книги из ГПНТБ / Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах

где V — объем, выделяемый сечениями 1 п 2. Учитывая, что W = Qp, имеем

рс2

Переходим к полным давлениям и температурам:

Будем полагать, что изменение скорости потока, текущего че­

120

где

Как следовало ожидать, такая идеализация оказалась не­ удовлетворительной. Тогда наряду с уравнением (3.63) было рассмотрено уравнение вида (1.7) в форме

“= (P/i — P t i ) + Ар/2Ь

где Др/21 — приращение полного давления, создаваемое лопастью ступени в соответствии с ее характеристикой.

Сопряжение отдельных ступеней позволило перейти к анализу компрессора в целом. Этот анализ, проведенный для двух ком­ прессоров (пяти- и семиступенчатого), показал, что расчетные и экспериментальные участки устойчивой работы хорошо совпа­ дают для широкого интервала оборотов, причем линия границы устойчивости проходит на нисходящих участках характеристик компрессора довольно далеко от точек максимума характерис­ тик.

Нужно отметить, что если бы было справедливо предположе­ ние об устойчивости отдельной ступени на нисходящих участках характеристики, то оно должно быть справедливым для всего компрессора. Можно сказать, что моделирование отразило ха­ рактер работы компрессора точнее, чем это вытекало из пред­ положений авторов.

Аналогичным путем была исследована устойчивость турбо­ вентиляторного двигателя; результаты расчета оказались доста­ точно близки к экспериментальным.

Было изучено влияние формы характеристики компрессора и геометрии ступеней на область устойчивости.

Установлено, что при увеличении объема компрессора устой­ чивость уменьшается и компрессор начинает себя вести, как недодемпфированная упругая многоемкостная система. Построен­ ные частотные характеристики компрессора показали, что при увеличении выходного объема в 10 раз по отношению к номи­ нальному значению, частотная характеристика, ранее достаточ­ но пологая, приобрела ряд резонансных пиков.

Выполненное исследование влияния внешних помех на пяти­ ступенчатый компрессор дало интересные результаты.

При одномерных синусоидальных помехах, приложенных к давлению на входе, было обнаружено, что граница устойчивой работы системы зависит от амплитуды и частоты помех. Оказа­ лось, что компрессор может выносить достаточно большие низко- и высокочастотные помехи, но он очень чувствителен к помехам в окрестности 500 колебаний в секунду. Когда начина-

121

ются синусоидальные помехи, возникает несогласованность ре­ жима между отдельными лопастями; по отношению к отдельным

ванной амплитуды существуют некоторый промежуток времени и затем периодически повторяются. Обнаружено, что может быть указана такая амплитуда помехи, при которой теряется устой­ чивость работы компрессора.

В рассматриваемой работе в основном анализировалась про­ блема устойчивости. Очевидно, что аналогичным образом могут быть исследованы переходные и установившиеся процессы в системе.

Некоторые вопросы, связанные с мягким или жестким помпажом, рассматриваются в литературе [15]. Здесь в основу иссле­ дования неустойчивости берется «вариационный принцип макси­ мума потока механической энергии» [14], согласно которому на­ блюдаемое (устойчивое) движение вязкой среды отвечает уело-. вию максимума потока механической энергии через определяю­ щее сечение. Под определяющим сечением в практических рас­ четах принимается поверхность, на которой концентрируются процессы энергообмена и диссипации.

Автор отмечает, что помпаж — неустойчивость движения — проявляется в форме колебания всей массы среды, заполняю­ щей машину и сеть, и что частота колебаний существенно зави­ сит от инерционности, а амплитуда — от демпфирующих свойств системы.

В предположении р = const рассматривается характеристика

жесткий режим происходит в области, близкой к Нтах. Мягкий и жесткий помпаж возникает на восходящей ветви характерис­ тики самопроизвольно.

Условия неустойчивости жесткого режима, согласно «вариа­ ционному принципу максимума», принимают вид

Тогда на характеристике компрессора определяются две точки:

dQ

122

РАЗДЕЛ II

ПОМПАЖ В СИСТЕМАХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ; ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ПОМПАЖ

ГЛАВА 4

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОМПАЖА В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ

До снх пор мы рассматривали колебательные процессы в си­ стемах, включающих компрессоры с сетью, в предположении, что сложная распределенная акустическая система может быть аппроксимирована системой с одной степенью свободы.

Разработанная в этом предположении теория позволила объяснить ряд основных явлений, наблюдающихся при помпаже, вывести критерий устойчивости «в малом» и «большом», ус­ тановить возможность мягкого и жесткого возникновения коле­ баний, определить их частоту и амплитуду, указать причину гистерезисного характера колебаний, часто наблюдающегося на практике. С ее помощью предсказан ряд явлений, которые могут происходить при помпаже, в частности, возможность потери ус­ тойчивости на нисходящих участках характеристики компрессо­ ра, а также целенаправленного выбора параметров сети.

Сравнение теоретических исследований с экспериментальны­

[1], в ряде случаев наблюдаются скачкообразные изменения час­ тоты и амплитуды колебаний, форма колебаний часто далека от гармонической, встречаются постепенные переходы от одной частоты к другой.

Все эти существенные обстоятельства не получают должного объяснения в рамках теории систем с сосредоточенными посто­

распределенную систему. Такой анализ позволяет указать гра­ ницы применимости упрощенной теории, а также дает возмож­ ность теоретически изучить те особенности, которые характери­ зуют распределенные свойства компрессорных систем.

Исследование распределенной системы, включающей ком­

1 2 4

прессор с коммуникациями в рамках линеаризованного прибли­ жения, выполнено в работах (5 и 6], по которым и ведется даль­ нейшее изложение с необходимыми дополнениями и изменениями. Кроме того, развивается приближенный метод исследо­ вания нелинейной распределенной системы, учитывающий нелинейные свойства характеристики компрессора. В результате выводятся соотношения, определяющие амплитуды и частоты периодических колебаний, находятся условия существования мягкого или жесткого режима возбуждения автоколебаний, оп­ ределяется характер устойчивости периодических движений и даются аналитические условия, накладываемые на характеристи­ ку компрессора, при выполнении которых возможно возбужде­ ние колебаний на нисходящих ветвях характеристики компрес­ сора.

4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

При выводе уравнений сделаем некоторые упрощающие пред­

положения.

Примем, что в рассматриваемую акустическую систему вхо­ дят компрессор с присоединенным к нему трубопроводами, объемами, дросселями и др. При этом трубопроводы представ­ ляют собой одномерные распределенные системы, а объемы и дроссели — сосредоточенные сопротивления. Как и раньше, ком­ прессор заменим эквивалентным активным нелинейным сопро­ тивлением, свойства которого определяются характеристикой компрессора. На концах трубопроводы нагружены на акустичекие сопротивления. Такая модель справедлива для компрессоров небольшой осевой протяженности. Примем, что скорость потока мала по сравнению со скоростью звука.

На рис. 4.1 представлена схема рассматриваемой системы. Ко входу и выходу компрессора присоединены трубопроводы со­ ответственно длин /i и /2 и поперечных сечений Si и S2-

Поведение системы может быть описано посредством уравне­ ний гидродинамики в форме Эйлера и уравнений состояния

(4.3)

где U, р и р — скорость, плотность и давление, являющиеся функциями времени t и координаты х;

у— показатель диабаты;

аи т — коэффициенты внутреннего и турбулентного

трения;

d — диаметр трубопровода.

125

входного трубопровода, а ось направим по оси трубопроводов. Если предположить, что трубопроводы отделяются один от

другого компрессором и на их концах помещены акустические сопротивления Z\ и Z2, то для граничных условий задачи получа­ ем выражения

(4.4) — (4.7) нелинейны. Однако при рассмотрении устойчивости

126

где <7t и pi — приращения объемной скорости .(<?» = Sif/») и дав­ ления (штрихи у pi и U{ отброшены); U0i и ро,-— постоянные со­

Из уравнения (4.12) определяется объемная скорость <?,• как функция времени т и координаты у , т. е. qi — qi{x, у ) . Давление P i ( т, у ) найдется из уравнения (4.13) по известному qi(x, у). В самом деле, из уравнения (4.13) следует

о

Преобразуем также граничные условия (4.4) — (4.7), выразив входящие в них переменные через приращения. Не следует, од­ нако, думать, что при таком преобразовании граничные условия во всех случаях будут рассматриваться как линейные. При ис­ следовании устойчивости и условий самовозбуждения граничные условия будут приниматься как линейные с постоянными коэф­ фициентами. При исследовании автоколебаний необходимо учи­ тывать существенные нелинейности в характеристике компрес­ сора. Этот учет можно осуществить тем, что коэффициенты линеаризованных уравнений (граничных условий) будем прини­ мать зависящими от основных переменных.

• Выражения (4.4) и (4.7) могут быть записаны в виде

причем в дальнейшем разности р\— /?ш и р2— р<я, представляю­ щие собой избыточные давления, будем обозначать соответст-

127

то вместо выражений (4.16) находим (штрихи у р и р опускаем)

Представим уравнения (4.18) и (4.21) в виде уравнений че­ тырехполюсника. Для этого1решим их относительно переменных

128

Следовательно, граничные условия вместо выражений (4.4) — (4.7) примут вид

Уравнения (4.25) и (4.26) являются эквивалентными лине­ аризованными уравнениями (4.5) и (4.6) компрессора. При этом компрессор рассматривается как четырехполюсник, свойства ко­ торого характеризуются четырьмя коэффициентами Ли, h\2, Л21, Л22. При исследовании устойчивости системы будем полагать, как указано выше, эти коэффициенты постоянными,

дF

что соответствует постоянству производной F ' = —— . Посколь- dQi

ку функция F' зависит от расхода Q2, то при нарушении усло­ вий устойчивости уже нельзя полагать F'(Q2) = const. Установ­ ление автоколебаний в системе как раз и обусловлено зависи­ мостью производной F' от расхода Q2. Следовательно, предпо­ ложение о постоянстве коэффициентов четырехполюсника Лц, Л12, Л21, Л22 справедливо до тех пор, пока система устойчива.

Таким образом, поведение системы описывается линеаризо­ ванными уравнениями в частных производных (4.12) и (4.13) при линейных (постоянные Лц, h\2, h2U Л2г) или'нелинейных (пере­ менные Лц, Л12, Л21, Л2г) граничных условиях (4.24) — (4.26).

4.2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ

Решение уравнений в частных производных при нелинейных граничных условиях представляет значительные трудности. В не­ которых случаях хорошие результаты может дать метод Фурье.