книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

Составим уравнения, описывающие переходный процесс в рассматриваемой системе. Предположим, что столб, воздуха дви­ жется вдоль воздушного тракта ускоренно. Тогда давление pia перед вентилятором не равно давлению р0 при входе, а меньше его на величину, затрачиваемую на преодоление силы инерции столба воздуха во входном трубопроводе.

Считая перепад давления Ар — ро — рia малым, пренебрегая сжатием воздуха во всасывающем трубопроводе и полагая по­ этому ро = const, получаем по теореме об изменении количества

где т = poSiA — масса воздуха во всасывающем трубопроводе;

о = Qo — скорость движения воздуха; s'

F — сила, равная произведению разности давлений на площадь сечения трубы: F = Si(po— Ри)-

Отсюда

Р(М — =(Ро— Р1а)«1

s‘

или

Q0-H°^i- = p0—р1а.

«I

Обозначим

20

или

Рба = Роя (Фк) — Qк I^a2 + Laiя(<2к)]-

Обозначим

Po^(Qк) = F, (QK), La2 + LaI:t(QK) = La.

Тогда уравнение (1.3) примет вид

Это будет первое дифференциальное уравнение движения рас­ сматриваемой системы. Второе дифференциальное уравнение можно получить, принимая во внимание, что скорость изменения давления рв в объеме перед дросселем будет пропорциональна разности секундных расходов воздуха, поступающего в этот объем и вытекающего из него. Выведем это уравнение.

Полагаем процесс в объеме V адиабатическим. Связь между плотностью и давлением при этом выражается соотношением

-5— = const.

Рб

Дифференцируя это выражение, получаем

dp __ dpa

РРб

Масса dm воздуха, втекающего в объем V за время dt, про­ порциональна разности секундных расходов:

dm = p(QK— QH)dt.

Плотность

или

Следовательно,

V

21

Учитывая уравнение состояния

-*- = gRT,

р

получим

Третьим будет уравнение характеристики сети (1.2):

p6 = <v(Qr)-

Исключая из уравнений (1.6) и (1.2) расход QK, получаем систему двух нелинейных дифференциальных уравнений 1-го по­ рядка, описывающую движения в рассматриваемой системе:

L^ = F(QK) -P 6 , (1.7)

И)

где ф1 — обращение функции (1.2).

Разделив уравнения (1.6) и (1.5) почленно одно на другое, получаем дифференциальное уравнение интегральных кривых

Рассмотрим полученные выражения.

Сделав некоторые допущения, приведем систему (А) двух уравнений 1-го порядка к одному уравнению 2-го порядка. Его анализ дает ряд приближенных выводов о мягком и жестком возбуждении колебаний, об областях устойчивости и другие ре­ зультаты. В главе 2 дан геометрический метод точного интегри­ рования выведенных уравнений движения и при помощи этого метода исследованы некоторые системы *.

* Под точным понимается метод интегрирования уравнений (1.5)— (1.8) без каких-либо упрощений. Разумеется, любое численное или графическое ре­ шение обладает погрешностями расчета.

22

1.2.ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1-ГО ПОРЯДКА К УРАВНЕНИЮ 2-ГО ПОРЯДКА В СЛУЧАЕ ЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДРОССЕЛЯ

Полагая в системе (А) [уравнения (1.7) и (1.8)] QK= О, Ро = 0, находим состояния равновесия системы. Тогда

(В)! ^ З к )— Рб = 0;

I Q k-«P .(A s) = 0.

Число и значения действительных корней этой системы урав­ нений определяют число равновесных режимов и их значения. Геометрически действительные корни даются точками пересече­ ния кривых F(QU) и ф], т. е. характеристик вентилятора и сети. Может быть как одна точка пересечения, так и несколько.

Рассмотрим случай, когда имеется одна устойчивая точка пересечения. Пусть ее координаты будут Q* , р*6 . Тогда

pl = F(Q'K)\ ф, (ре) “ Qk*

23

Подставляя последнее выражение в уравнение (1.13), полу­ чаем

Геометрический смысл проделанных упрощений заключается

втом, что упругую силу считаем изменяющейся линейно по Q,

вто время как она изменяется в соответствии с разностью функ­ ции F и ф]. Однако в окрестностях равновесного режима такое упрощение допустимо для получения приближенного решения, так как отклонение от линейной зависимости невелико. Качест­

венные особенности явления зависят в основном от члена с Q, поэтому получаемые выводы сохраняют качественную силу и для исходного уравнения. В то же время упрощение существенно облегчает рассмотрение и делает его физически более нагляд­ ным.

Таким образом получено дифференциальное уравнение дви­ жения, описывающее отклонение секундного расхода через вен­ тилятор от его значения при равновесном режиме. Из этого уравнения непосредственно следуют условия самовозбуждения колебания, а также условия статической устойчивости.

24

Прежде всего устанавливаем, что равновесный режим будет статически устойчив, если выполняется условие

Геометрический смысл условия (1.17) заключается в том, что угол наклона касательной к характеристике сети должен быть больше угла наклона касательной к характеристике вентилятора в точке равновесного режима (см. точки Л и С на рис. 4). При выполнении условия (1.17) на фазовой плоскости равновесному режиму будет соответствовать особая точка типа фокуса, узла или центра. Если же в условии (1.17) знак неравенства будет обратным, то особая точка будет седлом (этот случай соответ­ ствует точке В на рис. 4).

1.3. УСЛОВИЕ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ И ИХ ЧАСТОТЫ

Пусть условие (1.17) выполняется. Если при этом выполняет­ ся также условие

dF(QK) _La_

(1.18)

<kCa ’

то в системе всегда будут самовозбуждаться колебания, и она, таким образом, будет динамически неустойчивой.

Действительно, выражение (1.16) — линеаризованное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Пусть система, определяе­ мая этим уравнением статически устойчива, т. е. выполнено условие (1.17). Тогда поведение системы в процессе колебания будет определяться членом, зависящим от скорости.

Если коэффициент при скорости положителен, то это соответ­ ствует случаю положительного трения, при котором происходит рассеяние энергии и затухание колебаний. Тогда система обла­ дает динамической устойчивостью. Если же этот коэффициент отрицателен, то имеем случай так называемого отрицательного трения, при котором происходит накопление энергии и нараста­ ние амплитуды колебаний. Тогда система динамически неустой­ чива, хотя и обладает статической устойчивостью *. На фазовой плоскости состоянию равновесия будет соответствовать особая точка типа неустойчивого фокуса или узла.

Условие (1.18) определяет такой режим работы, при котором в системе устанавливаются колебания при сколь угодно малом возмущении, т. е. при сколь угодно малом отклонении от равно­ весного состояния. Это будет так называемый мягкий режим.

Однако невыполнение условия (1.18) отнюдь не означает не­ возможности автоколебаний в системе. В этом случае могут по­

уже при жестком режиме возбуждения *, т. е. при таком, когда состояние равновесия устойчиво и требуется достаточно сильный начальный толчок, чтобы начались колебания (при этом имеют­ ся два предельных цикла на фазовой плоскости — внутренний неустойчивый и внешний устойчивый).

Рассмотрим условие самовозбуждения (1.18) в явном виде. Будем считать, что всасывающий и напорный трубопроводы ци­ линдрические, их длину и площадь поперечного сечения обозна­ чим соответственно через /|Si; I2S2, кроме того, полагаем ро = рк.

Имея в виду, что столб воздуха во всасывающем трубопрово­ де играет роль только инерционного элемента, можем написать

Г _ Ро^| *-al — Si

Напорный трубопровод частично играет роль инерционного звена, а частично — емкостного. Если объем I2S2 напорного тру­ бопровода пренебрежимо мал сравнительно с сосредоточенным объемом V, то

ia2 = 0; Са= — .

рс2

В случае большого сечения на выходе, малом k и отсутствии сосредоточенного объема можно пренебречь влиянием инерци­ онности и считать

Подставляя в условие (1.18) выражения для La1 =-■ La и Са, получаем условие самовозбуждения в виде

Условие устойчивости будет иметь вид

* Условия, при которых получается жесткий режим возбуждения, приве­ дены в п. 1.8.

26

Если трубопровод нельзя полагать очень коротким, эти усло­ вия можно выразить более точно, если учесть также и инерцион­ ную роль напорного трубопровода.

Как известно, в случае применения цилиндрической трубы можно приближенно отнести половину длины трубы к инерцион­ ному элементу с акустической массой La2, а половину — к емко­ стному с акустической гибкостью Са.

Влияние сосредоточенного объема У сказывается в том, что при возрастании его величины по сравнению с, объемом /2S2 на­ гнетательного трубопровода роль последнего при подсчете Са убывает, а при подсчете La2 возрастает.

Можно приближенно принять приведенное значение объема Упр при определении Са в виде

0 , b l 2S 2

Упр = У + V/l2s2 + I ’

а приведенное значение длины L2np при определении La2 в виде

0,5 +

l 2S 2

так как в случае малонапорного вентилятора n(.QK) ~ 1. Подставляя найденные значения La и Са в выражение (1.18),

получаем условие самовозбуждения в виде

27

Если принять Si = S2 = s, то формула упрощается:

возрастает, а устойчивость системы уменьшается при следующих условиях:

а) при уменьшении длины 1\ всасывающего трубопровода,

причем влияние Zi тем меньше, чем больше h и — ;

Si

б) при увеличении длины /г нагнетающего трубопровода, при­

чем влияние /г тем меньше, чем меньше 1\и больше —- ; s2

в) при увеличении площади поперечного сечения S2 и, в меньшей степени, при увеличении площади Si;

г) при увеличении коэффициента k активного сопротивления. Нужно отметить, что влияние коэффициента k на динамиче­ скую устойчивость противоположно его влиянию на статическую устойчивость. С ростом k увеличивается статическая и умень­ шается динамическая устойчивость. Отсюда следует, что при прочих равных условиях опасность помпажа становится наи­ меньшей, если наклон характеристики сети в точке равновесного режима является минимально возможным при сохранении ста­ тической устойчивости, т. е. если величина k чуть больше вели-

dF чины -----.

dQ*

Частота помпажных колебаний убывает при увеличении отно­

шения — , а также длины как всасывающего, так и напорного

«I

28

трубопроводов, причем влияние U сказывается в большей степе­ ни, чем /].

Нужно отметить, что при анализе влияния геометрических размеров на устойчивость системы не учитывалась длина воз­ душного пути в самом вентиляторе, которая может сыграть зна­ чительную роль при количественных оценках устойчивости систе­ мы, если не является достаточно малой по сравнению с 1\ и /2. В то же время качественные выводы относительно влияния гео­ метрических размеров на устойчивость и частоту колебаний ос­ таются справедливыми.

Впрочем, как будет показано ниже, действительные значения La и С, с учетом всех факторов (длины вентилятора, перемен­ ного значения р, высокой напорности и т. д.) могут быть опре­ делены из экспериментальных данных.

поэтому очень важно знать, как поведет себя компрессор при изменении этих параметров!

В одних случаях существенным является только температур­ ный параметр, поскольку давление и число оборотов изменяются незначительно. Например, в обычных промышленных компрес­ сорах, предназначенных для вентиляции или наддува в нагрева­ тельные печи, число оборотов остается постоянным, давление наружного воздуха меняется сравнительно незначительно, а тем­ пература наружного воздуха может находиться в пределах от —40 до +40° С. В других случаях значительные перепады имеют как температура наружного воздуха, так и число оборотов (на­ пример, в турбокомпрессорных установках железнодорожного транспорта).

Особенно важно изучить, как влияют параметры ро и Т0 на­ ружного воздуха и изменения чисел оборотов вентилятора на величину областей устойчивости для турбореактивных и турбо­ вентиляторных двигателей в авиации, поскольку самолет в тече­ ние нескольких минут может перейти из области высоких темпе­ ратур и больших давлений в прямо противоположную область; при этом число оборотов компрессора может изменяться в ши­ роких пределах.

Влияние изменения числа оборотов. Влияние числа оборотов

п на область устойчивости легко оценить по условию самовоз­ буждения

29