Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

После подстановки полученных соотношений в уравнение Максвелла получим

окончательный ответ:

H (r) Um r (sin t / 0 cos t) . 2d

Пример 15.6. Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых плоских дисков,

пространство между которыми заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Расстояние между внутренними поверхностями дисков равно d . Ме-

жду обкладками конденсатора поддерживается переменное напряжение U Um cos t . Пре-

деления тока поляризации диэлектрика магнитное поле между обкладками должно иметь ту же симметрию, а значит, контур совпадает с линией магнитного поля. Запишем уравне-

левой части этого соотношения получим, учитывая совпадения линии поля и кругового

После подстановки полученных соотношений в уравнение Максвелла получим от-

вет: H (r) 0 U m sin t. 2d

Замечание. Решение данной задачи соответствует решению предыдущей при зна-

чении .

212

16. Электромагнитные колебания. Переменный ток

16.1. Условие квазистационарности

Рассмотрим случай, когда электромагнитное поле создается источниками (заряда-

ми на обкладках конденсаторов, токами в соленоидах и в соединительных проводах), со-

стояние которых изменяется достаточно медленно. Такое электромагнитное поле реализу-

ется вблизи от его источников в точках пространства, где как электрическое, так и магнитное поля устанавливаются за время, в течение которого положение и скорость за-

рядов, а также величины токов в источниках не успевают измениться. Мгновенные значе-

ния тока оказываются практически одинаковыми на всех участках неразветвленной цепи.

Другими словами, все изменения в источниках должны происходить настолько медленно,

чтобы распространение электромагнитных возмущений до точки наблюдения можно было считать мгновенным:

l / c ,

где - время, за которое состояние источников поля заметно изменяется; l - рас-

стояние от источника до точки наблюдения; с - скорость распространения возмущения.

Такой ток называется квазистационарным, а само условие - условием квазистацио-

нарности. Условие квазистационарности реализуется, например, в учебной лаборатории

«Электромагнетизм», где размеры лабораторных установок порядка метра, а частоты из-

менения электромагнитных полей лежат в звуковом диапазоне (менее 105 Гц). Действи-

тельно, условие квазистационарности в этом случае принимает вид 1/105 1/ 3 108 .

Широко используемой системой, для которой выполняются условия квазистацио-

нарности, является колебательный контур, содержащий конденсатор C, катушку индук-

тивности L и сопротивление R.

16.2. Уравнение гармонических колебаний

Рассмотрим последовательный колебательный контур. Считая катушку индуктив-

ности L и конденсатор C идеальными, а сопротивление R омическим, на основании второ-

го закона Кирхгофа получаем

213

фициент затухания, 0 - собственная частота контура), уравнение (16.1) можно предста-

вить в виде

(16.2)

где, как это принято в теории колебаний, точка над величиной означает производ-

ную по времени. Аналогичное уравнение получается, например, для напряжений на кон-

денсаторе и для силы тока в контуре.

Заметим, что эти уравнения могут быть получены и на основе баланса энергий.

Действительно, за промежуток времени dt выделение тепла в сопротивлении R составит

Так как ток I C dUdt , то подстановка этого выражения в (16.3) приводит к уравне-

нию (16.1).

16.3. Свободные гармонические колебания

Если омическое сопротивление пренебрежимо мало, то уравнение (16.2) принимает

вид

где qm - амплитуда заряда на конденсаторе; φ0 - начальная фаза колебаний. Этому

решению уравнения второго порядка соответствуют две постоянные qm и φ0 , которые на-

ходятся из начальных условий.

Электрический ток в колебательном контуре ввиду квазистационарности одинаков во всех сечениях контура, а его величина находится дифференцированием выражения q t :

214

Из (16.6) видно, что фаза колебаний тока опережает фазу колебаний заряда на / 2 ,

а амплитуда тока равна Im 0qm .

16.4. Свободные затухающие колебания

При наличии омического сопротивления в контуре уравнение колебаний имеет вид

Рис.16.1.

Строго говоря, данная функция непериодична. Однако величина q через равные промежутки времени проходит через ноль, достигая в промежутках минимальных и мак-

симальных значений. В этом смысле такой процесс может быть охарактеризован перио-

дом:

заряда). Время релаксации колебаний, т.е. время, за которое амплитуда колебаний умень-

шится в e раз, есть

при этом совершается число колебаний

215

Затухание колебаний удобно характеризовать логарифмическим декрементом зату-

хания, который определяется логарифмом отношения двух последовательных амплитуд,

соответствующих моментам времени, отличающихся на один период:

Эта формула занимает одно из важнейших мест в радиоэлектронике. Еще одной величиной, имеющей общефизическое значение, является добротность, которая определя-

ется как

риодический режим работы контура, который разобран в примерах решения задач.

16.5. Вынужденные колебания в последовательном контуре

Предположим, что контур, рассмотренный выше, подключен к источнику внешней

Рис.16.2.

Тогда уравнение в приведенной форме принимает вид

Его решение представляет сумму общего решения однородного уравнения и част-

ного решения неоднородного уравнения.

216

Общее решение однородного уравнения определяется формулой (16.7). Выбором постоянных q0 и φ0 в общем решении однородного уравнения (16.7) можно удовлетво-

рить любым начальным условиям. Однако свободные колебания экспоненциально зату-

хают и через время t 1 практически останутся только вынужденные колебания, не за-

висящие от начальных условий. Частное решение, соответствующее установившимся вынужденным колебаниям, имеет вид

q(t) qm cos( t q ).

Данному выражению соответствует амплитуда колебаний величины заряда:

и фаза (сдвиг фазы по отношению к фазе внешней ЭДС):

которые определяются свойствами самого контура и амплитудой и частотой выну-

ждающей внешней ЭДС.

На рис.16.3,а показаны амплитудно-частотная, на рис.16.3,б - фазо-частотная ха-

рактеристики.

Рис.16.3.

Дифференцируя зависимость q t по времени, получаем характеристики для тока:

рис.16.4,а,б соответственно.

217

Рис.16.4.

Как показывает анализ, амплитуды заряда и тока достигают максимальных резо-

нансных значений при частотах 02 2 2 (в случае слабого затухания они практически совпадают). Важно отметить, что при резонансе ток и ЭДС синфазны, что обеспечивает максимальную мощность, поступающую от источника в контур. Тогда для средней мощности имеем

P Em I m .

2

Поскольку при резонансе сопротивление контура определяется его омическим со-

противлением R, это есть тепловая мощность, рассеиваемая на сопротивлении R. При этом отношение энергии рассеяния (диссипации) к средней энергии контура не зависит от ис-

точника и определяется лишь параметрами контура:

16.6. Метод векторных диаграмм

Квазистационарный ток на всех участках неразветвленной цепи одинаковый. Это позволяет использовать метод векторных диаграмм для представления амплитуд и фаз на-

пряжения на отдельных элементах цепи. Уравнение U L (t) UR (t) UC (t) Em cos t , где слева записана сумма напряжений на индуктивности, сопротивлении и емкости, можно предста-

вить на диаграмме суммой трех векторов: напряжение на индуктивности с амплитудой

U Lm LIm и фазой, опережающей ток на / 2 , напряжение на емкости с амплитудой

UCm Im / C и фазой, отстающей от фазы тока на / 2 , и напряжение на омическом сопро-

тивлении с амплитудой URm RIm и фазой, равной фазе тока (рис.16.5).

218

Рис.16.5.

Из прямоугольного треугольника диаграммы на рис.16.5 легко получить следую-

щие выражения для амплитуды тока I m и отставание фазы тока от фазы источника φ :

Примеры решения задач

Пример 16.1. Определите величины qm и φ0 в общем решении (16.5) уравнения свободных гармонических колебаний, если в начальный момент времени t 0 заряд и ток определяются величинами q(0) и I 0 .

Решение. Из выражения (16.5) для тока I t следует:

I t dqdt qm 0 sin ( 0t φ0 ) .

Тогда, полагая t 0 , получаем уравнения:

q 0 qm cos φ0 ,

I 0 qm 0 sin φ0 ,

из которых находим

qm q2 0 I 2 0 02 ,

Пример 16.2. Покажите, что в отсутствие омического сопротивления в контуре полная энергия колебаний постоянна.

Решение. Для энергии электрического поля, локализованного в конденсаторе, и

энергии магнитного поля, локализованного в катушке, имеем

219

на рис.16.6 (кривая 1),

Рис.16.6.

и описывает монотонно затухающее колебание:

( 2 2 )t ( 2 2 )t .

q(t) ae 0 be 0

Пример 16.4. Определите зависимость энергии от частоты в случае затухающих колебаний и получите выражение для добротности.

Решение. Рассмотрим зависимость колебаний заряда от времени в виде выражения

(16.7):

q t q0e t cos t ,

тогда ток от времени зависит как

I dqdt q0e t cos t sin t .

Для энергии колебаний

W Wэ Wм q2 LI 2 .

2C 2

После подстановки и преобразований получаем

220