Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

Зная величину E, можно найти :

( 1) 0 E ( 1)Q / 4 l 2 .

Сила притяжения пластины к заряду Q связана с разностью сил кулоновского при-

91

7.Электроемкость проводников

иконденсаторов

7.1. Электроемкость уединенного проводника

Главной особенностью равновесного статического распределения электрических зарядов в проводниках является то, что всюду в объеме проводника напряженность элек-

трического поля должна быть равна нулю. Следствием этого являются следующие утвер-

ждения:

-потенциал всех точек проводника имеет одинаковое значение, которое называют потенциалом проводника;

-поверхность проводника является эквипотенциальной;

-объемная плотность заряда в проводнике равна нулю. Нескомпенсированные за-

ряды распределены по поверхности проводника.

Из принципа суперпозиции электрического поля следует, что если поверхностную плотность заряда уединенного проводника в каждой точке поверхности увеличить в n раз,

то все перечисленные выше свойства останутся справедливыми, а суммарный заряд про-

водника и его потенциал возрастут в n раз. Другими словами, потенциал уединенного проводника пропорционален его заряду:

φ Cq ,

где C - электроемкость проводника, зависящая от его формы и от диэлектрической проницаемости среды вокруг проводника. Электроемкость измеряется в фарадах (Ф).

Упражнение 7.1. Убедитесь в том, что электроемкость уединенного шара радиу-

сом R равна C 4 0 R .

Решение. Потенциал шара радиусом R , на поверхность которого нанесен заряд q ,

равен:

φ 1 q .

4 0 R

Сравнивая выражения потенциала шара и определение электроемкости, найдем, что C 4 0 R .

При соединении проводников с различными потенциалами проводящей проволо-

кой их потенциалы выравниваются. Если проводники отстоят далеко друг от друга, то по-

тенциал каждого из них можно рассматривать как потенциал уединенного проводника и закон сохранения заряда позволяет найти потенциал проводников после их соединения.

92

Упражнение 7.2. Два уединенных проводника с электроемкостями C1 и C2 заря-

жены до потенциалов φ1 и φ2 соответственно. Найдите потенциал φ после их соединения проволокой.

Решение. При перераспределении зарядов, в результате которого потенциалы про-

водников станут равными φ , суммарный заряд системы останется неизменным. Поэтому

C1φ1 C2 2 C1φ C2φ и, следовательно,

φ C1φ1 C2φ2 .

C1 C2

Если электроемкость одного из проводников очень велика, то его потенциал почти не меняется. На практике при соединении проводника с землей (заземлении) его потенци-

ал становится равным постоянному потенциалу Земли, который, как правило, принимают равным нулю.

7.2. Электроемкость конденсаторов

Конденсатором называют систему из двух изолированных друг от друга проводни-

ков, один из которых имеет заряд q , другой q . Проводники называются обкладками

конденсатора. Разность потенциалов между положительной и отрицательной обкладками

U называют напряжением на конденсаторе, а заряд q - зарядом конденсатора. Напряжение на конденсаторе пропорционально его заряду:

U C1 q ,

где C - электроемкость, или просто емкость, конденсатора. Обычно предполагается

(если это специально не оговорено), что электрическое поле сосредоточено только в про-

странстве между обкладками и все пространство, в котором локализовано поле, заполнено однородным диэлектриком.

Упражнение 7.3. Покажите, что емкость плоского конденсатора равна C 0 S / d ,

где S - площадь обкладок; d - расстояние между обкладками; - диэлектрическая прони-

цаемость среды между обкладками.

Решение. Конденсатор называют плоским, если расстояние между его пластинами мало по сравнению с их размерами, т.е. d << S . Электрическое поле между пластинами

Упражнение 7.4. Покажите, что емкость сферического конденсатора равна

C 4 0 ab /(b a) , a и b - радиусы обкладок (a < b).

Решение. Конденсатор называется сферическим, если его обкладками служат две

концентрические сферы радиусом a и b. Емкость найдем двумя способами.

a

кости получим

C 4 0 ab .

(b a)

Способ 2. Пусть заряд конденсатора q. Потенциалы удаленных друг от друга сфе-

рических обкладок будут при этом равны: φa q /(4 0 a) , φb q /(4 0 b) . При образовании

Упражнение 7.5. Покажите, что емкость цилиндрического конденсатора равна

C 2 0 l /ln(b / a) , где a и b радиусы цилиндрических обкладок, а l - их длина.

Решение. Конденсатор называется цилиндрическим, если его обкладками служат два концентрических цилиндра радиусом a и b (a < b) и длиной l >> (b a) , что позволяет

пренебречь рассеянием поля вблизи краев обкладок.

Напряженность электрического поля между обкладками равна E q /(2 0 rl) , а на-

Соединяя обкладки отдельных конденсаторов, получаем соединение конденсато-

ров, емкость которого выражается через емкости отдельных составляющих.

Параллельное соединение обкладок показано на рис.7.1.

94

Рис.7.1.

В этом случае U U1 U2 , q q1 q2 , поэтому

C C1 C2 ...

Последовательное соединение приведено на рис.7.2.

Рис.7.2.

Обкладками составного конденсатора служат обкладки крайних конденсаторов, а

полный заряд на каждой паре внутренних обкладок равен нулю. Поэтому q q1 q2 ,

UU1 U2 , а емкость такого соединения равна:

11 1 ...

C C1 C2

7.4. Взаимная электроемкость проводников

Рассмотрим два произвольных проводника, удаленных друг от друга на расстояние во много раз больше, чем размеры каждого проводника. Пусть C1 и C2 - емкости этих уе-

диненных проводников. Рассмотрим проводники как обкладки конденсатора и найдем ем-

кость такой системы. Зарядим проводники зарядами q1,2 q и потенциалы их обкладок относительно бесконечно удаленной точки представим в виде φ q / C1,2 . Для напряжения между обкладками получим

U φ φ q(1/ C1 1/ C2 ) q / C ,

где C C1C2 /(C1 C2 ) - величина взаимной емкости двух удаленных проводников.

Заметим, что этот результат справедлив только для достаточно удаленных проводников.

Если расстояние между проводниками сравнимо с их размерами, то их потенциалы зави-

сят не только от зарядов на проводниках, но и их взаимного расположения в пространстве:

95

прилегающим к нему концентрическим слоем диэлектрика проницаемостью и наруж-

ным радиусом R2.

Решение. Способ 1. Сообщим проводнику заряд q и найдем напряженность элек-

трического поля в окружающем пространстве. Величина поля электрического смещения

Способ 2. Проводящий шар, окруженный диэлектриком, рассмотрим как систему последовательно соединенных сферических конденсаторов (рис.7.3).

Рис.7.3.

96

E(r) D(r) / 0 (r) q /(4 0r3 ).

Величина напряжения при этом будет равна:

b

U E(r)dr qdr /(4 0r3 ) (1/ a2 1/ b2 ) /(8 0 ) ,

a

а величина емкости C q /U (8 0 )(1/ a2 1/ b2 ) 1 .

Цилиндрический конденсатор

Пример 7.4. Найдите емкость цилиндрического конденсатора длиной l, радиусы

обкладок которого a и b, причем a < b, если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до оси конденсатора как

α / r , где α const .

Решение. Как и в предыдущем примере, существует два основных метода расчета емкости. Представим цилиндрический конденсатор в качестве последовательно соединен-

конденсаторе U напряженность электрического поля на внутренней обкладке E(a) была

минимальной?

Решение. Величину напряженности электрического поля на внутренней обкладке найдем из следующих соотношений: E(a) / 0 (q / 2 al) / 0 CU / 2 0 al . Подста-

новка величины емкости цилиндрического конденсатора (см. упражнение 7.4) приводит к выражению

E(a) U . a ln(b / a)

Для нахождения экстремума найдем производную знаменателя (так как величина числителя имеет фиксированное значение):

dad (a ln(b / a)) ln(b / a) 1 .

98

Приравнивая ее к нулю, найдем a b / e . В том, что это соответствует минимуму

E(a) Ue / b , можно убедиться, взяв вторую производную и определив ее знак при a b / e .

Соединение конденсаторов

Пример 7.6. Четыре конденсатора с емкостями C1,C2 ,C3 и C4 соединены так, как по-

казано на рис.7.4.

Рис.7.4.

Между точками A и B приложена разность потенциалов. Какому соотношению должны удовлетворять емкости конденсаторов, чтобы разность потенциалов между точ-

ками a и b была равна нулю?

Решение. Так как на последовательно соединенных конденсаторах 1 и 2 заряд оди-

наков, то между разностью потенциалов на этих конденсаторах и емкостью каждого из них выполняется соотношение

C1U1 C2U2 .

Аналогичное соотношение должно выполняться для конденсаторов 3 и 4:

C3U3 C4U4 .

Для того чтобы между точками a и b отсутствовала разность потенциалов, необхо-

димо осуществление равенства U1 U3 и U2 U4 . Разделив почленно соотношения, выра-

жающие равенства зарядов, и сокращая на равные разности потенциалов, получим

C1 C2 .

C3 C4

Взаимная емкость

Пример 7.7. Очень далеко друг от друга находятся два проводника. Емкость одно-

го из них C1 , его заряд Q1 . Емкость второго проводника C2 , заряд Q2 . Первоначально не-

заряженный конденсатор емкостью С подключают тонкими проводами к этим проводни-

кам. Найдите заряд q конденсатора C.

99

Решение. После подключения конденсатора и установления электростатического равновесия заряды и потенциалы проводников и обкладок конденсатора будут такими, как показано на рис.7.5.

Рис.7.5.

Потенциалы удаленных проводников будут связаны с зарядами на них соотноше-

ниями: φ (Q1 q) / C1 , φ (Q2 q) / C2 . Для напряжения на конденсаторе запишем соотно-

шение

U q / C φ φ (Q1 q) / C1 (Q2 q) / C2 ,

из которого величина заряда конденсатора может быть получена алгебраически и представлена в виде

q (Q1 / C1 Q2 / C2 ) (1/ C1 1/ C2 1/ C3 ) 1 .

100