Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

Рис.2.2.

В записи потока учтено, что вектор E перпендикулярен поверхности круга. Выра-

зим напряженность электрического поля через , используя подобие треугольников, по-

казанных на рисунке:

(рис.2.3,а). Определите напряженность электрического поля в произвольной точке про-

странства вне сферы и внутри нее. Полученный результат представьте на графике Er (r) ,

где Er - проекция вектора напряженности на ось r, проведенную из центра сферы.

Рис.2.3.

Решение. Электрическое поле, порождаемое сферически-симметричным распреде-

лением заряда сферы, в любой точке пространства направлено вдоль луча от центра сферы и в равноудаленных точках имеет одинаковую величину, т.е. E E(r) . При таком свойстве симметрии поля в качестве замкнутой гауссовой поверхности возьмем концентрическую

31

сферу радиусом r . Поток сквозь выбранную поверхность равен Ф(r) E(r) 4 r 2 . Согласно теореме Гаусса он определяется зарядом внутри гауссовой поверхности. При r R заряд внутри поверхности равен заряду сферы q , а при r R равен нулю. Поэтому

Знак заряда q определяет знак проекции Er , а следовательно, и направление самого

вектора E . Он направлен от центра заряженной сферы ( q 0 ) или к центру ( q 0 ). Внутри однородно заряженной сферической поверхности электрическое поле отсутствует. График зависимости проекции вектора напряженности Er на ось r , проведенную из центра сферы,

показан на рис.2.3,б в предположении q 0 .

Электрическое поле заряженного шара

Пример 2.3. По объему шара R однородно распределен заряд q. Пренебрегая влияни-

ем вещества шара, определите напряженность электрического поля в произвольной точке пространства вне шара и внутри него. Полученный результат представьте на графике Er (r) ,

где Er - проекция вектора напряженности на ось r, проведенную из центра шара.

Решение. Поле такой системы зарядов центрально-симметричное, поэтому в каче-

стве гауссовой замкнутой поверхности следует взять концентрическую сферу радиусом r .

только от расстояния r до центра сферы, т.е. одинаковы по поверхности сферы. Поэтому

Рис.2.4.

32

График зависимости проекции вектора напряженности Er на ось r, проведенную из центра шара, представлен на рис.2.4,б.

Пример 2.4. Шар заряжен однородно с объемной плотностью . В шаре сделана

Для второго шара в точке A поле равно:

33

Чтобы определить напряженность поля в полости, наложим распределение зарядов

двух шаров, как показано на рис.2.5. Тогда по принципу суперпозиции найдем поле в по-

Заметим, что поле внутри полости однородно заряженного шара оказывается одно-

родным, а его величина и направление определяется вектором смещения a .

Рис.2.5.

Пример 2.5. Шар радиусом R имеет положительный заряд, объемная плотность

которого зависит от расстояния r до его центра как 0 (1 r / R) , где 0 - положительная постоянная. Пренебрегая влиянием вещества шара, найдите модуль вектора напряженно-

сти электрического поля внутри и вне шара как функцию r.

Решение. Поле этой системы зарядов центрально-симметричное, поэтому в качест-

ве замкнутой гауссовой поверхности выберем сферу, концентрическую с шаром.

Для нахождения поля вне шара радиус сферы r1 R согласно теореме Гаусса равен:

Подставив полученное выражение для q в правую часть соотношения для потока,

получим напряженность поля вне шара:

E 0 R3 .

12 0 r12

Найдем напряженность электрического поля внутри шара. В качестве замкнутой гауссовой поверхности снова выберем сферу, концентрическую с шаром, радиус которой r2 R (рис.2.6,б).

Рис.2.6.

Согласно теореме Гаусса

35

Электрическое поле заряженной плоскости

Пример 2.6. Используя формулировку электростатической теоремы Гаусса, пока-

жите, что в любой точке поля, созданного бесконечной плоскостью, заряженной с посто-

янной поверхностной плотностью , величина напряженности электрического поля вы-

числяется по формуле E / 2 0 . Введите ось Х перпендикулярно заряженной плоскости с началом отсчета на плоскости. Изобразите график Ex(x).

Решение. В силу симметрии распределения заряда вектор напряженности электри-

ческого поля в произвольной точке вблизи заряженной поверхности направлен перпенди-

кулярно самой поверхности, а его величина в равноудаленных от поверхности точках одинакова. Поэтому линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны (рис.2.7,а). Учитывая это, в качестве замкнутой гаус-

совой поверхности выберем поверхность цилиндра, основания которого параллельны и симметричны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Согласно теореме Гаусса

Поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь боковую поверхность цилиндра и потокам сквозь оба его основания:

бок осн осн .

Рис.2.7.

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности cos 0 , то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю:

бок 0 ,

поэтому полный поток сквозь поверхность цилиндра равен сумме потоков сквозь его основания:

2 осн 2ES .

36

Заряд q, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен q S . Согласно теореме Гаусса 2ES S 0 , откуда

E / 2 0 .

Из полученной формулы видно, что напряженность электрического поля E во всех точках пространства одинакова по модулю, т.е. поле равномерно заряженной плоскости

однородно в каждом полупространстве X (рис.2.7,б).

Пример 2.7. Электрическое поле создано двумя параллельными заряженными тон-

кими пластинами с поверхностными плотностями заряда и 2 . Площадь каждой пла-

стины S, расстояние между пластинами d значительно меньше их продольных размеров.

Определите:

а) напряженность электрического поля, созданного этими пластинами, б) силу, с которой одна пластина действует на другую.

Решение. а) Согласно принципу суперпозиции поля, создаваемые каждой заряжен-

ной пластиной в отдельности, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная пластина создает электрическое поле независимо от присутствия другой заряженной пла-

стины (рис.2.8,а). На рисунке верхние стрелки соответствуют векторам напряженности поля от положительно заряженной пластины, нижние - от отрицательно заряженной пла-

стины. Напряженности однородных электрических полей, создаваемых положительно и

отрицательно заряженными пластинами, соответственно равны:

Рис.2.8.

Слева и справа от пластин векторы напряженности поля пластин направлены про-

тивоположно друг другу. Поэтому величина напряженности результирующего поля равна разности напряженностей полей пластин:

37

В области между пластинами векторы напряженности направлены в одну сторону,

поэтому результирующая напряженность равна

Направления векторов результирующего поля показаны жирными стрелками на рис.2.8,а.

б) Заряд q 2 S отрицательно заряженной пластины находится в поле, создан-

ном зарядом q S положительно заряженной пластины. Следовательно, на отрицатель-

ный заряд действует сила (рис.2.8,б)

F q E ,

где E - напряженность поля, создаваемого зарядом положительно заряженной пла-

стины.

Аналогично можно определить силу, которая действует на положительно заряжен-

ную пластину, находящуюся в поле отрицательно заряженной пластины

F q E ,

где E - напряженность поля, создаваемого зарядом отрицательно заряженной пла-

стины.

Силы, с которыми пластины действуют друг на друга, равны по величине:

F F 2 S .0

Пример 2.8. Определите, какая сила будет действовать на отрицательно заряжен-

ную тонкую пластину с поверхностной плотностью заряда 2 со стороны помещенных параллельно ей справа и слева от нее на одинаковых расстояниях d тонких пластин с по-

верхностными плотностями заряда и .

Решение. Воспользуемся результатом предыдущей задачи. Сила, с которой поло-

жительно заряженная с поверхностной плотностью пластина действует на отрица-

тельно заряженную 2 пластину, равна:

F 2 S .0

Аналогично сила, с которой отрицательно заряженная с поверхностной плотностью

пластина действует на отрицательно заряженную 2 пластину, равна:

F 2 S .0

Направления сил показаны на рис.2.9.

38

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности cos 0 , то

поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю. А пол-

ный поток через гауссову поверхность равен сумме потоков через его основания, т.е.

2 осн 2ES .

Используя теорему Гаусса, найдем напряженность электрического поля вне и внут-

График напряженности проекции Ex (x) показан на рис.2.10.

Рис.2.10.

Электрическое поле заряженной нити

Пример 2.10. Вычислите напряженность электрического поля бесконечно тонкой и бесконечно длинной прямолинейной нити, однородно заряженной электричеством с ли-

нейной плотностью .

Решение. Найдем напряженность электрического поля E с помощью теоремы Га-

усса. Наличие осевой симметрии в распределении заряда позволяет сделать вывод о том,

что вектор E направлен радиально к линии заряда или от нее, в зависимости от знака за-

ряда. Ввиду той же симметрии величина Е может зависеть только от расстояния до заря-

женной нити

Е =Е( r ).

40