Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

Согласно теореме о циркуляции магнитного поля B :

откуда

r

2 r br 0 j(r) 2 rdr .

0

Продифференцировав правую и левую часть данного уравнения по r , получим

j(r) b( 1) r ( 1) .0

161

12. Постоянное магнитное поле в веществе

12.1. Намагниченность вещества. Токи намагничивания

Вещество считается намагниченным, если оно создает внутри себя и в окружаю-

щем пространстве магнитное поле в отсутствии токов проводимости. Источником маг-

нитного поля намагниченного вещества являются магнитные моменты его атомов и моле-

кул (молекулярные токи). В отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты частиц вещества либо отсутствуют (диамагнетизм), либо ориентированы хаотически (па-

рамагнетизм) и создаваемое ими магнитное поле магнитные равно нулю, кроме постоян-

ных магнитов (ферромагнетизм). При помещении во внешнее магнитное поле B0 вещест-

во намагничивается, т.е. возникает результирующий магнитный момент, порождаемый

частицами вещества. Такие вещества называются магнетиками. Степень намагничивания

характеризуют вектором намагниченности J , равным полному магнитному моменту в единице объема вещества:

средний магнитный момент.

При описании магнитного поля микроскопические (молекулярные) токи огромного числа ориентированных магнитных моментов можно заменить усредненными по поверхно-

сти и объему макроскопическими токами намагничивания (токи Ампера). В случае однород-

но намагниченного вдоль оси цилиндра (рис.12.1) молекулярные токи различных моментов будут скомпенсированы внутри объема цилиндра и на торцевых поверхностях, а по боковой поверхности будет течь нескомпенсированный поверхностный ток намагничивания.

Рис.12.1.

162

Магнитная индукция B этого тока будет внутри цилиндра направлена в ту же сто-

рону, что и намагниченность J , и равна магнитному полю, порождаемому молекулярны-

ми токами всех магнитных моментов. Это утверждение верно и в общем случае - магнит-

ное поле индукции намагниченного магнетика равно магнитному полю, порождаемому соответствующими токами намагничивания в вакууме. Поэтому результирующее поле в

намагниченном магнетике равно:

Связь между полем намагниченности J и токами намагничивания устанавливает

теорема о циркуляции поля J .

12.2. Циркуляция поля намагниченности

Охватываемый замкнутым контуром ток намагничивания, т.е. ток, пересекающий натянутую на контур поверхность, определяется только молекулярными токами витков магнитных моментов, нанизанных на этот контур. Молекулярные токи остальных магнит-

ных моментов либо вообще не пересекают натянутую поверхность, либо будут пересекать

ее дважды в противоположных направлениях. Рассмотрим элемент dl произвольного

замкнутого контура, расположенного внутри магнетика, он пронизывает только те моле-

I0ndV nI0 (s,dl ) (J ,dl ) . Производя интегрирование вдоль всего замкнутого контура, полу-

чаем

(J , dl ) I ,

т.е. циркуляция поля намагниченности по произвольному контуру равна току на-

магничивания, пронизывающему этот контур.

163

Упражнение 12.1. Найдите поверхностный ток намагничивания (ток Ампера),

приходящийся на единицу длины цилиндра из однородного магнетика, если он однородно намагничен так, что его намагниченность J направлена вдоль оси.

Решение. Применим уравнение (J , dl ) I к контуру, выбранному так, как показа-

но на рис.12.3.

Рис.12.3.

Так как поле J внутри цилиндра однородно, а вне его отсутствует, то циркуляция равна Jl . Суммарный ток, охватываемый контуром, будет I Jl i l , где i - его линейная плотность. Поэтому

i J .

Этот ток течет только по боковой поверхности цилиндра, на торцевых поверхно-

стях и в объеме токи намагничивания отсутствуют.

12.3. Напряженность магнитного поля.

Теорема о циркуляции поля H

Макроскопическая индукция магнитного поля в магнетике определяется как сто-

ронними токами (токами проводимости), так и токами намагничивания. Поэтому для цир-

куляции поля вектора индукции по произвольному замкнутому контуру справедливо (тео-

рема о циркуляции поля магнитной индукции):

(B,dl ) 0 (I Iстор ) .

Распределение токов намагничивания обычно заранее неизвестно, поэтому для

расчетов намагниченности вводят новую векторную величину, называемую напряженно-

стью магнитного поля H :

H J

B ,

0

циркуляция которой по этому же контору определяется только сторонними токами

(теорема циркуляции для напряженности магнитного поля):

164

(H , dl ) Iстор .

ВСИ напряженность и намагниченность имеют одинаковую размерность и изме-

ряются в А/м.

Упражнение 12.2. Покажите, что в однородном магнетике, внутри которого отсут-

ствуют сторонние токи ( jстор 0 ), объемные токи намагничивания также отсутствуют и возможны только поверхностные токи намагничивания.

Решение. Воспользуемся теоремой о циркуляции поля намагниченности по произ-

вольному контуру, взятому целиком в магнетике. В случае однородного магнетика (

Это соотношение между токами намагничивания и проводимости справедливы для

произвольного контура, в частности для сколь угодно малого. А это возможно, если так же связаны векторы плотности токов в любой точке внутри магнетика:

Отсюда следует, что в отсутствии объемных токов проводимости намагниченность магнетика порождает только поверхностные токи намагничивания.

12.4. Механизмы намагничивания. Магнитные восприимчивость и проницаемость

нальны друг другу и, по историческим причинам, связь между ними принято описывать магнитной восприимчивостью и магнитной проницаемостью по следующим соотно-

шениям:

тиком, если 1( 0) -диамагнетиком.

В диамагнетике магнитные моменты в атомах (молекулах) индуцируются под дей-

ствием магнитного поля так, что намагниченность направлена против поля ( 0) .

165

В парамагнетике магнитные моменты отдельных атомов ориентируются по на-

правлению магнитного поля ( 0) . В сильных полях проявляется эффект насыщения. С

ростом температуры эффект намагниченности уменьшается.

Существует особый тип вещества, называемый ферромагнетиком, в котором на-

магниченность возникает самопроизвольно (спонтанно) в макроскопических областях ве-

щества (доменах) при температуре ниже температуры Кюри Tc . Намагниченность образ-

ца, определяемая поведением доменов во внешнем магнитном поле, носит нелинейный характер и проявляет эффект гистерезиса (рис.12.4).

Рис.12.4.

При снятии поля наблюдается остаточная намагниченность Jост , а для полного раз-

магничивания необходимо приложить внешнее поле Hс , называемое коэрцитивной силой.

При температурах выше Tc ферромагнитные свойства пропадают и вещество становится парамагнетиком.

12.5. Условия на границе раздела магнетиков

На границе раздела двух изотропных магнетиков в отсутствии сторонних токов, те-

кущих вдоль поверхности раздела, выполняются следующие условия для нормальных

компонент полей B и H (рис.12.5):

B2n B1n , 2 H2n 1H1n .

Рис.12.5.

166

Первое условие следует из теоремы Гаусса для поля магнитной индукции и являет-

ся следствием непрерывности линий магнитной индукции.

Для тангенциальных компонент полей выполняются соотношения:

B2 / 2 B1 / 1, H2 H1 .

Непрерывность тангенциальных компонент напряженности является следствием равенства нулю циркуляции поля магнитной напряженности в отсутствии сторонних то-

ков вдоль границы раздела.

Применение граничных условий позволяет получить закон преломления линий по-

ля (как индукции, так и напряженности) на границе раздела:

Для граничных условий наблюдается формальная аналогия между векторными по-

Примеры решения задач

Намагничивание вещества

Пример 12.1. В однородное магнитное поле вносится длинный вольфрамовый стержень, ориентированный вдоль линий поля (магнитная проницаемость вольфрама =

1,0176). Какая доля магнитного поля B в стержне определяется магнитным полем моле-

кулярных токов.

Решение. Суммарное магнитное поле индукции B в магнетике связано с намагни-

ченностью J соотношением:

B0 (H J ) 0 J ,

1

мы учли, что J = H, = 1, где - магнитная проницаемость; H - напряжен-

ность магнитного поля; - восприимчивость.

Магнитное поле B токов намагничивания, текущих по поверхности стержня, рав-

но:

B 0 J .

Поэтому искомое соотношение B / B равно:

B / B 1 = 0,0176/1,0176 1,73%.

Граничные условия

167

Пример 12.2. Вблизи границы раздела магнетик - воздух вектор магнитной индук-

ции в воздухе составляет угол (рис.12.6) с нормалью к границе раздела.

Рис.12.6.

Магнитная проницаемость магнетика равна = 100. Определите отношение маг-

нитных индукций в магнетике и воздухе при следующих значениях : 0; 45 ; 90 .

Решение. Напишем граничные условия вектора B на границе раздела двух сред

B1n B2n B cos ;

B2 2 ;

B1 1

B1 B sin .

Здесь индексы и n соответствуют касательной и нормальной проекциям относи-

тельно границы раздела двух сред. Средой 1 является воздух ( 1 1), а средой 2 является магнетик 2 = = 100.

Циркуляция и поток магнитного поля вблизи границы раздела двух магнетиков

Пример 12.3. Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской поверхности магнетика равна B. Вектор B составляет угол с нормалью n к поверхности (рис.12.7),

магнитная проницаемость магнетика . Найдите: а) поток поля H через поверхность сфе-

168

ры S радиусом R, центр которой лежит на поверхности магнетика; б) циркуляцию поля B

по квадратному контуру со стороной l, расположенному как показано на рис.12.7.

Рис.12.7.

Решение. а) Поток H поля H через поверхность S определяется как

H (H , dS ) .

S

Разложим векторы полей H и B по проекциям касательной H , B и нормальной H n

, Bn составляющих к границе раздела вакуум - магнетик. Тогда согласно граничным усло-

виям величин B и H на границе раздела двух сред запишем следующие соотношения:

H1 H 2 ;

B1n B2n ;

В силу однородности полей в вакууме и веществе их потоки через соответствую-

щие полусферы равны потокам через основания полусфер площадью и для потока через всю сферу получим

б) Согласно выражению для циркуляции поля индукции напишем

Cl Bdl

или Cl (B1n B2n )l / 2 B1 l (B1n B2n )( l ) / 2 B2 ( l) ,

где l l - длина контура по направлению нормали к границе раздела вакуум - маг-

нетик. Поскольку B1n B2n и B2 , выражение для циркуляции примет вид

B1

Cl B1 l B2 ( l) B1 l(1 ) .

169

Согласно рис.12.7 B1 Bsin и поэтому

Cl Bl(1 )sin .

Применение теоремы о циркуляции напряженности магнитного поля для расчета полей индукции, намагниченности и токов намагничивания

Пример 12.4. Постоянный ток I течет вдоль длинного однородного цилиндриче-

ского провода круглого сечения радиусом R . Материалом провода является парамагнетик с восприимчивостью . Найдите зависимость индукции B от расстояния r до оси провода

и плотность тока намагничивания внутри проводника.

Решение. В силу осевой симметрии тока линиями магнитного поля будут окружно-

Графики полей H (r) и B(r) схематически представлены на рис.12.8 и демонстриру-

ют непрерывность тангенциальной составляющей магнитной напряженности и скачок на поверхности парамагнитного проводника тангенциальной составляющей магнитной ин-

дукции.

Рис.12.8.

Ток намагниченности, пронизывающий контур радиусом r R, определяется теоре-

мой о циркуляции поля намагниченности и равен

I Jdl 2 r J Ir 2 / R2 .

170