазо­ вую плоскость уравнения (1.9), на которой по оси ординат

вертикальную прямые и отметим точки их пересечения А { и А2 с характеристиками вентилятора и сети. Тогда величина

Qк — Ф1 (рб) представится отрезком MtAu величина F(QK) —ре— отрезком А2М^. Изменим в La/Ca раз длину отрезка MiAu.от­

кладывая его от точки М\. Пусть это будет отрезок М\Аг. Проведем через точку Аз вертикаль до пересечения в точке Л4 с горизонтальной прямой, проведенной через точку А2. Тогда,

как легко видеть, отрезок AJMi является нормалью к интеграль­ ной кривой в точке М\.

Проводя из точки /44, как из центра, радиусом /l4Mi элемент дуги через точку М\, получим точки М3 и М4. Продолжая для точек Мз, М4 и т. д. указанное построение, последовательно стро­ им всю интегральную кривую. При этом, чем меньше элементы дуг, тем точнее построение.

возрастает. Следовательно, в этой области все интегральные кривые идут справа вверх налево; изображающая точка движется во времени влево вверх.

Рассмотрим область II. Здесь

66

и при графическом интегрировании уменьшать отрезок М\А2 в

— - раз, откладывая его от точки М\. Порядок построения

с а

для этого случая показан на рис. 2.1,6. Здесь отрезок д},Л3 =

кривой в точке Мь Построение, показанное на рис. 2.1, с и б, является правиль­

ным, если давление рв и расход QKотложены на осях координат в таком масштабе, что в принятой системе единиц (в которой

подсчитана величина - ^ -) единице давления р5 и расхода са

соответствуют одинаковые длины отрезков осей координат. Однако для характеристик малонапорных вентиляторов

выполнить это требование, пользуясь одной из обычных систем единиц измерения, затруднительно. Кроме того, может оказать­ ся необходимым произвести построение при однажды подсчи­ танном значении La/Ca и при различных характеристиках вен­ тилятора.

В этих случаях можно рекомендовать построение, при котором масштаб следует выбирать таким, чтобы характери­ стики сети и вентилятора были достаточно ясными (т. е. чтобы ясно выражался на графике восходящий участок характеристи­ ки вентилятора). Однако тогда необходимо изменять отрезки

в т раз отличается от масштаба по оси абсцисс. Тогда по оси

ординат откладывается величина р§ — тръ. Заменяя в уравне­ нии (1.9) переменные по последнему соотношению, получаем

Из последнего выражения следует, что, выбрав масштаб по оси ординат отличающимся в т раз, нужно изменять отрезок

2.2.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ПОМПАЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Ранее был рассмотрен случай нахождения периода коле­ баний, когда влияние зависящего от скорости члена в диффе­ ренциальном уравнении движения оказывается малым, и частота и период колебаний определяются в основном инер­ ционностью La и гибкостью Са системы по формулам

0) = — 4 = - ; г = 2л | /Z^cJ.

V ь аС а

Теперь рассмотрим этот вопрос в общем случае.

Ввиду того, что предыдущий анализ в общем случае прово­ дился геометрическим путем (так как характеристики венти­ лятора и сети обычно задаются графически), то и период колебаний будем находить таким же образом. Исходными возьмем уравнения (1.7) и (1.8). Решая эти уравнения относи­ тельно dt, получаем

Отсюда следует, что время перемещения вдоль элемента дуги фазовой траектории, проекция которого на ось абсцисс равна dQK, пропорционально dQK и обратно пропорционально расстоянию вдоль оси ординат между характеристикой венти­ лятора и фазовой траекторией. Это же время пропорционально длине проекции dp6 элемента дуги dl на ось ординат и обратно пропорционально разности между абсциссой элемента dl и ха­ рактеристикой сети.

Время движения т вдоль конечной дуги МхМ2М3 фазовой траектории будет выражаться криволинейными интегралами:

Период помпажных колебаний представится подобными интегралами, взятыми по замкнутому контуру — предельному циклу:

68

Так как аналитические вы­ ражения для характеристик сети и вентилятора, а также для предельного цикла неиз­ вестны, а сами характеристи­ ки заданы графиками, то нуж­ но производить графическое интегрирование.

Разобьем весь предельный цикл на участки. Пусть один из участков длиной А/ пред­ ставляет собой кривую АВ (рис. 2.3). Проекция__его на

лее, для середины участка получаем

^(Qk)— P6 = DC\ QK— q>{p6) = CE.

Тогда время движения At изображающей точки вдоль эле­ мента АВ фазовой траектории

При подсчете можно брать любое из этих выражений. Од­ нако если подсчитать Т лишь по одной из приведенных формул, то встретится некоторая трудность при определении времени

движения на тех участках, где знаменатель CD или СЕ прибли­ жается к нулю.

69