Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

Примеры решения задач

Сила Тока. Плотность тока

Пример 9.1. Найдите суммарный импульс электронов в прямом проводе длиной L=1000 м, по которому течет ток I = 70 А. Масса электрона m = 0,911 10–30 кг .

Решение. Суммарный импульс электронов равен импульсу одного электрона m

умноженному на число электронов в проводе N , т.е. P m N . Из определения плотности

тока найдем, что j / en , а N n V n L S . Для суммарного импульса получим

P mj S L / e . Учитывая, что I j S , окончательно получаем P mIL / e .

Пример 9.2. В цилиндрическом проводнике с поперечным сечением радиусом R

вектор плотности тока параллелен оси проводника, а его модуль зависит о расстояния r до

dI 2 rdr j(r) 2 rdr j0 (1 r / R) . Суммируя элементарные токи по всей поверхности попе-

речного сечения, найдем

Пример 9.3. Металлический шар радиусом a окружен концентрической тонкой ме-

таллической оболочкой радиусом b. Пространство между этими электродами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением . Найдите сопротив-

ление меж-электродного промежутка. Рассмотрите случай b .

Решение. Способ 1. Представим, что шар и оболочка заряжены зарядом q соот-

ветственно. Через слабо проводящую среду, заполняющую пространство между ними, по-

течет ток разрядки. В силу сферической симметрии распределения зарядов распределение плотности тока будет обладать такой же симметрией, т.е. j j(r) . Поэтому полный ток утечки через концентрическую сферическую поверхность радиусом r равен I j 4 r 2 и

не зависит от r . Напряженность электрического поля в проводящем пространстве будет

E(r) j I / 4 r 2 . Соответствующее напряжение на проводящих обкладках равно:

Способ 2. Представим ток сквозь любую замкнутую поверхность, окружающую

металлический шар, как поток поля вектора плотности тока в виде

где q - заряд металлического шара ( q - заряд окружающей сферической оболочки).

Разность потенциалов между заряженными поверхностями шара и оболочки равна:

U φ q(1/ a 1/ b) / 4 0 . Величина сопротивления, равная отношению напряжения к току,

как и в способе 1 решения, равна: R (b a) .

4 ab

Способ 3. Разобьем сферическое пространство проводящей среды на элементарные концентрические слои с металлическими электродами. Сопротивление всей среды при этом разобьется на последовательно соединенные элементарные сопротивления, величина которых равна: dR dr / 4 r 2 . Полное сопротивление межэлектродного пространства рав-

но:

Пример 9.4. Два металлических шара с одинаковыми радиусами a находятся в од-

нородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением . Найдите сопротивление среды между шарами при условии, что расстояние между ними значительно больше a.

Решение. Представим процесс протекания тока между шарами так, как на рис.9.2.

Рис.9.2.

При этом сопротивление всей среды равно последовательно соединенным сопротив-

лениям, которые получены в предыдущей задаче и равны Ra / 4 a . Поэтому полное сопро-

тивление среды R Ra Ra / 2 a .

122

Закон Ома для однородного участка цепи

Пример 9.5. Между пластинами плоского конденсатора находится неоднородная

слабо проводящая среда, удельное сопротивление которой изменяется по линейному за-

кону в направлении, перпендикулярном к пластинам. Отношение максимального значения удельного сопротивления к минимальному равно . Ширина зазора d. Найдите объемную плотность заряда в зазоре при напряжении на конденсаторе U.

Решение. Плотность электрического заряда определяется дивергенцией вектора

правлены вдоль х (рис.9.3), плотность заряда запишется как об x 0dE(x) / dx .

Рис.9.3.

Записывая дифференциальный закон Ома в виде E(x) j уд(x) (где j - плотность то-

ка, которая, в силу его постоянства, является однородной величиной по х), получаем

123

Закон Ома для неоднородного участка цепи

Пример 9.6. Найдите разность потенциалов 1 2 между точками 1 и 2 схемы на рис.9.4, если R1 = 100 Ом, R2 = 20 Ом, E1 = 5 В и E 2 = 2 В. Внутренние сопротивления источ-

ников тока пренебрежимо малы.

Рис.9.4.

Решение. Искомую разность потенциалов найдем, применяя закон Ома для неод-

нородного участка цепи, предварительно определив ток I. Зададим положительное на-

правление обхода контура - направление по часовой стрелке (рис.9.5).

Рис.9.5.

Записав закон Ома для нашего замкнутого контура E1 E2 I R1 R2 , найдем значе-

ние тока:

I (E1 E2 ) /(R1 R2 ) .

(Напомним, что величина ЭДС принимается положительной, если при обходе вдоль контура мы движемся от отрицательного электрода к положительному, и отрица-

тельной - в противоположном случае.)

Закон Ома для неоднородного участка цепи между точками 1 и 2 (берем верхнюю половину контура) дает

φ1 φ2 E1 IR1 .

(Еще раз обращаем внимание на правильное согласование знаков.)

Исключая ток из приведенных уравнений, получим искомую разность потенциа-

лов:

124

Замечание. Отметим, что если E1 E2 (как в условии задачи), направление тока сов-

падает с выбранным направлением обхода контура, в противном случае (когда E1 E2 ) ве-

личина тока отрицательна, т.е. направление тока противоположно направлению обхода.

При этом, независимо от соотношения между величинами E1 и E2 , потенциал в точке 1 все-

гда меньше потенциала в точке 2.

Пример 9.7. На рис.9.6 изображен фрагмент электрической цепи. Известны ЭДС источника E = 20 В, его внутреннее сопротивление r = 1 Ом, сопротивление резистора

R = 10 Ом и токи I1 = 2 А, I2 = 3 А. Определите электрическое напряжение U φ1 φ2 .

Рис.9.6.

Решение. Применяя закон Ома для неоднородного участка цепи1 2 , запишем с учетом знака всех алгебраических величин: I1R I 2 r E φ1 φ2 . Для разности потенциа-

лов получим

φ1 φ2 (I1R I 2r E ) 43B.

Пример 9.8. На рис.9.7 изображен фрагмент электрической цепи. Известны ЭДС источника E = 20 В, его внутреннее сопротивление r = 1 Ом, ток I = 2 А, емкость конден-

сатора C = 1 мкФ и его заряд q = 10 мкКл. Определите электрическое напряжение

U φ1 φ2 (см. рис.9.7).

Рис.9.7.

Решение. Вводя потенциал φ0 узла O, запишем для участков заданного фрагмента:

1 0 : φ1 φ0 q / C ,

0 2 : φ0 φ2 E Ir.

125

Складывая левые и правые стороны полученных выражений, найдем

φ1 φ2 q / C Ir E 8 В.

Закон Ома для замкнутой цепи

Пример 9.9. Для определения ЭДС E и внутреннего сопротивления r источника то-

ка собрали цепь по схеме, приведенной на рис.9.8,а.

Рис.9.8.

Перемещая контакт реостата, получили множество пар показаний U вольтметра и I

амперметра. По этим данным построили график, показанный на рис.9.8,б. Линия графика

пересекает оси абсцисс и ординат соответственно в точках I m и U m .

Найдите величины E и r. Считайте сопротивление вольтметра очень большим, а

сопротивление амперметра - пренебрежимо малым.

Решение. Согласно условию вольтметр и амперметр являются идеальными (т.е. не влияют на протекание тока). Вводя величины переменного сопротивления реостата Rx , за-

пишем закон Ома для полной цепи: (Rx r) I E . Показание вольтметра при каждом по-

ложении движка реостата равно: U Rx I . Для зависимости U от I получим линейное со-

отношение:

U E Ir .

Привязка этой линейной зависимости к графику дает: при I 0 E U m ,

при U 0 r E / Im Um / Im .

Пример 9.10. Найдите разность потенциалов φ A φB в точках А и В, если R1 = 1 Ом,

R2 = 3 Ом, E = 4 В (рис.9.9), внутреннее сопротивление источника r = 1 Ом.

126

Рис.9.9.

Решение. Сопротивления двух рукавов, по которым протекают токи источника,

одинаковы, поэтому I A IB I / 2 , где I - ток через источник. Для потенциалов в точках 1, А,

В из закона Ома для однородного участка цепи следует:

Закон Джоуля - Ленца

Пример 9.11. Элемент с ЭДС E = 6 В дает максимальный ток I m = 3 А. Найдите наибольшее количество теплоты Q, которое может быть выделено во внешнем сопротив-

лении в единицу времени.

Решение. Умножая выражение закона Ома для замкнутой цепи на величину тока I,

где слагаемые справа представляют мощности выделения джоулева тепла на внут-

реннем сопротивлении источника и внешнем сопротивлении цепи соответственно. Неиз-

вестное значение r найдем, определив максимальный ток данного элемента, а именно

Im E / r при Rвнеш 0 . Мощность выделения тепла на внешнем сопротивлении предста-

вится соотношением

Pвнеш E I E I2 / Im .

Квадратичная зависимость мощности от тока достигает максимального значения E Im / 2 при токе I Im / 2 .

127

Пример 9.12. Батарея с ЭДС = 240 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом замкнута на внешнее сопротивление R = 23 Ом (рис.9.10). Найдите полную мощность P0 ,

полезную мощность Р и КПД батареи.

Рис.9.10.

Решение. Перепишем выражение (9.1), вводя обозначения мощности:

точника;

Pвнеш - мощность выделяемая во внешней цепи.

Подстановка в выражения для мощностей тока I E /(R r) дает для искомых вели-

чин:

Пример 9.13. В двух цепях, каждая из которых содержит источник тока и внешнее сопротивление, максимальные силы тока одинаковы, а максимальная мощность во внеш-

ней цепи в одном случае в два раза больше, чем во втором. Какими параметрами отлича-

ются эти цепи?

Решение. Сила тока максимальна при коротком замыкании, когда внешнее со-

противление равно нулю. При этом I m E / r и, таким образом, отношение величины ЭДС к внутреннему сопротивлению в обоих случаях одинаково (рис.9.11).

Рис.9.11.

128

Максимальная полезная мощность (мощность, выделяемая во внешней цепи)

E /r одинаково в обоих случаях, то вдвое большая полезная мощность при одинаковых силах тока обеспечивается вдвое большей величиной ЭДС. При этом внутреннее сопро-

тивление источника также вдвое больше.

Правила Кирхгофа

Пример 9.14. В схеме, изображенной на рис.9.12, ЭДС E = 5 В, сопротивление r = 1 Ом, ток I1 = 3 А. Определите ток I2 .

Рис.9.12.

Решение. На основании правила Кирхгофа для узлов ток во второй ветви разветв-

ленной цепи будет равен I2 I1 . Вводя направление обхода контура и учитывая направле-

ния токов и направления действия ЭДС, запишем правило Кирхгофа для замкнутого кон-

Пример 9.15. При зарядке аккумулятора током I1 = 5 А напряжение на клеммах U1

= 13,8 В. При разрядке того же аккумулятора током I2 = 8 А напряжение на клеммах U2 = 11,5 В. Определите ЭДС E аккумулятора.

Решение. Схемы процессов зарядки и разрядки показаны на рис.9.13,а,б соответст-

венно.

Рис.9.13.

129

Применяя закон Ома для неоднородного участка цепи 1 2 для случаев на рис.9.13,а,б соответственно, получаем

I1r E (φ1 φ2 )a E U1 ,

I2r E (φ1 φ2 )б E U2 .

Приведенные соотношения представляют систему двух уравнений с двумя неиз-

вестными r и E. Решая эту систему относительно неизвестной величины ЭДС, получаем

E I 2U1 I1U 2 = 12,9 В.

I1 I 2

130