Добавил:

lightcharm github.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Физика

Файл:

Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

.pdf

Скачиваний:

131

Добавлен:

30.09.2023

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 236 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Рис.3.7.

Потенциал результирующего поля получим, проинтегрировав последнее выраже-

ние:

4 r

Из рисунка видно, что r

R2 x2

const .

Потенциал электрического поля на оси

кольца на расстоянии х от его центра равен:

dq .

Величина dq q представляет суммарный заряд кольца. Следовательно, в точках,

лежащих на оси кольца, потенциал равен:

φ		q		.



	4	r	2 x2
0

Воспользовавшись полученной формулой, определим напряженность электриче-

ского поля на оси кольца. С учетом симметрии распределения заряда кольца вектор на-

пряженности E в точках оси направлен вдоль самой оси. Проекция вектора напряженно-

сти на ось X определяется соотношением

Ex	φ	qx		.
	x	4 0 R2 x2	3/ 2

Напряженность поля в центре кольца найдем, подставив в полученную формулу

x=0:

E 0 ,

что совпадает с результатом, полученным при решении примеров 1.5 и 1.8, в кото-

рых напряженность поля кольца в центре и на его оси найдена с помощью принципа су-

перпозиции полей (рис.3.8).

Рис.3.8.

Пример 3.6. Найдите разность потенциалов φ1 φ2 между центрами двух однород-

но заряженных сфер зарядами q . Радиусы сфер одинаковы и равны R , а расстояние меж-

ду их центрами L (рис.3.9).

Решение. Воспользовавшись свойством аддитивности потенциала, запишем потен-

циал в центре первой, а затем в центре второй сферы:

φ1

, φ2

4 0 R

4 0 L

4 0 R

Для искомой разности потенциалов получим

φ1 φ2

4 0

Рис.3.9.

Пример 3.7. Круглая тонкая пластинка радиусом R однородно заряжена с поверх-

ностной плотностью заряда . Найдите потенциал на оси пластинки как функцию рас-

стояния x от ее центра. Рассмотреть случаи x 0 и x R .

Решение. Ранее эта задача решилась для нахождения напряженности E с помощью

принципа суперпозиции поля E . Для нахождения потенциала эта задача решается легче,

так как потенциал - скалярная функция, а рассуждения аналогичны примеру 1.13. Пусть точка наблюдения A находится на оси симметрии пластинки с координатой x (рис.3.10).

Рис.3.10.

Потенциал заряда dq пластины, удаленного на расстояние r от оси в точке A , ра-

вен:

dφ		dq		.


	4		r 2 x2
	4		r 2 x2
0

Потенциал зарядов dqk , расположенных на тонком кольце радиусом r и шириной dr, определяется суммированием потенциалов отдельных зарядов кольца:

dφk dφ		dqk		,

	4		r 2 x2
0

где dqk - заряд, размещенный на кольце:

					dqk				σdS σ2 rdr .
С учетом этого потенциал, создаваемый зарядами кольца, равен:
	dφk					σ2 rdr																σ						rdr								.
																				2 0

				4 0						r	2		x			2										r		2			x			2
											2					2												2						2

Просуммируем потенциалы, создаваемые в точке																													A всеми кольцами, на которые
разбита пластина:
														R				rdr
					φ																				.
										2 0
																	r 2 x2
														0			r 2 x2
Заметим, что в интеграле легко выделить дифференциал от подкоренного выраже-
ния знаменателя d r 2 x2 2rdr :
			σ		R				2rdr										σ				R d (r 2 x2 )
φ(x)
		4																	4
		4		0				r	2			x			2				4			0					r			2		x			2
				0	0			r				x										0	0				r					x
	2σ								R						σ

				2	x		2																2	x				2
				2			2																2					2
			r																		R												x		.
			r																		R												x		.
	4 0								0					2 0
Рассмотрим предельные случаи:
- потенциал поля однородно заряженной плоскости:
				0					φ													(R					x			) ;
			x
			x
																		2 0
																		2 0

- потенциал поля точечного заряда, помещенного в центр пластинки, найдем, ис-

пользуя приближение (1 z) z 1 1 z :

1 1

2 0

			1	R 2		R2		q
	x	1			1					;
2 0	x	1			1	4 0		4 0		;
2 0			2 x			4 0	x	4 0	x

- электрическое поле пластины Ex можно получить, используя связь E и φ :

	dφ			2l									x
Ex	dφ			2l				1		1			x		,

					2		2					2		2
	dx		2 R		2	x	2				R	2	x	2
	dx	2 0	2 R			x			2 0		R		x

что совпадает с результатом, полученным в примере 1.13, в котором напряжен-

ность электрического поля на оси круглой однородно заряженной пластинки получена с

помощью принципа суперпозиции.

Пример 3.8. Найдите потенциал φ электрического поля сферической поверхности

радиусом R с зарядом q , однородно распределенном по сфере.

Решение. Так как поле E вне сферы совпадает с полем точечного заряда, то поле

потенциала φ сферы в этой области пространства также совпадает с полем потенциала точечного заряда:

	φ	1	q	, где r R .
	φ	4	r	, где r R .
		4	r
		0
Внутри сферы напряженность		равна нулю, поэтому поле потенциала внутри
Внутри сферы напряженность	E	равна нулю, поэтому поле потенциала внутри

сферы однородно и в силу непрерывности потенциала равно значению потенциала на по-

верхности сферы:

φ 1 q .

4 0 R

Пример 3.9. Найдите потенциал электрического поля шара радиусом R, однородно заряженного по объему зарядом q.

Решение. Как и в случае заряженной сферы, поле потенциала вне шара совпадает с полем потенциала точечного заряда:

φ	1		q	, где r R .
φ	4	0	r	, где r R .
	4		r

Для расчета потенциала точек внутри шара ( r R ) используем соотношение

φ(r) φ(R) (E, dr ) .

Интегрирование проведем вдоль луча, проходящего через точку наблюдения и центр шара, воспользовавшись выражением для поля внутри шара (см. пример 2.3):

	E(r)	q		r	r R .

		4 R3
		0
	q	R			q	q	R2 r 2 .
φ(r) φ(R)	q	rdr			q	q
φ(r) φ(R)	4 R3	rdr	4 0 R			8 R3
	0	r				0
		r

Для потенциала в центре шара (r 0) получим

φ(0)	3		q		.

	8			R
		0

Для сравнения построим графики зависимости потенциала φ(r) для различных сфе-

рически симметричных распределений заряда.

Рис.3.11.

На рис.3.11,а показано поле потенциала точечного заряда, на рис.3.11,б - поле по-

тенциала сферы однородно заряженной по поверхности, на рис.3.11,в - поле потенциала шара однородно заряженного по объему.

4. Электрический диполь

Электрическим диполем называют систему зарядов, суммарный заряд которой ра-

вен нулю. Простейшая такая система, состоящая из двух одинаковых по величине и про-

тивоположных по знаку зарядов, называется элементарным диполем. Для характеристики элементарного диполя вводят вектор электрического момента диполя:

			q		,
		p	q	l	,
где		- вектор, задающий позицию положительного заряда относительно точки, в
где	l

которой сосредоточен отрицательный заряд диполя. На больших расстояниях ( r1 r2 l )

электрические поля, порождаемые диполем полностью, описываются его электрическим моментом, а сам диполь называют точечным (рис.4.1).

Поля потенциала и напряженности, порождаемые элементарным диполем в уда-

ленных от него точках пространства, можно выразить как

( p, r )

φ(r )

4 r 3

3( p, r )r

] .

[

4 0

r 5

r 3

Величина вектора напряженности поля диполя как функция угла равна:

p(1 3cos 2

)1/ 2

4 r3

действует

В однородном внешнем поле на элементарный диполь с моментом p ql

вращательный момент сил

[ p, E] .

Если внешнее поле неоднородно, то и результирующая электрическая сила

p E

px E

E y pz

E ,

при этом диполь обладает потенциальной энергией во внешнем поле

Wpot ( p, E) .

Равновесная ориентация с минимальной потенциальной энергией соответствует

положению

p E . Силы, действующие на ориентированный таким образом диполь,

стремятся втянуть его в область более сильного электрического поля.

Системы, состоящие из большего числа зарядов, чем в элементарном диполе, также характеризуются дипольным моментом системы зарядов, который определяется соотно-

шением

			i N
		p pi ,
			i 1
где		- произведение величины каждого заряда, входящего в систему, на ра-
где	pi qi ri

диус-вектор, задающий положение этого заряда.

Примеры решения задач

Пример 4.1. Покажите,		что		дипольный				момент системы зарядов
не зависит от выбора начала отсчета, если полный заряд системы равен нулю.
Решение. Если сместить начало отсчета на вектор r								, то положения зарядов отно-
							0
сительно нового начала будут:
			r '	r	r	,
			i	i	0
а величина нового дипольного момента
	N				N		N
p'	qi (ri		r0 ) qi ri r0				qi p ,
	i 1			i 1			i 1

так как полный заряд системы qi 0 .

i 1

Пример 4.2. Покажите, что потенциал диполя в дипольном приближении описыва-

ется выражением

φ(r ) ( p, r ) .

4 0 r 3

Решение. Для элементарного диполя, показанного на рис.4.2,

Рис.4.2.

запишем выражение для электрического потенциала:

φ(r ) φ φ

(r1 r2 )

r1 r2

При

r l направления векторов

очень близки и r

l cos , а

r r

r 2 .

Для потенциала получим в этом приближении:

	kql cos
	kql cos	q(l , r )
φ(r )
φ(r )	r 2	4 r	3
	r 2	4 r	3
		0

( p, r ) .

4 0r 3

Если диполь не элементарный, то его дипольный момент всегда можно представить


как результирующий момент системы элементарных диполей, т.е.	p pi и, используя

полученное выражение для потенциала элементарного диполя, а также свойство аддитив-

ности потенциала, получаем

( pi

, r )

( pi , r )

( p, r )

φ(r )

φi

4 r 3

Пример 4.3. Получите формулу, описывающую электрическое поле точечного ди-

поля.

Решение. Найдем выражение для поля, используя выражение для потенциала ди-

поля и соотношение

( p, r )

. Учитывая,

что оператор grad - дифференци-

E grad φ

grad

4 r 3

альный, получаем

grad

( p, r )

grad( p, r )

( p, r )

grad

4 r3

Для градиентов в этом выражении найдем:

	1			grad(r)		r
grad( p, r ) p ,	grad(		) 3		3		,
		r3		r 4		r5

и после подстановки в выражение для поля E получим


	1		3( p, r )r	p	] .
E	1	[	3( p, r )r	p
E		[
	4 0		r5	r3

Пример 4.4. Найдите потенциальную энергию диполя во внешнем электрическом

поле E .

Решение. Рассмотрим элементарный диполь во внешнем поле E . Энергия диполя равна суммарной энергии зарядов, образующих диполь, в этом внешнем поле:

Wpot qφ2 qφ1 q(φ2 φ1) q( l , E) ( p, E) .

Пример 4.5. Получите выражения для момента сил, действующих на точечный ди-

поль.

Решение. Рассмотрим точечный элементарный диполь во внешнем поле (рис.4.3).

В силу малости размеров диполя поле E в области диполя можно считать однород-

ным и со стороны внешнего поля на заряды диполя действует пара сил qE с плечом h l sin . Момент этой пары сил по величине равен M qEl sin и направлен перпендику-

лярно плоскости рисунка.

Рис.4.3.

Эти свойства момента сил описываются векторным соотношением:

M [ p, E] .

Пример 4.6. Получите выражение для силы, действующей на диполь в неоднород-

ном электрическом поле.

Решение. Результирующая сила, действующая на заряды элементарного диполя,

равна:


				F	qE qE q E ,

		E
где	E E E	E	l	- разность векторов напряженности поля, действующих на
		l

положительный и отрицательный заряды диполя (рис.4.4).

Рис.4.4.

Выражение для силы представим в виде


	q E l px	E py	E pz	E .
F	q E l px	E py	E pz	E .
	l	x	y	z
Пример 4.7. Точечный электрический диполь с моментом						находится во внешнем
Пример 4.7. Точечный электрический диполь с моментом					p	находится во внешнем

однородном электрическом поле, напряженность которого равна						E0	, причем	p E0	. В

этом случае одна из эквипотенциальных поверхностей результирующего поля, охваты-

вающих диполь, является сферой. Найдите ее радиус.

Решение. Точечный диполь представим на рис.4.5 вектором
Решение. Точечный диполь представим на рис.4.5 вектором		p , напряженность

внешнего однородного поля вектором	E0 .

Рис.4.5.

Ось Y , начало которой совпадает с положением диполя, направим вдоль этих век-

торов.

Пусть сферическая поверхность радиусом r, охватывающая диполь, является экви-

потенциальной. Потенциал в точках сферы складывается из потенциала, создаваемого ди-

полем, и потенциала, создаваемого внешним однородным полем E0 :

		φ φ p φE .
0
Для вычисления потенциала произвольной точки сферы введем угол между ди-
полем и направлением на точку A . Тогда потенциал точечного диполя в точке A равен:
		φ p	p cos	.
		φ p		.
			4 r 2
0

Для вычисления потенциала внешнего поля E0					используем связь между потенциа-
лом и напряженностью поля:
	φE0 E0dy E0 y const φ0 E0r cos .

Заметим, что потенциал убывает в направлении вектора E0 и эквипотенциальными

поверхностями φE const являются плоскости, перпендикулярные вектору E0 .
0
Тогда потенциал в точках сферы имеет вид
φ	p cos	φ0 E0r cos φ0 (			p		E0r) cos .
φ		φ0 E0r cos φ0 (			4	r 2	E0r) cos .
	4 r 2				4	r 2
0					0

Выражение для потенциала в точках сферы радиусом r в общем случае зависит от угла , а это противоречит предположению, что сфера - эквипотенциальная поверхность.

Для эквипотенциальности точек сферы необходимо, чтобы в выражении для потенциала коэффициент при cos обращался в нуль:

p 2 E0r 0 ,

4 0r

Решая полученное уравнение относительно r , имеем

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 236 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Ресурсы

#
30.09.20233.59 Mб80Горбатый Овчинников Задачник.pdf
#
30.09.202313.23 Mб311Лабы Механика СПИРИДОНОВ.pdf
#
30.09.20231.32 Mб61Лабы Электричество и Магнетизм ГОРБАТЫЙ.pdf
#
30.09.2023898.58 Кб121ОВЧИННИКОВ Механика и Молекулярная физика.pdf
#
30.09.20237.08 Mб44Физика Макросистем ИРОДОВ.pdf
#
30.09.20235.29 Mб131Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА.pdf