Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

Рис.8.4.

Его объем равен:

dV 4 r 2dr ,

а сосредоточенная в слое электрическая энергия

dW w 4 r 2dr 0 E 2 4 r 2 dr .

2

Напряженность E поля заряженного проводящего шара зависит, как известно, от расстояния r до центра шара. Внутри шара E 0 , поэтому при вычислении энергии доста-

точно рассматривать только те шаровые слои, радиус r которых превышает радиус шара

R.

При r R напряженность поля

диэлектрическая проницаемость 1 и, следовательно,

где q - заряд шара.

Полная электрическая энергия заряженного шара определяется интегралом

а энергия, сосредоточенная внутри воображаемой сферы радиусом nR, равна:

Пример 8.11. Определите электрическую энергию системы, состоящей из заря-

женного проводящего шара и концентрического с ним незаряженного проводящего шаро-

вого слоя (рис.8.5).

111

Рис.8.5.

Внутренний и внешний радиусы слоя a и b, радиус шара ходится в вакууме.

Решение. На внутренней и внешней поверхностях шарового слоя распределены индуцированные заряды. Их алгебраическая сумма равна нулю, поэтому индуцированные заряды не создают электрическое поле при r b , где r - расстояние от центра системы. В

области r a напряженность поля индуцированных зарядов также равна нулю, поскольку они однородно распределены по сферическим поверхностям. Таким образом, электриче-

ское поле системы совпадает с полем однородно заряженной по поверхности сферы, за исключением внутренней области шарового слоя, где E = 0. На рис.8.6 приведен пример-

ный график зависимости E(r) .

Рис.8.6.

Опуская подробные выкладки (см. пример 8.10), запишем для электрической энер-

гии системы:

112

Пример 8.12. Первоначально заряд q распределен однородно по объему шара ра-

диусом R. Затем вследствие взаимного отталкивания заряды переходят на поверхность шара. Какую работу совершают при этом электрические силы? Диэлектрическую прони-

цаемость считайте равной единице.

Решение. Работа электрических сил равна убыли электрической энергии:

A W1 W2 ,

где W1 - электрическая энергия однородно заряженного по объему шара; W2 - энер-

гия того же шара, однородно заряженного по поверхности. Поскольку суммарный заряд в обоих случаях одинаков, то электрическое поле вне шара при переходе заряда из объема на поверхность не изменяется. Электрическое поле и энергия изменяются только внутри

шара.

С помощью теоремы Гаусса можно вывести формулу для напряженности поля

внутри однородно заряженного шара на расстоянии r от его центра:

Электрическая энергия, сосредоточенная внутри шара, определяется интегралом:

Когда все заряды перешли на поверхность шара, электрическое поле, а следова-

тельно, и энергия электрического поля внутри шара стали равными нулю. Таким образом,

113

9.Электрический ток

9.1.Сила тока. Плотность тока

Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов.

Конвекционным током называют движение зарядов, связанное с перемещением заряжен-

ных тел в пространстве. Ток проводимости в веществе осуществляется свободными заря-

дами (носителями тока) - электронами в металлах, электронами и дырками в полупровод-

никах, ионами в электролитах. За направление тока принимается направление упорядоченного движения положительных зарядов. Электрический ток называется посто-

янным, если упорядоченное движение носителей тока стационарно. Линиями тока назы-

вают геометрические линии, касательные, в каждой точке которых совпадают со скоро-

стью упорядоченного движения носителей. Заряд, протекающий за время dt через

114

и стационарное распределение плотности тока j не соответствует постоянному то-

ку.

9.2. Закон Ома в локальной форме

Для поддержания тока в веществе на свободные заряды, из-за наличия сопротивле-

практически мгновенно упорядоченное движение зарядов прекращается. Не смотря на то,

что при протекании тока на каждый носитель действует сила, скорость упорядоченного движения (дрейфовая скорость) из-за действия механизма сопротивления остается посто-

кона сохранения заряда следует, что если в однородном проводнике ( const) плотность

9.3. Закон Ома для однородного участка проводника

Если на участке цепи протекание тока обеспечивается только электростатическим

ческое поле может быть описано распределением потенциала E φ . При этом сила тока

на однородном участке проводника пропорциональна разности потенциалов на концах этого участка (закон Ома для однородного участка цепи):

115

Величина R dl называется сопротивлением участка и измеряется в омах (1 Ом =

1 2 S

В/А). При выводе было учтено, что ( j, dl ) Idl / S , т.е. направление тока соответствует на-

правлению от сечения 1 к сечению 2 проводника. Для однородного цилиндрического про-

9.4. Сторонние силы. Электродвижущие силы

Хотя на отдельном участке цепи ток может поддерживаться электростатическими силами, полная работа этих сил в замкнутой цепи равна нулю. Следовательно, для ком-

пенсации тепловых потерь, вызывных сопротивлением протеканию тока в цепи, должны действовать сторонние силы неэлектростатической природы, полная работа которых отлична от нуля, т.е. должны присутствовать источники тока. Эти силы имеют разную

(химическую, электромагнитную, фотоэлектрическую, радиоактивную и т.д.) природу и их действие на свободные заряды описывается полем напряженности сторонних сил

где E12 называют электродвижущей силой источника (ЭДС) на участке 1 2. Вели-

чина ЭДС является алгебраической величиной, знак которой определяется соответствием направлением обхода 1 2 и направлением действия сторонних сил (они действуют от от-

рицательной обкладки источника к цепи положительной). Мощность сторонних сил, раз-

виваемая на участке цепи 1 2, равна:

9.5. Закон Ома для неоднородного участка цепи

На неоднородном участке цепи на свободные заряды действуют как электростати-

ческие, так и сторонние силы. Локальный закон Ома принимает вид

а закон Ома для неоднородного участка запишется как

116

или

I1 2 R (φ1 φ2 ) E12 .

Здесь R - сопротивление всего участка, включая и внутреннее сопротивление ис-

точника ЭДС. Работу всех сил по переносу единичного заряда от сечения 1 к сечению 2,

равную U1 2 (φ1 φ2 ) E12 , называют напряжением на участке цепи (для однородного участка напряжение равно разности потенциалов). Для любого участка с учетом алгебраи-

ческих знаков справедливо:

I1 2 R U1 2 .

9.6. Тепловое действие тока. Закон Джоуля - Ленца

над свободными зарядами, полностью переходит в тепловую энергию. Объемная плот-

ность тепловой мощности тока равна работе сил над зарядами в единице объема за едини-

цу времени:

Это соотношение называется законом Джоуля - Ленца для неоднородного участка

цепи.

9.7.Закон Ома для неразветвленной цепи

Внеразветвленной замкнутой цепи I const , поэтому, суммируя напряжения на всех участках цепи:

Uk,k 1 IRk,k 1 (φk φk 1 ) Ek,k 1 ,

получаем

I Ri Ek .

117

9.8. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Разветвленная цепь общего вида представляет собой совокупность неразветвлен-

ных участков, концы которых соединяются в узлах. В любом сечении проводника в пре-

делах отдельного участка сила тока одна и та же. Значения силы тока в разных участках,

вообще говоря, различны из-за ответвлений тока в узлах, соединяющих соседние участки.

Для нахождения токов в различных участках обозначим их как неизвестные величины Ii и

зададим их направления произвольным образом, так как заранее истинные направления,

как и величины токов неизвестны. Справедливы следующие утверждения.

Первое правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в каж-

дом узле, равна нулю:

Ii 0.

Сумма сил токов, втекающих в узел, должна равняться сумме сил вытекающих из узла, так как в противном случае в силу закона сохранения заряда в узле накапливался бы электрический заряд, приводя к изменению электрического поля в проводниках, что не совместимо с постоянством токов.

Второе правило Кирхгофа. Сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

Ii Ri E k .

Это соотношение обосновывается также как и для неразветвленной цепи, если иметь в виду, что токи на различных участках замкнутого контура могут быть разными.

Так как величины токов и ЭДС являются алгебраическими, то согласование их знаков проводят, вводя для каждого контура единое направление обхода. Величина тока (или ЭДС) считается положительной, если ее направление совпадает с выбранным направлени-

ем обхода контура.

Можно показать, что число независимых уравнений для узлов и контуров всегда достаточно для решения системы уравнений относительно неизвестных токов. Если най-

денные значения сил токов положительные, ток на соответствующих участках течет в на-

правлении выбранного обхода контура, если отрицательные - против.

118

9.9. Электрический ток при зарядке и разрядке конденсатора

Рассмотрим этот вопрос в качестве упражнения.

Упражнение 9.2. Заряд сферического конденсатора в начальный момент времени

равен q0 . Как будет меняться со временем заряд q(t) конденсатора, если между его обклад-

ками находится слабо проводящее вещество с удельной проводимостью и диэлектриче-

ской проницаемостью .

Решение. Изменение заряда со временем q(t) обусловлено его утечкой через про-

водящую диэлектрическую среду между его обкладками. Ток утечки определяет быстроту

изменения заряда I dq / dt и, в свою очередь, определяется разностью потенциалов на об-

кладках конденсатора I φ / R . Разность потенциалов определяется зарядом на обкладках по соотношению φ q / C . Откуда следует

dq / dt φ / R q /(RC) .

Разделяя переменные, получаем дифференциальное соотношение

процесса разрядки любого конденсатора. Для сферического конденсатора C 4 0ab /(a b) ,

а R (a b) / 4 ab , где a и b - радиусы внешней и внутренней обкладок конденсатора. Окон-

чательно получаем

λt

q(t) q0e εε0 .

Отметим еще раз, что окончательный ответ не зависит от геометрических парамет-

ров конденсатора и описывает процесс разрядки произвольного конденсатора с однород-

ными свойствами среды между обкладками.

Упражнение 9.3. Конденсатор емкостью C подключили через сопротивление R к

источнику постоянного напряжения U0 . Через сколько времени напряжение на конденса-

торе станет U U0 ?

Решение. Схема процесса зарядки конденсатора от источника напряжения показа-

на на рис.9.1.

119

Рис.9.1.

Ток зарядки будет увеличивать заряд на обкладках конденсатора по закону

I dq / dt CdU / dt . При этом напряжение U0 равно сумме напряжений на конденсаторе и сопротивлении U0 U IR . Исключая ток из этих выражений, получаем зависимость изме-

нения напряжения на конденсаторе в виде dU / dt (U0 U ) / RC . Интегрируя методом разде-

ления переменных, имеем

После интегрирования представим окончательный результат в виде

t

U U0 (1 e RC ) .

Время, спустя которое напряжение на конденсаторе станет равным U0 , равно: t RC ln(1 ) .

Упражнение 9.4. Покажите, что при зарядке конденсатора через сопротивление R

от источника с электродвижущей силой E половина работы, совершаемой источником,

идет на сообщение энергии конденсатору и половина на нагревание сопротивления.

Решение. В каждый момент времени процесса зарядки, согласно закону Ома для замкнутой цепи, ЭДС источника равна сумме падения напряжения на сопротивлении и напряжения на конденсаторе:

EIR U ,

амощность источника равна сумме мощности выделения джоулева тепла и мощно-

сти, идущей на увеличение энергии конденсатора:

EI I 2 R UI I 2 R Cq dqdt .

выделившегося в процессе зарядки джоулева тепла и энергии заряженного конденсатора

120