книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

намическим поглотителем (РАП). Во многих случаях в конечных выражениях можно считать приближенно равными мгновенные массовые расходы при входе и выходе из компрессора и поэто­ му пренебречь их разницей.

Поэтому, при достаточо малых числах М газодинамические процессы в компрессоре относительно малых отклонений полных параметров можно описать уравнением

Все коэффициенты берутся для рабочей точки характеристи­ ки компрессора. В выходном сечении компрессора статическое давление остается постоянным, поэтому можно записать

акМ к

для трубопровода, расположенного перед компрессором, будет

брв, получаем уравнение движения газа в трубопроводе и ком­ прессоре, считая постоянным статическое давление на выходе из компрессора:

дкМк

200

Имея в виду, что возбуждение компрессора начинается в окрестностях а* = 0, можно полагать, что инерционность столба воздуха в трубопроводе и компрессоре при изменении наклона напорной характеристики компрессора остается постоянной, т. е. можно принять

я * + а*

получаем для случая малого значения средней осевой скорости газа (Мк «С 1 ) уравнение трубопровода и компрессора в виде

бопровода и компрессора не превышает величины порядка чет­ верти длины волны, соответствующей частоте возбуждения. Бу­ дем считать, что дроссель работает при сверхкритическом пере­ паде давления, т. е. 6Л4др = 0.

Линеаризуя характеристику сопротивления R2, найдем

A Pr = R'Mr,

где R' = —-— , а г — коэффициент, численно равный коэффици- siPi

енту трения пористых фрикционных материалов и измеряемый в механических омах на единицу площади.

Учитывая, что скорость газа в газосборнике Сх и присоеди­ ненном объеме С2 малы, можно считать полное давление в них равным статическому давлению. При этом система линеаризо­ ванных дифференциальных уравнений, описывающих движение системы, записывается в виде

Уравнения (6.34) с достаточным приближением описывают движение в системе лишь в тех случаях, когда максимальный линейный размер газосборника и РАП вместе взятых значитель­ но меньше четверти длины волны колебаний системы:

201

Если газосборник представля­ ет собой цилиндрическую камеру (бочку), что часто бывает на ис­ пытательных стендах, то линей­ ные размеры всей конструкции будут минимальны, когда присое­

5 — присоединенный объем. Полученная система четырех уравнений 1-го порядка сводит­

ся к линейному дифференциальному уравнению 4-го порядка

где Ci и C2 — параметры, характеризующие емкостные свойства соответственно газосборника и присоединенного объема

Cf = 4а2-(‘ = 1 . 2);

L2— параметр, характеризующий инерционность столба воз­ духа в горле РАП.

Согласно критерию устойчивости Льенара — Шипара, усло­ вия устойчивости компрессора в линейном приближении записы­ ваются в виде

— безразмерные параметры.

Невыполнение хотя бы одного из неравенств (6.36) — (6.38) свидетельствует о неустойчивости работы компрессора. Из этих неравенств следует, что в принятых предположениях работа на

202

обеспечивает устойчивость работы компрессора «в малом». Кро­ ме этого, устойчивой является и часть левой ветви. Диапазон устойчивой работы компрессора в сети с применением РАП ши­ ре, чем без него. При отсутствии РАП условие устойчивости за­ писалось бы в виде F > 0.

При изменении параметров системы в общем случае будет изменяться область устойчивой работы компрессора. Дальней­ шая задача состоит в выборе параметров РАП, при которых область устойчивой работы компрессора будет наибольшей.

Условия (6.36) — (6.38) также показывают, что для практиче­

ски интересных значений параметров L и С уменьшение массо­ вого расхода через компрессор приводит к потере устойчивости при нарушении условия (6.38). Задачу можно свести к опреде­

лению такой совокупности_значений R0пт, LonT и С0Пт, при кото­

ром функция F = F(R, L, С), заданная в виде выражения (6.38) достигает минимума.

Поскольку уравнение

Ф = 1(1 + C)RF* + [R2( \ + с + 1 ) + L2] F2 + R[R2+ ( I — 1 — C)2 +

но. Получим искомый минимум, пользуясь искусственными при­ емами, основанными на методе дифференцирования неявных функций.

d F

а подставляя выражение (6.41) в уравнение —=- = 0, находим

(/L

KL [R2+ Г2— (1 + С)21 = R/VZ2— Я2( 1 + С—Z). (6 •42)

203

Эти значения соответствуют экстремальной точке. Исследова­ ние выражения (6.39) показывает, что найденный экстремум является минимумом и, притом единственным.

Выясним физический смысл факта существования экстремаль­ ного значения сопротивления РАП. Для этого рассмотрим следу­ ющие соображения. Как при отсутствии на дросселе сопротивле­ ния Rz, так и при бесконечно большой величине /?2, рассеяния энергии на нем не происходит: в первом случае — потому что нет потерь, а во втором случае — потому что нет расхода. При про­ межуточных значениях #2 (0 < R2 < оо) на нем рассеивается ко­ лебательная энергия. Из соображений непрерывности функции

F = F(R, L, С) по всем параметрам следует, что должно суще­ ствовать такое (вообще говоря, не единственное) значение вели­ чины гидравлического сопротивления /?2, при котором рассеи­ вается максимальное количество колебательной энергии.

704

Физический смысл существования экстремального значения инерционного параметра L2, по-видимому, связан с резонансны­ ми явлениями в системе и может быть объяснен следующим образом.

Подставим найденные оптимальные значения параметров L, R и F из выражения (6.47) в уравнение движения (6.35). Тогда для границы устойчивости получим уравнение движения в виде

Составляя характеристическое уравнение и решая его отно­ сительно (о2, находим собственные частоты системы на границе устойчивости:

По одной из этих двух частот происходит возбуждение помпажа. Найдем эту частоту. Характеристическое уравнение на границе устойчивости может быть записано в виде

Оно определяет одно чисто мнимое решение, соответствующее периодическому движению в исходной системе. Сравнивая его с общей формой записи характеристического уравнения 4-й сте­ пени

Отсюда следует, что система находится на границе самовоз­ буждения, определяемой третьим условием устойчивости Льена-

тема с РАП возбуждается всегда по наивысшей из двух собст­ венных частот.

Рассмотрим теперь электрическую аналогию (рис. 6.8). Эту схему можно представить как модель компрессорной системы

205

чения. Этот режим работы дросселя является предель­ ным с точки зрения примене­ ния РАП; при дальнейшем раскрытии дросселя исполь­ зование РАП в системе те­ ряет смысл, поскольку сужа­ ет диапазон устойчивой ра­ боты компрессора в сети. Объяснить это можно тем, что уменьшение амплитуды пульсаций давления в газо-

сборнике, связанное с раскрытием дросселя, уменьшает рассеи­

£l

Lx

Это выражение, определяющее оптимальное значение пара­ метров для границы устойчивости компрессора, связывает значе­ ние наклона его характеристики на границе самовозбуждения

———с соответствующими значениями я* и Мпр. Выражение

дМпр

(6.55) показывает, что в основном граница устойчивости опреде­

компрессора влияет существенно на положение границы устой­ чивости работы компрессора в сети с РАП. Рассмотрим пример, приведенный на рис. 6.9. Характеристика компрессора имеет вид,

м

Если же компрессор имеет характеристику, показанную на рис. 6.10, то при тех же параметрах системы расширение диапа­ зона устойчивой работы оказывается малым. На рис. 6.11 приве­ дена характеристика экспериментальной ступени. Расширение

207

диапазона устойчивой работы, вызванное постановкой в систему компрессора РАП, составит при этом 5% диапазона устойчивой работы в системе без РАП. На рис. 6.12 показаны графики опти­ мальных значений параметров

построенные_в полулогарифмическом-масштабе координат. За­

висимость F = F(R) для различных значений L при С = 5 при­ ведена на рис. 6.13, где линия минимумов дана штрихпунктирной кривой.

6.5. ОБ ИЗМЕРЕНИЯХ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Обычно, при экспериментальных исследованиях помпажа из­ меряется давление за компрессором и расход через какое-либо сечение системы (см., например [38]). Этих данных недостаточно, чтобы сколь-нибудь полно проанализировать поведение компрес­ сора с сетью.

Полученные результаты позволяют указать, какие измерения необходимо проводить при испытании компрессоров и вентиля­ торов, чтобы достичь следующих целей исследований:

а) построить характеристикувентилятора не только в облас­ ти устойчивых, но и в области неустойчивых режимов работы;

б) определить экспериментально коэффициенты La и Са, ха­ рактеризующие свойства вентилятора с сетью;

в) построить предельные циклы на фазовой плоскости. Перечень измерений следующий.

1. Нужно снять осциллограммы полного давления рк за вен­ тилятором и объемного расхода QK через него во время помпа­ жа или во время какого-либо переходного процесса, охватываю­ щего неустойчивую зону. Так как непосредственно определить объемный расход трудно, можно измерить скоростной напор за вентилятором и далее пересчитать его на объемный расход.

2.Записать на осциллографе полные давления перед выход­ ным и за входным дросселями.

3.Очень желательно получить характеристику при отрица­ тельных расходах, ее можно снять путем подачи напора воздуха

ввыходной дроссель.

Если при снятии характеристики компрессора помпаж очень интенсивен или вообще недопустим, можно снять характеристику при достаточно малом числе оборотов, когда помпаж мал или совсем отсутствует, и затем пересчитать характеристику на но­

минальное число оборотов.

Все измерения необходимо производить достаточно мало­ инерционными датчиками.