книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

Преобразуем эти уравнения, подставив в них значения вели­ чин 01 и 02:

мдн. [HZ^ + p ^ n - R ^ + X ^Z^ -R .Y + Xl т

[4Z22- p oxF>)+Rxy + X\{Z22 + R2f + x l'

t 2 - (z222 +* l- x l) [(/?i - V 01FQ2 + x ^ - ^ z 22] - 4 x x 1x 2z i2 x

•^2^22 [(^1 V >2+ X2—X2Z22J+ ЯХ[ (z \2—R\—.X2)

где

1 $01 P01

Из выражения (4.102) следует, что при учете реактивного сопротивления Х\ на входе в компрессор декремент ни при каких значениях производной F' не обращается в минус бесконечность, т. е. система не становится абсолютно неустойчивой. Наиболь­ шее отрицательное значение декремента будет при условии

150

Рассмотрим более внимательно выражение (4.105). Пусть Z22> PoiF'. Тогда при возрастании активного сопротивления Ri на входе от нуля до значения, определяемого формулой (4.104), множитель yi будет убывать от значения

^ ( z 22 + p0lF j + X2i

^2(^22 P0lF )2 + ^1

до определяемого формулой (4.106).

Из уравнения (4.103) следует, что при учете реактивного со­ противления на входе в компрессор собственные частоты систе­ мы определяются не только геометрическими параметрами под­ ключенной системы, но также характеристиками компрессора. Устойчивость системы, как указано выше, характеризуется зна­ ком декремента.

Воспользовавшись изложенным, получаем условия устойчи­ вости системы с учетом сопротивления на входе в компрессор. Если

то система неустойчива. Очевидно, что соотношение (4.111) яв­ ляется условием самовозбуждения. Уравнение (4.110) будет ис­ пользовано в дальнейшем для определения амплитуды автоко­ лебаний.

Сравним условие устойчивости (4,109) с условием устойчи­ вости, полученным в работах [17, 19], для случая аппроксимации распределенной акустической системы системой с одной степенью свободы.

Полученное ранее условие динамической устойчивости в при­ нятых здесь обозначениях имеет вид

PoiF'< R2Ca ’

где

(4.112)

151

Если /j = 0, то

Для области динамической устойчивости имеем

Там же было получено уравнение области статической устой­ чивости

Но выражения (4.113) и (4.114) совпадают с выражениями

(4.90).

Таким образом, граница устойчивости системы, полученная из приближенной теории, совпадает с границей устойчивости, найденной на основе точной теории, если в последнем случае пре­ небречь реактивным сопротивлением.

4.5.УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ СО ВХОДНЫМ ТРУБОПРОВОДОМ

Рассмотрим систему, состоящую из компрессора с подключен­ ным к нему входным трубопроводом (1Х^=0, щ = 0). На выходе компрессор нагружен на сопротивление Z2. При этих предполо­

жениях получаем Х\ = coPi; 61 = брь х2 = 0; б2 = 0 и

Перепишем это уравнение в более удобном для дальнейшего использования виде

[2Z1Z22 + Z2(02—0 i) + Z22(0 i + 02)lchx! + {2Z11Z22 +

Z1I

Рассмотрим сначала случай Z2 = 0, т. e. предположим, что со­ противление на выходе компрессора отсутствует. Тогда, после подстановки в уравнение (4.116) значений 0i и 02 из выражений

(4.60) и (4.61), найдем

152

Решая уравнения (4.119) аналогично тому, как это выполне­ но выше, получаем уравнения для определения декремента и ча­ стот

Z\\X1

Уравнение частот (4.124) полностью совпадает с уравнением (4.65), поэтому все изложенные применительно к нему резуль­ таты справедливы и для уравнения и в данном случае.

Если в уравнение (4.123) подставить значение Ац, то полу­ чим

жение (4.78), то все сделанные выше выводы о влиянии пара­ метров системы на ее поведение остаются в силе.

В частности, при Z\-*■0 и Z\ 00 множитель

(zn - * i ) 2 + *i

(zu + *i)2 + z ?

достигает максимального значения, равного единице, а при

153

он имеет минимальное значение, равное

(z n ~ V z n + ^ f + *i

(Zu+Vzh+ X*)2+х*

Влияние параметров компрессора на устойчивость системы мо­ жет быть оценено аналогично предыдущему. Если, в частности, выполняется условие

то система становится абсолютно неустойчивой.

Из выражения (4.127) также следует, что поскольку волно­ вое сопротивление Zxx обратно пропорционально'площади попе­ речного сечения трубопровода si, то чем меньше Si, тем больше Zxx, и, следовательно, тем при больших значениях наклона ха­ рактеристики F' наступит неустойчивость.

(В cos Х\+ A sinx])e~6‘ = ( — D cosxt — С sin jc1)ee<,|

где

А = (Z,! + RX)(ZXX+ Лц + F.2h\2H2\)---X xX2hx2fl2X\

В— Х\(Zu + Лц + R2hx2h2x) + (Z\\+ R\)XxhX2h2X\

С— (Zxx— RX)(ZXX— hxx— R2hx2h2x) — X xX2hl2h2x\ D = Xx(Zxx— hiX— R2hi2ft21) + ( Z „ — R\)X2hx2h21.

Из выражений (4.129) находим уравнения декремента и час­

154

Подставляя в уравнение (4.130) значения величин Лц, hl2 и Л21, получаем

Отсюда следует, что при учете сопротивления на выходе ком­ прессора декремент б ни при каких значениях параметров не об­ ращается в —оо, т. е. система не становится абсолютно неустой­ чивой. Множитель

( z n /\+ p0lF ' - R 2)2 + X2

(Zu /k— pQlF + R 2)2 + X2

характеризующий влияние компрессора на устойчивость систе­ мы, может принимать различные значения в зависимости от ви­ да характеристики /',/(02). Если F > 0, то при прочих равных ус­ ловиях этот множитель имеет максимальное значение при

При достаточно большом значении сопротивления R2, т. е. при /?2 Zul% этот множитель становится минимальным для

Поскольку условия устойчивости системы определяются не­ равенством

то легко понять, что путем изменения сопротивлений на входе Z\ и выходе Z2 можно менять в определенных пределах границу устойчивой работы компрессора.

4.6. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ СО ВХОДНЫМ И ВЫХОДНЫМ ТРУБОПРОВОДАМИ

Рассмотрим систему с компрессором, к которому подсоеди­ нены входной (/i ф 0) и выходной (h Ф 0) трубопроводы. Если предположить, что распределенные сопротивления отсутствуют (pi = р.2 = 0), то из выражений (4.56) получаем

*i = mPil/i; х2 = шр2(1— У \ ) \ = 6pif/i; 62 = 6Р2(1— у,). (4.136)

Предположим также, что сопротивления на входе Z\ и на вы­ ходе Z2 состоят из активной и реактивной частей, т. е.

Z i= Ri + jXil Z2 = R2 + jX2.

155

С учетом указанных предположений комплексное уравнение

где Ali, А12, N1 и N2— величины, зависящие от параметров вход­

156

Заметим, что хотя выражения (4.139) и (4.140) по форме сов­ падают с соответствующими выражениями (4.65) и (4.66), они отличаются по существу, так как их невозможно разрешить от­ носительно частоты и декремента.

Подставляя в выражение (4.140) значения величин Mi, Ni, М2 и N2 и з уравнений (4.42), получаем

(4.142)

Рассмотрим некоторые предельные случаи, вытекающие из выражения (4.142). Влияние выходного сопротивления Z2 на ве­ личину декремента остается таким же, как и в случае системы с одним выходным трубопроводом. В частности, если нагрузить си­ стему на волновое сопротивление R2 = Z22(x2 = 0), то декремент становится бесконечно большим. Аналогия с рассмотренными ранее случаями сохраняется также и при |Z2|-»-0 и |Z2|->-oo. Если в выражении (4.142) положить декремент равным нулю, т. е. 6 = 0, то оно примет вид

(z 22- R 2)2 + X2

X

(4.143)

157

Это выражение представляет собой уравнение границы устой­ чивости системы. Оно упрощается при Z y = 0:

Если F' > 0, то hyy < 0 и тогда второй член выражения в квадратных скобках неравенства (4.144) становится отрицатель­

Из этого выражения также следует, что чем больше длина всасывающего трубопровода, тем больше область устойчивости, тем больший запас устойчивости имеет система. Этот вывод спра­ ведлив, разумеется, при указанных выше условиях, т. е. при

Ху -С 1.

4.7.ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ

СУЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕННОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Рассмотрим влияние распределенного сопротивления на час­ тоту и декремент системы, полагая рг Ф 0. Вычисления прове­ дем для случая, когда входной трубопровод отсутствует (1у = 0) .

Полагая в уравнении (4.54) Ху = 0, Z y = 0, найдем

(Z22 - Z 2) 02е*а= (Z22- Z 2)

Преобразуем это уравнение, для чего воспользуемся выраже­ ниями Z 22 и Z 22 из уравнения (4.41) и 0,' и 02 из уравнения

(4.49):

158

159