Добавил:

lightcharm github.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Физика

Файл:

Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

.pdf

Скачиваний:

131

Добавлен:

30.09.2023

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 239 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Для доказательства рассмотрим заряженный проводник в вакууме. В состоянии


равновесия поле внутри проводника		, что достигается при определенном и единст-
	E 0
венном распределении поверхностного заряда . Поле в вакууме обозначим				. Поверх-
			E0

ность проводника эквипотенциальна.

Теперь заполним все пространство, где есть поле, однородным диэлектриком. При

его поляризации появятся только поверхностные заряды , причем 1 .

Внутри проводника поле по прежнему равно нулю. Это значит, что распределение

всех зарядов в приповерхностном слое ( ) подобно прежнему распределению сторон-

них зарядов .

					Dn
Согласно теореме Гаусса для вектора		E : 0 En ,	где	En	Dn		, поэтому
Согласно теореме Гаусса для вектора		E : 0 En ,	где	En			, поэтому
					0	0
		.

Но если заряды, создающие поле,	уменьшились в		раз,	значит и поле E стало
всюду меньше поля E0 во столько же раз.
Как следствие, в этом случае φ φ0	/ , U U0 / , C C , где φ - потенциал; U - раз-
ность потенциалов в диэлектрике ( φ0 ,U0	- без него); C - емкость конденсатора с диэлек-
триком; C - без диэлектрика.
							необходимо
Чтобы определить силу F , действующую на заряд q в диэлектрике,							необходимо

учесть, что для того, чтобы заряженное тело поместить в диэлектрик, необходимо сделать полость. На поверхности полости возникнут связанные заряды, поэтому поле внутри по-

лости будет отличаться от поля E в сплошном диэлектрике. Кроме того, при поляризации

диэлектрики деформируются (это явление называется электрострикцией), что приводит к возникновению механических напряжений и к появлению дополнительной механической силы, действующей на тело.

В случае жидкого или газообразного диэлектрика возможно применять формулы:

	F	1	q1q2

F qE и				.
F qE и		4 0	r 2	.
		4 0	r 2
По первой из них рассчитывают силу
По первой из них рассчитывают силу	F , действующую на заряд q в диэлектрике,
по второй - силу взаимодействия между точечными зарядами q1					и q2 , находящимися на
расстоянии r друг от друга в среде с диэлектрической проницаемостью .

В твердом диэлектрике значение силы F изменяется от qE					до qE в зависимости от

формы полости, в которой размещают заряд q.

Вопрос 6.1. Между обкладками плоского заряженного конденсатора поместили па-

раллельно им незаряженную стеклянную пластину. На поверхностях стеклянной пласти-

ны появились заряды Q1 и Q2 (рис.6.5).

Рис.6.5.

Укажите ошибочные утверждения:

а) заряды Q1 и Q2 называются сторонними зарядами;

б) Q1 0 ;

в) Q1 Q2 0 ;

г) векторы напряженности внутри стеклянной пластины и вне пластины направле-

ны в противоположные стороны.

Ответ: а), б), г). Заряды Q1 и Q2 появились на поверхностях пластины в результа-

те поляризации стекла в поле заряженного конденсатора, они принадлежат молекулам

пластины и называются связанными зарядами. Полярность заряда Q1 отрицательна, так как против поля смещаются отрицательные заряды. Пластина из однородного и изотроп-

ного диэлектрика (стекло - аморфный материал) размещена между эквипотенциальными


поверхностями поля E0 сторонних зарядов (конденсатора), поэтому поле внутри пластины

E E0 /		коллинеарно полю E0 .

	Вопрос 6.2. Векторы смещения D		и напряженности E в одной и той же точке ди-

электрика связаны соотношением D 0 E , если диэлектрик:
	а) однородный и изотропный;
	б) однородный и анизотропный;
	в) неоднородный и изотропный.

	Ответ: а), в). При не очень сильных полях E поляризованность			P изотропного

диэлектрика связана с полем внутри диэлектрика соотношением P 0 E . Величины P и
	являются локальными характериками и их пропорциональность соблюдается при не
E
			82


очень сильных полях и для неоднородного вещества. Так как вектор смещения D			0 E P ,

соотношение D 0 E , где		1 , верно как для однородного, так и для неоднородного

изотропного диэлектрика. При наличии анизотропии вектор P , в общем случае, не колли-
неарен вектору
неарен вектору	E .

Вопрос 6.3. Как изменятся потоки векторов напряженности E и смещения			D через

замкнутую поверхность S, которая охватывает часть наэлектризованного трением диэлек-

трика, если включить внешнее электрическое поле (рис.6.6)?

		Рис.6.6.
а) поток вектора		изменится, поток вектора		не изменится;
	E		D
б) поток вектора		изменится, поток вектора		не изменится;
	D		E

в) оба потока изменятся.

Ответ: а). При электризации трением на поверхности диэлектрика появились сто-

ронние заряды и соответствующие им связанные заряды. Если включить внешнее поле,

поверхностная концентрация связанных зарядов в результате	поляризации изменится.

Это приведет к изменению потока вектора E , так как он определяется алгебраической
	зависит только от сторон-
суммой всех зарядов внутри поверхности S. Поток вектора D	зависит только от сторон-

них зарядов и останется прежним.

Вопрос 6.4. К границе раздела двух диэлектриков прилегает воображаемая замкну-

тая поверхность A в виде бесконечно тонкого прямого цилиндра с площадью основания S

(рис.6.7).

Рис.6.7.


На границе отсутствуют сторонние заряды. Если		и		- векторы напряженности
На границе отсутствуют сторонние заряды. Если	E1	и	E2	- векторы напряженности
электрического поля вблизи границы в первом и втором диэлектриках,						и		- проек-
					E1n	и	E2n	- проек-

ции этих векторов на нормаль n к границе раздела, то:

а) поток через замкнутую поверхность A равен (E1n E2n )S ;

б) поток через замкнутую поверхность A равен (E1n E2n )S ;

в) поверхностная плотность связанных зарядов на границе раздела 0 (E1n E2n ) .

Укажите и обоснуйте правильный ответ.


Ответ: б), в). Поток через поверхность A складывается из потока 1 вектора
			E1
через верхнее основание цилиндра и потока 2 вектора		через нижнее основание. По-
через верхнее основание цилиндра и потока 2 вектора	E2	через нижнее основание. По-

ток через боковую поверхность равен нулю, так как цилиндр бесконечно тонкий. В соот-


ветствии с определением 1 E1nS E1n S	и 2 E2n S E2 ( n)S E2n S , где			n - единичный
вектор внешней по отношению к поверхности A нормали к нижнему основанию цилиндра.

Поэтому 1 2 (E1n E2n )S . В соответствии с теоремой Гаусса для вектора E вели-
чина равна сумме всех зарядов внутри поверхности A,			деленной на 0 .
По условию сторонние заряды отсутствуют,		а сумма связанных зарядов равна S .

В результате 0 (E1n E2n ) .

Вопрос 6.5. Точки 1 и 2 примыкают к границе раздела двух различных диэлектри-

ков и расположены по разные стороны от нее (рис.6.8).

Рис.6.8.

Сторонние заряды на границе раздела отсутствуют. Сплошной стрелкой указан

вектор смещения электрического поля		в точке 1.
вектор смещения электрического поля	D1	в точке 1.
Укажите правильное направление векторов напряженности				и смещения		в
Укажите правильное направление векторов напряженности			E2	и смещения	D2	в

точке 2.

Ответ. Направление Б соответствует вектору D2 . Это следует из условия непре-

рывности нормальной составляющей вектора D на границе раздела двух диэлектриков в отсутствие сторонних зарядов.

Вопрос 6.6. В однородном изотропном диэлектрике проницаемостью объемные

плотности сторонних и связанных зарядов удовлетворяют уравнениям:


а)	divE ( ) / 0			,	0divE ;

б)		div E / 0	,		0divE .

Укажите и обоснуйте правильные соотношения.

Ответ: а) Первая формула варианта а) - формулировка теоремы Гаусса для поля

E в локальной форме. Вторая формула варианта а) следует из теоремы Гаусса для вектора

D , если диэлектрик однородный и изотропный. Для однородного диэлектрика const и

диэлектрическую проницаемость можно вынести за знак « div », для изотропного диэлек-

трика справедливо соотношение D 0 E .

Примеры решения задач

Поле в диэлектрике. Поверхностный связанный заряд

Пример 6.1. Точечный заряд q находится в центре шарового слоя из однородного изотропного диэлектрика. Внутренний и внешний радиусы слоя равны r1 и r2 . Проницае-

мость диэлектрика . Внутри и вне слоя 1. Определите: а) модуль E вектора напряжен-

ности электрического поля как функцию расстояния r от центра слоя (постройте график

зависимости E(r)); б) связанные заряды q	и q	на внутренней и внешней поверхностях
1	2
слоя.

Решение. а) Чтобы определить зависимость E(r), найдем величину электрического

смещения D(r). Для этого воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D . С учетом сфе-

рической симметрии распределения вещества диэлектрика относительно заряда, электри-

ческие поля смещения и напряженности также являются сферически симметричными

(рис.6.9).

Рис.6.9.

E q / 4 0r 2

D q / 4 r 2

Поэтому поток поля смещения через сферическую поверхность произвольного ра-

диуса r с центром в точке нахождения заряда равен Ф D(r) 4 r 2 q . Откуда получим для любых значений r как внутри, так и вне диэлектрика. Для изотропных ди-


электриков	D	0	E , поэтому E q / 4 r 2	вне диэлектрика при r < r	1	и r > r и
		0	0		1	2

внутри диэлектрика при r1 < r < r2.

График зависимости E(r) приведен на рис.6.10.

Рис.6.10.

б) Величины связанных зарядов найдем, применив теорему Гаусса для вектора E :

EdS (q q ) / 0 .

В	областях вне	диэлектрика для любой сферической поверхности получим
q / 4 r 2	4 r 2 (q q ) /	0	и, соответственно,		q 0 - полный связанный заряд внутри по-
0		0
верхности. Внутри диэлектрика: q / 4				r 2 4 r 2	(q q ) /	0	и q q(1 1/ ) не зависит от r.
			0		1	0	1

По условию задачи диэлектрик однороден и изотропен, внутри него отсутствуют сторон-

ние заряды. Поэтому заряд q	локализован на внутренней поверхности диэлектрического
1

слоя. Из условия электронейтральности диэлектрика следует, что величину положитель-

ного связанного заряда q	на внешней границе слоя определяет соотношение q	q .
2	2	1

Граничные условия. Поверхностная плотность связанного заряда

Пример 6.2. Точка 1 расположена в диэлектрике проницаемости 1 , очень близко к границе раздела с другим диэлектриком, проницаемость которого 2 . В точке 1 вектор на-

пряженности составляет угол α 60 с нормалью к границе раздела, а модуль этого векто-

ра E1 1000 В/м. Считая, что на границе раздела отсутствуют сторонние заряды, определи-

те величину поверхностной плотности связанных зарядов вблизи точки 1.

Решение. Величина может быть определена исходя из граничных условий для

вектора поляризованности
вектора поляризованности	P :
	P	P	.
	2n	1n
	86

Для изотропного диэлектрика справедливо соотношение (рис.6.11).

Рис.6.11.


	P	0 E ( 1) 0 E ,
	P	(	1)		E
	1n	1			0 1n
		( 1	1) 0 E1 cos .
Чтобы определить E2n ,	воспользуемся условием непрерывности нормальной со-
ставляющей вектора индукции
ставляющей вектора индукции	D на границе раздела двух диэлектриков в случае отсутст-
вия сторонних зарядов. При этом D1n = D2n и E2n (ε1 / ε2 )E1n .
В результате получим
0 E1 cos α( 1 1 ( 2 1) 1 / 2 ) 0 E1 cos α(( 1				2 ) / 2 ) .
Знак зависит от соотношения между				1 и		2 . Для представленных на рис.6.11
данных 0 .

Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Объемная плотность связанного заряда

Пример 6.3. В некоторой области однородного изотропного диэлектрика прони-

цаемости вектор напряженности электрического поля зависит от координат x, y, z пря-


моугольной системы координат по закону E (xex		yey ) , где - известная постоянная;

ex , ey - орты осей. Определите объемные плотности стороннего и связанного заряда
в данной области.
	Решение. Дифференциальная форма теоремы Гаусса для векторов напряженности

E	и смещения D устанавливает связь дивергенции этих полей с объемными плотностями
зарядов в заданной точке пространства:

	divE ( ) / 0 ,	divD .

Для однородного и изотропного диэлектрика справедливо соотношение 0divE .

Для данного примера

2 (x / d)2

Ex Ey . divE 2

x y

Решение задачи сводится к системе уравнений:

2 0 ,2 .

Объемные плотности и равны:

2 0 ( 1) ,2 0 .

Заряженные диэлектрики. Плоская пластина

Пример 6.4. Сторонние заряды однородно распределены с объемной плотностью

0 по бесконечно большой пластине толщиной 2d из изотропного диэлектрика, прони-

цаемость которого зависит от координаты x по закону (ось X перпендику-

лярна пластине, x = 0 в середине пластины). Считая, что пластина находится в вакууме,

определите: а) модуль вектора напряженности E внутри пластины как функцию координа-

ты x; б) поверхностную плотность связанного заряда на поверхности пластины.

Решение. Так как известно распределение только сторонних зарядов, воспользуем-

ся теоремой Гаусса для вектора D . Из соображений симметрии ясно, что в середине пла-

стины как E , так и D равны нулю, а во всех остальных точках эти векторы перпендику-

лярны поверхности пластины. Возьмем в качестве замкнутой поверхности прямой цилиндр высотой x с площадью основания S, одно основание которого лежит в средней плоскости пластины. Тогда поток поля электрического смещения через замкнутую по-

верхность гауссова цилиндра будет определяться потоком через основание, удаленное от срединной плоскости на расстояние x:

D S q V Sx ,	E	D	x	x		.
				0[2 (x / d )2
		0	0		]
Соответствующие зависимости Ex (x)	и (x) приведены на рис.6.12.

Рис.6.12.

Поверхностная плотность связанного заряда равна:

	d	2		d	2
		2

Pn ( 1) 0 En 2			1 0			d .
Pn ( 1) 0 En 2			1 0	0[2 (d / d )2 ]		d .
	d			0[2 (d / d )2 ]	3

Этот результат справедлив для обеих поверхностей пластины. Таким образом, если сторонний заряд 0 , то на обеих поверхностях пластины выступит также положитель-

ный связанный заряд. В соответствии с условием электронейтральности отрицательный связанный заряд распределен в объеме пластины.

Заряженные диэлектрики. Цилиндр

Пример 6.5. Сторонние заряды однородно распределены с объемной плотностью

0 по цилиндру радиусом R из изотропного диэлектрика, проницаемость которого за-

висит от расстояния r до оси цилиндра по закону a r , где a и - постоянные. Ци-

линдр находится в вакууме. Пренебрегая краевыми эффектами, определите: а) модуль вектора напряженности внутри цилиндра как функцию расстояния r до его оси; б) поверх-

ностную плотность связанного заряда на поверхности цилиндра.

Решение. Учитывая симметрию задачи, можно сделать вывод, что вектор E на-

правлен вдоль радиуса цилиндра. Применим теорему Гаусса для вектора D к замкнутой поверхности в виде цилиндра радиусом r R . Высота цилиндра радиусом r равна H и ос-

нования перпендикулярны оси цилиндра радиусом R (рис.6.13).

Рис.6.13.

Поток вектора		через основания равен нулю, через		боковую поверхность
	D

D 2 rHD(r) . Так как внутри цилиндра диэлектрик изотропен			D	0 E . В результате по-

лучим

2 rH(α r) 0 E r 2 H ,
E r / 2 0 (α r) .
Для расчета применим соотношение
	σ ( 1) 0 En ,
( R 1)			R	R		1
	0				1		.
					1		.
		2 0	( R)	2
		2 0	( R)	2		R

Сила взаимодействия

Пример 6.6. Вдали от точечного заряда Q расположена тонкая диэлектрическая пластинка площадью S, причем линейные размеры пластинки много меньше расстояния l

между нею и зарядом. Плоскость пластинки перпендикулярна направлению на заряд.

Толщина пластинки d, диэлектрическая проницаемость . Найдите силу, с которой пла-

стинка притягивается к заряду.

Решение. Для определенности считаем Q 0 . В результате поляризации диэлек-

трика в поле заряда Q на поверхностях пластинки появится связанный заряд. Поверхност-

ная плотность отрицательного связанного заряда, расположенного на ближней к заряду Q

поверхности, равна , положительного (рис.6.14).

Рис.6.14.

Из условия электронейтральности следует, что . Плоскость пластинки перпендикулярна направлению на заряд и l S . Эти исходные данные позволяют счи-

тать, что пластинка приблизительно заполняет объем между двумя эквипотенциальными поверхностями поля E0 стороннего заряда Q и напряженность в диэлектрике определена соотношением

E E0 / Q / 4 0l 2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 239 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Ресурсы

#
30.09.20233.59 Mб80Горбатый Овчинников Задачник.pdf
#
30.09.202313.23 Mб311Лабы Механика СПИРИДОНОВ.pdf
#
30.09.20231.32 Mб61Лабы Электричество и Магнетизм ГОРБАТЫЙ.pdf
#
30.09.2023898.58 Кб121ОВЧИННИКОВ Механика и Молекулярная физика.pdf
#
30.09.20237.08 Mб44Физика Макросистем ИРОДОВ.pdf
#
30.09.20235.29 Mб131Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА.pdf