Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

Пример 4.8. Система состоит из заряда q 0 , однородно распределенного по полу-

окружности радиусом а, в центре которой находится точечный заряд q (рис.4.6). Найди-

те:

а) электрический дипольный момент этой системы;

б) модуль напряженности и потенциал электрического поля на оси х системы на

расстоянии r >> a от нее;

в) модуль напряженности электрического поля на оси Y системы на расстоянии r >> a от нее.

Решение. Разобьем полукольцо на малые элементы с положительными зарядами

dq , а отрицательный заряд, находящийся в центре кольца, на сумму соответствующих

рис.4.6.

Рис.4.6.

Как видно из рисунка, результирующий дипольный момент системы будет направ-

лен вдоль оси X в силу симметрии распределения заряда относительно этой оси. Запишем

проекцию на эту ось: dp

dpx dp cos acos dq .

Приведем полученное уравнение к виду, удобному для интегрирования, учитывая,

Проинтегрировав левую часть уравнения от 0 до p, а правую от 2 до 2 , най-

дем результирующий электрический дипольный момент системы:

61

Рис.4.7.

63

мента сил, действующих на диполь со стороны электрического поля? Определите работу,

произведенную при этом внешними силами.

Решение. Механический момент, действующий на диполь с дипольным моментом

Из положения 1 в положение 2 диполь будет поворачиваться под действием сил поля (рис.4.8). Поэтому работа внешних сил при этом будет отрицательна.

Рис.4.8.

Элементарная работа при повороте диполя на угол α равна:

dA Mdα pE sin αdα ,

а полная работа при повороте на угол от α1 до α 2 -

тельного точечного заряда q . В какой точке модуль вектора момента сил, действующих на диполь со стороны электрического поля, будет максимальный?

64

Из рис.4.9 видно,

Рис.4.9.

что диполь перемещают в неоднородном электрическом поле точечного заряда, на-

пряженность которого равна:

где r - радиус окружности.

Поскольку диполь перемещают вдоль окружности, напряженность поля, создавае-

мого точечным зарядом, в различных точках этой окружности будет одинаковой по вели-

чине, но разной по направлению (см. рис.4.9). Поэтому величина модуля вектора момента сил, действующих на диполь со стороны электрического поля, будет зависеть от угла ме-

дуль вектора момента сил будет максимальным. Максимальное значение модуля синуса угла равно sin α 1 при значениях угла α 2 , поэтому в этих точках модуль вектора момента сил, действующих на диполь со стороны электрического поля, будет максималь-

ный, а его величина равна:

M pq ,

4 0r 2

где r - радиус окружности.

65

Пример 4.12. Какую работу против сил электрического поля следует совершить,

чтобы перевести диполь с электрическим моментом из положения 1, где напряженность p

поля равна E1 , в положение 2 с напряженностью E2 (рис.4.10)?

Рис.4.10.

Решение. Так как поле потенциально, то работу сил поля представим как убыль потенциальных энергий диполя:

A12 W2 W1 ,

где W - потенциальная энергия диполя в электрическом поле, равная:

воды, отстоящих друг от друга на расстоянии l 10 нм, если их электрические моменты ориентированы вдоль одной и той же прямой. Момент каждой молекулы равен p 0,62 10 29 Кл·м.

Решение. Дипольные моменты молекул расположены вдоль оси X (рис.4.11).

Рис.4.11.

Левый диполь создает в точке расположения второго диполя x l неоднородное

поле, проекция которого Ex равна:

Сила, действующая на правый диполь, со стороны левого диполя равна:

66

По третьему закону Ньютона правый диполь действует с такой же по величине и противоположной по направлению силой на левый диполь (знак минус означает, что ди-

поли притягиваются):

67

5. Проводники в электростатическом поле

Все вещества можно условно разделить на проводники и диэлектрики. В проводни-

ках электрические заряды могут перемещаться из одной точки тела в другую, в диэлек-

триках такой свободы передвижения у зарядов нет. В обычных условиях тела электриче-

ски нейтральны. Положительные заряды атомных ядер скомпенсированы отрицательными зарядами электронов. При внесении проводника в электрическое поле (на рис.5.1 показан металлический шар в поле точечного заряда) легкие электроны испытывают смещения против поля.

Рис.5.1.

Смещения атомных ядер по сравнению с ними пренебрежимо малы. Происходит час-

тичное разделение положительных и отрицательных зарядов. Это явление называется элек-

тростатической индукцией, а появившиеся в результате разделения заряды - индуцированны-

ми зарядами.

воднике после «включения» внешнего поля будет происходить до тех пор, пока напря-

женность поля E внутри проводника не станет равной нулю.

Для равновесия зарядов в проводнике необходимо выполнение двух условий:

-вектор напряженности электрического поля внутри проводника равен нулю;

-вектор напряженности электрического поля вне проводника непосредственно у его поверхности перпендикулярен поверхности проводника.

При нарушении любого из этих условий свободные носители заряда придут в упо-

рядоченное движение в объеме или вдоль поверхности проводника. Равновесие в провод-

никах устанавливается очень быстро, например в типичных металлах за время 10–14 с или менее. После установления равновесия электрическое поле можно считать электростати-

68

ческим, т.е. полем неподвижных зарядов. Обсудим некоторые следствия из условий рав-

новесия зарядов в проводнике.

Потенциал во всех точках однородного проводника одинаков. Из условия E 0

следует, что разность потенциалов в двух любых точках однородного проводника равна нулю, т.е. потенциал всех точек проводника один и тот же. Поэтому можно говорить о по-

тенциале φ проводника, не указывая конкретную его точку, в которой определен φ .

Заряд может располагаться только на поверхности проводника. Если внутри однородного проводника мысленно выбрать любую замкнутую поверхность, то поток

теоремы Гаусса следует, что суммарный заряд, находящийся внутри этой поверхности,

также равен нулю. Поскольку это справедливо для любой замкнутой поверхности, цели-

ком расположенной в проводнике, то можно заключить, что при равновесии заряд может располагаться только на поверхности проводника. Толщина поверхностного слоя, в кото-

ром нарушается электрическая нейтральность проводника, настолько мала, что во многих случаях ее можно совсем не принимать во внимание, считая что электрический заряд рас-

полагается на поверхности проводника, как на геометрической поверхности.

Внутри полости в проводнике напряженность электрического поля равна ну-

лю. Покажем, что внутри полости заряженного проводника при равновесии электрическое поле равно нулю. Согласно теореме Гаусса суммарный заряд внутри замкнутой поверхно-

сти, охватывающей полость и целиком находящейся в веществе проводника, равен нулю,

так как поле E в проводнике всюду равно нулю. Однако это не исключает ситуации, ко-

гда на поверхности полости имеются равные количества положительного и отрицательно-

го заряда (рис.5.2).

Рис.5.2.

При таком предположении должна существовать хотя бы одна линия поля идущая

от положительных зарядов к отрицательным на внутренней поверхности проводника. Рас-

смотрим контур , который пересекает полость по этой линии вектора E и замыкается в

веществе проводника. Ясно, что линейный интеграл вектора E вдоль этого контура не ра-

69

вен нулю, что противоречит условию потенциальности электростатического поля. Следо-

вательно, внутри полости в проводнике поле E равно нулю, а заряды располагаются толь-

ко на внешней поверхности проводника. Конечно, это справедливо, если внутри полости отсутствуют заряженные тела.

Напряженность поля у поверхности проводника можно найти при помощи теоремы Гаусса. Рассмотрим поверхность проводника S, по которой распределены заря-

ды с поверхностной плотностью . Возьмем бесконечно малый прямой цилиндр (малы

его высота и размеры поперечного сечения), основания которого перпендикулярны векто-

ру нормали n к поверхности и расположены по разные стороны от S (рис.5.3).

Рис.5.3.

Внутри цилиндра находится электрический заряд q S , где S - площадь основа-

ния. Поток вектора E через основание, расположенное в проводнике, равен нулю, так как

в проводнике E 0 . Поток через верхнее основание En S , где En - проекция вектора

напряженности на направление внешней нормали n . Поскольку поток через боковую по-

верхность пренебрежимо мал, то по теореме Гаусса

En S S .0

Следовательно, En / 0 . Учитывая, что вектор напряженности электрического по-

ля на поверхности проводника направлен по нормали к поверхности, можно записать

Метод электростатических изображений. Рассмотрим точечный заряд q , рас-

положенный в некоторой точке A вблизи плоской поверхности P протяженного проводни-

ка, заполняющего все полупространство (например, правое, см. рис.5.3). На поверхности проводника возникают индуцированные заряды, распределенные так, что их поле внутри проводника полностью компенсирует поле точечного заряда q . Следовательно, поле ин-

дуцированных зарядов в проводнике равно полю воображаемого заряда q , помещенного в ту же точку A пространства, что и заряд q . Электрическое поле индуцированных заря-

дов симметрично относительно плоскости P. Поэтому в левом полупространстве индуци-

70