книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

вится один устойчивый автоколебательный режим при самовоз­ буждении.

Теперь сдвигу точки О влево по кривой Ф(С?) соответствует процесс, показанный на рис. 1.5. Если же точка О сдвинулась вправо по кривой, то, рассуждая, как и ранее, можно устано­ вить, что при малом сдвиге картина будет аналогична показан­ ной на рис. 1.15: на фазовой плоскости возникнут два предель­ ных цикла — меньший неустойчивый и больший устойчивый, т. е. установится жесткий режим колебаний. Особая точка будет устойчивым фокусом (рис. 1.18,6).

При достаточно больших сдвигах точки О вправо получатся картины по рис. 1.19, а, 6, из которых первая соответствует слу­ чаю, когда нарастание энергии меньше ее рассеяния, а вто­ рая — когда происходит только рассеяние энергии. В обоих случаях будет происходить затухание колебаний.

Предположим теперь, что поведение функции Ф(С?) в окрест­ ностях особой точки соответствует случаю (4,6), что выражает­ ся условием Ф < 0; Ф(—Q) > Ф(<2).

Видоизменим кривую Ф(Q) так, как показано на рис. 1.20, а. Очевидно, что при этом рассеяние энергии еще более увели­ чится, чем в случае (4, б), и система останется затухающей, что на фазовой плоскости изображается спиралью, асимптотически наматывающейся на особую точку.

52

Если сдвинуть начало координат влево по кривой, то полу­ чим картину, показанную на рис. 1.5. При этом в системе будут происходить устойчивые автоколебания. Если же сдвинуть точку О вправо по кривой 0 (Q ), то возможные виды ее будут соответствовать рис. 1.20, би в .

Как было показано, рис. 1.20, б соответствует случаю, при котором происходит затухание колебаний вследствие рассеяния

Впредыдущем анализе предполагалось, что точка равно­ весного режима перемещается по кривой Ф{0), а вид функции Ф((2) не меняется. В действительности при изменении пара­ метров системы, например при закрытии или открытии дросселя, вид функции Ф((?) может также меняться, однако общие закономерности, установленные выше, сохраняются.

Из предыдущего анализа следует, что при изменении пара­ метров системы в случае, когда характер функции Ф(0) соот­ ветствует рис. 1.9,6, в системе могут возникнуть автоколебания, которым соответствует устойчивый предельный цикл. При этом

вмомент возникновения автоколебаний амплитуда их очень мала, а при дальнейшем изменении параметра в ту же сторону будет монотонно возрастать. Если величина параметра меняется

вобратную сторону, амплитуда автоколебаний будет умень­ шаться, и колебания исчезнут при том же значении параметра (т. е. при том же положении дросселя), при котором они начались.

Врассмотренном случае возбуждение колебаний имеет мягкий характер, при котором нет гистерезисных явлений.

Легко видеть, что если кривая Фк(<2) симметрична относи­ тельно оси ординат в окрестностях начала координат, то харак­ тер возбуждения также будет мягким.

Рис. 1.9 соответствует случаю, который определяется

54

ких случайных возмущений в момент возникновения на фазовой плоскости неустойчивого предельного цикла и при его дальней­ шем существовании автоколебания сами не возникнут. Иными словами, в реальной системе колебания делаются возможными, но сами не возникнут: требуется толчок, чтобы начались колебания.

При дальнейшем изменении параметра в ту же сторону величина устойчивого цикла будет возрастать и неустойчиво­ го — уменьшаться. При некотором положении дросселя неустой­ чивый предельный цикл исчезает, сливаясь с особой точкой и передавая ей свою неустойчивость. При этом изображающая точка под влиянием любого сколь угодно малого случайного толчка покидает точку равновесия системы и по фазовой траектории, наматывающейся на предельный цикл, прибли­ жается к нему. В исходной системе при этом устанавливается автоколебательный режим, причем для возбуждения колебаний не требуется начального толчка.

При дальнейшем вращении дросселя в ту же сторону ампли­ туда колебаний и соответствующие ей размеры предельного цикла возрастают.

Если теперь начать изменять параметры (вращать дрос­ сель) в обратную сторону, то размеры устойчивого предель­ ного цикла будут уменьшаться, и он исчезнет не при том зна­ чении параметра, при котором возник, а при ином, причем для его исчезновения необходимо более глубокое изменение параметра. Таким образом, возбуждение колебаний имеет гисте­

то будет происходить мягкое возбуждение колебаний, условию же

чину которой, в связи с внезапным возникновением колебаний, невозможно своевременно ограничить. Такие колебания при чрезмерной их интенсивности могут привести к разрушению машины. Поэтому жесткий режим колебаний весьма нежела­ телен.

55

Если функция Ф(<2) задана графически, т. е. если заданы графиками характеристики вентиля­ тора и сети (что обычно и бывает), то из условий

(1.62) и (1.63) вытекает простой способ определе­ ния характера возбужде­ ния. Нужно в рабочей точке Q* характеристики

вентилятора (рис. 1.21)

ду ординатами характеристики E(QK) и касательной при зна­ чении QK= Q* — е будет меньше подобной разности при зна­

чении QK= Q* + е, где количество е изменяется в пределах

О ^ е ^ Ei (ei — достаточно малое конечное число), то будет происходить жесткое возбуждение. Если же указанная раз­ ность при Q*— е будет больше или равна подобной разности

при Q’ + е, то возбуждение будет мягким.

Условия (1.62) и (1.63) удобны для определения характера возбуждения при графическом задании характеристики ком­ прессора. Если характеристика задана аналитически, то удобнее рассматривать аналитический признак мягкого или жесткого возбуждения. Можно показать, что при введенных упрощениях он формулируется следующим образом.

Характер возбуждения является жестким, если в рабочей точке младшая из неравных нулю нечетных производных порядка выше 1-го будет положительной. Если эта производная будет меньше нуля или все нечетные производные порядка выше 1-го равны нулю, то характер возбуждения будет мягким.

56

1.9. ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Во всех известных автору работах, посвященных теории помпажа в компрессорах, указывается, что помпаж возможен лишь на режиме, соответствующем тому участку характеристи­ ки, на котором ее наклон положителен, режимы же на участках, где наклон характеристики отрицателен, всегда устойчивы.

Это утверждение неточно. Исходя из изложенных выше соображений о мягком и жестком режимах возбуждения, можно показать, что в некоторых случаях возможны помпажные режимы, соответствующие и «устойчивым» участкам характе­ ристики, где наклон кривой отрицателен. При этом характер возбуждения получается жестким, т. е. происходит наиболее опасный тип колебаний, так как колебания возникают внезапно.

Рассмотрим подробнее вопрос от устойчивости системы и прежде всего о самовозбуждении колебаний.

Условие самовозбуждения (1.18) показывает, что мягкое возбуждение может соответствовать только восходящему

картина зависимости характера возбуждения от параметров системы дается на рис. 1.2, где показана плоскость параметров k и F' рассматриваемой системы. Из рисунка видно, что самовоз­ буждение возможно в области, расположенной справа от пря­

при обычном протекании характеристики сети, когда объемный расход возрастает вместе с увеличением давления реПоэтому из условий (1.17) и (1.18) следует, что самовозбуждение воз­ можно лишь в.той области характеристики вентилятора, где наклон ее положителен. В области, где наклон характеристики отрицателен (F '< 0), как следует из рассмотрения плоскости параметров, самовозбуждение невозможно, так как при F' < 0 существуют лишь состояния равновесия, которым соответствуют особые точки типа устойчивого фокуса или узла.

Рассмотренный случай мягкого возбуждения определяется свойствами системы в малом. Рассмотрим теперь случай жест­ кого возбуждения.

Пусть характеристика вентилятора удовлетворяет условию жесткого возбуждения на участке вблизи точки максимума характеристики. Это значит, что на этом участке после прове­ дения касательной к характеристике вентилятора удовлетво­ ряется условие, по которому алгебраическая разность между ординатами характеристики вентилятора и касательной для любой точки, расположенной слева достаточно близко к точке касания, будет меньше подобной разности для точки, располо­ женной справа на таком же расстоянии.

57

находящихся вблизи точки Q*, . Поэтому в окрестностях рав­ новесного режима

Ф,( — е)< Ф ,( + е)

и, следовательно, условие жесткого режима выполняется. Ввиду этого характер появления и исчезновения помпажа будет гисте­ резисным.

1.10. НЕУСТОЙЧИВАЯ РАБОТА НА НИСХОДЯЩИХ ВЕТВЯХ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОМПРЕССОРА

Допустим теперь, что условие жесткого возбуждения выпол­ няется также и для точки максимума кривой (рис. 1.23). При

автоколебания при жестком режиме возбуждения. На рис. 1.25 показан вид кривой 0(Q ) для этого случая. Если теперь, зада­

58

максимума, то из соображений непрерывности ясно, что в неко­ торой конечной окрестности справа от точки максимума будет существовать автоколебательный режим с жестким возбужде­ нием. Этому режиму также соответствует вид функции <P(Q) и характер фазовой плоскости, представленные на рис. 1.18,6.

На рис. 1.26 показана кривая 0 (Q ) для рассматриваемого случая. Приближенной мерой ширины области помпажа на нисходящей ветви характеристики, глубины жесткого режима и значения Ni может служить выражение

^ik(s)—Ф|К(—в)

2е

взятое в окрестностях рабочей точки, если она лежит на вос­ ходящей ветви, или в точке максимума, и если рабочая точка

59