Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

Рис.1.5.

По теореме косинусов

После того как шарики привели в соприкосновение и опять развели на то же расстояние l,

После того как шарики были приведены в соприкосновение, заряды перераспреде-

ляются и на каждом из шариков заряд согласно закону сохранения заряда становится рав-

ным (q1 q2 ) / 2 . Поэтому они стали взаимодействовать с силой

Уравнения (1.1) и (1.2) дают систему уравнений для неизвестных q1 и q2 :

решив которую, находим искомые заряды:

Пример 1.3. В вершинах квадрата со стороной а помещены четыре заряда q.

Найдите напряженность электрического поля на перпендикуляре, восстановленном из центра квадрата, как функцию его длины x.

Решение. Из принципа суперпозиции полей результирующее поле, создаваемое за-

рядами (рис.1.6), равно:

4

E = Ei ,

i 1

Задача сводится к суммированию четырех равных по величине, но разных по на-

правлению векторов Ei . Найдем векторную сумму полей положительного и отрицатель-

ного зарядов 1 и 3. Из подобия треугольников на рисунке получаем:

Пример 1.4. На рис.1.7 изображена одна из линий напряженности электрического

поля двух неподвижных точечных зарядов q1 и q2 . Известно, что q1 1 нКл. Определите q2 .

12

Рис.1.7.

Решение. Введем систему координат, выбрав ее, как показано на рис.1.7, т.е. ось X

проходит через заряды, а ось Y проходит через «вершину» линии поля. Так как вектор по-

ля направлен по касательной к линии поля, то в точке «вершины» Ey 0 . По принципу су-

перпозиции для поля в этой точке имеем:

E1y E2 y 0 ,

После подстановки и преобразований, взяв значения геометрических параметров из рисунка в условии задачи a1=2, a2= 8, b = 4, найдем

Электростатическое поле заряженных тел. Непрерывное распределение зарядов

Пример 1.5. На единицу длины тонкого однородно заряженного стержня АВ,

имеющего форму дуги окружности радиусом R с центром в точке О, приходится заряд .

Найдите модуль напряженности электрического поля в точке О, если угол АОВ равен .

Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат 0 совпадало с точ-

кой О, а ось Y была симметрично расположена относительно концов дуги АВ (рис.1.8).

Разобьем стержень на элементарные участки длиной dl с зарядом dq dl , который можно рассматривать как точечный.

Найдем напряженность поля, создаваемого зарядом этого элементарного участка стержня в точке О:

где R - радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, напряженность кото-

рой вычисляется. Напряженность результирующего поля найдем, воспользовавшись

13

принципом суперпозиции. В силу симметрии результирующее поле будет направлено вдоль оси Y (рис.1.8).

Рис.1.8.

Запишем выражение для проекции dEy :

Рассмотрим специальные случаи использования формулы для расчета поля, созда-

ваемого частью дуги окружности в ее центре:

- модуль напряженности электрического поля, создаваемого 1/4 части дуги окруж-

ности радиусом R в ее центре:

- модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким полукольцом радиусом R в его центре:

14

- модуль напряженности электрического поля в центре тонкого кольца радиусом R,

если половины этого кольца заряжены разноименными зарядами с линейными плотностя-

ми заряда и .

Напряженность электрического поля, создаваемого каждой из половинок, равна:

Согласно принципу суперпозиции найдем результирующее поле в центре:

Рис.1.9.

Пример 1.6. Найдите модуль и направление напряженности поля в центре кольца

радиусом а, по которому однородно распределен заряд q > 0, а в кольце сделана прорезь шириной b << a.

Решение. Рассмотрим кольцо без прорези. Тогда в силу симметрии в центре кольца поле равно нулю. С другой стороны это поле является суперпозицией поля кольца с про-

имеем

Пример 1.8. Кольцо радиусом R из тонкой проволоки имеет однородно распреде-

ленный заряд q . Найдите модуль напряженности электрического поля на оси кольца как

с зарядами dq , которые можно рассматривать как точечные. На оси кольца выберем произ-

вольную точку с координатой y . Заряд dq создаст в этой точке напряженность поля направление которого показано на рис.1.12,

Рис.1.12.

а его величина равна:

Напряженность результирующего поля найдем, воспользовавшись принципом су-

перпозиции.

В силу симметрии результирующее поле будет направлено вдоль оси Y. Поэтому

Ey dEy ,

17

Учитывая, что

Суммируя вклады всех элементов кольца, найдем для проекции результирующего

поля:

Рассмотрим напряженность поля на больших расстояниях y R :

т.е. на больших расстояниях система ведет себя как точечный заряд.

График Ey ( y) представлен на рис.1.13.

Рис.1.13.

Точки, в которых напряженность поля принимает максимальные значения, имеют координаты y R / 2 .

Пример 1.9. Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длиной 2b заряжен однородно зарядом q 0 . Найдите модуль напряженности электрического поля как функ-

цию расстояния r от центра стержня до точки прямой, совпадающей с осью стержня r b

. Исследуйте полученное выражение при r b .

Решение. Выделим на стержне элементарный заряд dq , находящийся на участке стержня dx , на расстоянии x от начала 0 координатной оси X (рис.1.14). В произвольной

18

4 0 2b r x 2

Рис.1.14.

Применяя принцип суперпозиции для нахождения напряженности поля, создавае-

мого стержнем в искомой точке, получаем

График напряженности поля, создаваемого заряженным стержнем на его оси, пред-

ставлен на рис.1.15.

Рис.1.15.

При r b напряженность поля E ~ q , т.е. на больших расстояниях поле

4 0r 2

стержня ведет себя как поле точечного заряда q, помещенного в центр стержня.

Пример 1.10. Тонкий прямой стержень заряжен с линейной плотностью

, где l - длина стержня; x - расстояние от конца стержня; 0 - положительная постоянная.

Найдите модуль напряженности электрического поля при x 0 .

Решение. Разобьем заряженный стержень на бесконечно малые элементы dx с за-

рядами dq dx (рис.1.16).

Рис.1.16.

19

создаваемого всем заряженным стержнем в точке x = 0, применим принцип суперпозиции,

суммируя величины элементарных векторов:

так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд q 0 . На единицу длины нити приходится заряд 0 . Найдите силу, с которой кольцо действует на нить.

Решение. Разобьем нить на элементарные участки длиной dl с зарядом dq dl , каж-

дый из которых можно рассматривать как точечный. На каждый точечный заряд dq кольцо действует с силой dF

dF dqEкол ,

где Eкол - напряженность электрического поля, создаваемого заряженным кольцом на оси на расстоянии l от центра (рис.1.17).