Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

За время dt стержень переместится на величину Vdt , изменение площади при этом составит

dS V l(t)dt .

Следовательно, по закону электромагнитной индукции, в контуре будет действо-

вать ЭДС индукции, величина которой равна:

E i d BdS BV l(t) . dt dt

Направление возникающего индукционного тока совпадает с направлением по-

ложительного обхода контура, показанного на рис.13.5. Величина индукционного тока равна:

I Ei ,

R(t)

где R(t) (R / L)l(t) - сопротивление стержня длиной l(t) . Окончательно получим

I BLVR .

Пример 13.3. В постоянном однородном магнитном поле с индукцией B закреплен прямоугольный проводящий контур, плоскость которого перпендикулярна вектору маг-

нитной индукции. По контуру поступательно перемещают со скоростью V проводящую перемычку длиной l (рис.13.6). Сопротивления R1 и R2 известны и значительно превыша-

ют сопротивление проводов и перемычки. Определите токи I1 и I2 в контуре.

Рис.13.6.

Решение. Способ 1. В рассматриваемой системе можно выделить два контура: кон-

тур 1 с током I1 и контур 2 с током I2. Выберем единую нормаль к плоскостям контуров в

направлении вектора B , одновременно задавая положительное направление обхода

(рис.13.7).

Рис.13.7.

181

При движении вправо за время dt перемычка переместится на величину Vdt .

И насколько магнитный поток через контур 1 увеличится, настолько поток через контур 2

уменьшится:

d BlVdt .

Следовательно, по закону электромагнитной индукции, в контурах 1 и 2 будет дей-

ствовать ЭДС индукции, величина которой равна:

а направление соответствует направлению положительного обхода контура 2 и

противоположно направлению положительного обхода контура 1. На рис.13.7 показана эквивалентная схема, в которой ЭДС индукции представлена как ЭДС источника с нуле-

вым внутренним сопротивлением. Тогда по закону Ома токи I1 и I2 в контурах 1 и 2 равны:

Способ 2. При движении перемычки магнитные потоки сквозь контуры 1 и 2, вы-

деленные ранее, изменяются, в контурах при этом действуют ЭДС индукции, которые со-

гласно закону Ома равны:

E1 d 1 I1R1 , dt

E2 d 2 I2 R2 .

dt

При движении вправо за время dt перемычка переместится на величину Vdt , а зна-

чит, насколько магнитный поток через контур 1 увеличится, настолько поток через контур

2 уменьшится. Поэтому

Пример 13.4. Длинный прямой провод с током I и П-образный проводник с под-

вижной перемычкой расположены в одной плоскости (рис.13.8). Перемычку, длина кото-

рой l, перемещают вправо с постоянной скоростью V. Найдите ЭДС индукции в контуре как функцию расстояния r.

182

Рис.13.8.

Решение. Введем ось R, направление которой совпадает с направлением движения перемычки (рис.13.9).

Рис.13.9.

Перемычка движется в неоднородном магнитном поле, величина которого зависит от расстояния r до провода как

B 0 I .

2 r

Выберем направление нормали к плоскости контура в направлении вектора самым задавая направление положительного обхода контура (рис.13.9). Тогда магнитный поток d через заметаемую поверхность при смещении перемычки на dr равен:

где V dr / dt - скорость перемещения перемычки.

Перемычка движется вправо, и поток через поверхность контура увеличивается.

Поэтому направление ЭДС индукции, а значит, и индукционного тока противоположны положительному направлению обхода контура, что означает знак минус величины ЭДС.

Природой ЭДС в рассматриваемом случае является сила Лоренца, которая действует на движущиеся вместе с перемычкой носители заряда.

183

Пример 13.5. На расстояниях a и b от длинного прямого провода, по которому те-

чет постоянный ток I0, расположены два параллельных ему провода, замкнутых на одном конце резистором сопротивлением R. По проводам без трения перемещают с постоянной скоростью V стержень-перемычку. Пренебрегая сопротивлением провода и стержня, а

также магнитным полем индукционного тока, найдите: а) индукционный ток в стержне; б)

силу, необходимую для поддержания постоянной скорости.

Решение. а) Стержень-перемычка движется в неоднородном магнитном поле, соз-

даваемом током в длинном прямом проводе. На расстоянии r от провода это поле равно:

B(r) 0 I0 .

2 r

Выберем направление нормали к плоскости контура в направлении вектора B , од-

новременно задавая направление положительного обхода контура (рис.13.10).

За время dt перемычка переместится на величину Vdt . Тогда приращение магнит-

ного потока через контур равно:

По закону электромагнитной индукции, в контуре будет действовать ЭДС Ei ddt .

Применяя для замкнутого контура закон Ома, найдем ток:

Знак минус показывает, что направление индукционного тока противоположно на-

правлению положительного обхода контура (см. рис.13.10).

Рис.13.10.

б) На перемычку, по которой течет индукционный ток, со стороны магнитного по-

ля действует сила Ампера FА , которая согласно правилу Ленца препятствует ее движе-

нию. Движение перемычки будет равномерным, если к ней будет приложена внешняя си-

ла F , удовлетворяющая условию

184

Cила Ампера, действующая на элемент перемычки с током Ii , определяется выра-

жением

. dFA Ii [dr , B]

dFA Ii Bdr.

Силы Ампера, действующие на каждый элемент перемычки, сонаправлены, и ре-

зультирующая сила, действующая на перемычку, равна:

Пример 13.6. Одна половина проволочной прямоугольной рамки площадью S раз-

вернута относительно другой на угол α (рис.13.11). Найдите амплитуду ЭДС в такой рам-

ке при ее вращении с угловой скоростью вокруг оси СО в однородном магнитном поле

B , направленном перпендикулярно оси вращения, как показано на рис.13.11. Рассмотрите также специальные случаи: а) α 0 , б) α 90 , в) α 180 .

Рис.13.11.

Решение. Поток магнитной индукции через рамку равен сумме потоков, пронизы-

вающих каждую половину рамки, направления нормалей к которым задаются векторами

где φ t - угол поворота рамки (см. рис.13.12).

Таким образом, полный поток как функция времени описывается выражением

185

1 2 B S2 cos t B S2 cos( t ) BS cos 2 cos( t 2 ) .

По закону электромагнитной индукции, для величины ЭДС получим

Амплитудное значение ЭДС индукции Em достигается при sin( t / 2) 1 и равно:

Em BS cos( / 2) .

Для заданных в задаче специальных случаев получим а) Em BS при α 0 ,

б) Em 2BS / 2 при α 90 , в) Em 0 при α 180 .

Проводящий контур в переменном магнитном поле

Пример 13.7. Магнитный поток через замкнутый проводящий контур сопротивле-

нием R = 10 Ом изменяется со временем t по закону t 2 , где = 10 Вб/с2. Определите силу тока I в контуре в момент времени t = 1 мс.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции согласно закону Фарадея определя-

ется как

Ei (t) d 2 t . dt

Тогда ток в замкнутом контуре по закону Ома равен:

Ii ERi 2Rβt 2 мА.

Знак минус в полученном выражении свидетельствует о том, что направление ин-

дукционного тока противоположно направлению положительного обхода контура, кото-

рое, в свою очередь, согласовано с направлением вектора нормали к поверхности, натяну-

той на контур. Причиной индукционного тока является вихревое электрическое поле,

порождаемое изменяющимся магнитным полем, если контур неподвижен, и сила Лоренца,

если он перемещается в неоднородном постоянном магнитном поле.

Пример 13.8. На длинный соленоид, имеющий диаметр сечением d = 5 см и содер-

жащий n = 20 витков на 1 см длины, плотно надет круговой виток из медного провода се-

чением s = 1 мм2 (удельное сопротивление меди 16 10 9 Ом м ). Найдите ток в витке, ес-

ли ток в обмотке соленоида увеличивают с постоянной скоростью I 100 А/с. Магнитным полем индукционного тока пренебречь.

186

Решение. Магнитное поле внутри длинного соленоида однородно и равно:

В 0 In ,

где n - число витков на единицу длины; I - мгновенное значение тока.

Поэтому при выборе направления нормали к поверхности витка вдоль направления поля магнитный поток через эту поверхность равен:

BS 0 In S ,

где S d 2 / 4 - площадь поверхности витка.

При увеличении тока в обмотке соленоида магнитный поток через виток возрастает

и возникающий индукционный ток определяется выражением

где R d / s , а знак минус означает, что индукционный ток течет в направлении,

противоположном направлению положительного обхода витка, согласованного с направ-

лением нормали.

Тогда величина тока через виток в момент времени t равна:

Ii 0nsdI 2 мА.

4

Пример 13.9. Плоский контур (рис.13.13), имеющий вид двух квадратов со сторо-

нами a = 20 см и b = 10 см, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном его плоскости. Индукцию поля меняют по закону B B0 sin t , где B0 = 10 мТл и = 100 с–

1. Найдите амплитуду индукционного тока в контуре, если сопротивление единицы его длины R1 50 МОм/м . Магнитным полем этого тока пренебречь.

Рис.13.13.

Решение. Индукционный ток в контуре равен:

На рис.13.13 показано направление магнитного поля, а также нормалей к поверхно-

сти каждого из квадратов, составляющих контур, согласованные единым направлением положительного обхода. С учетом этого суммарный магнитный поток через контур равен:

187

Учитывая, что сопротивление контура R 4(a b) R1 , найдем амплитуду индукци-

онного тока:

Ii m B0 (a b) 0,5 нА.

4R1

Заряд и изменение магнитного потока

Пример 13.10. Квадрат, изготовленный из проволоки сопротивлением R =1 Ом,

помещен в однородное магнитное поле, вектор индукции B которого перпендикулярен

плоскости квадрата. Длина стороны квадрата а = 1 см. Величина индукции магнитного поля сначала равна B = 0,1 Тл, а затем ее уменьшают до нуля. Найдите величину q

заряда, который в результате пройдет через поперечное сечение проволоки.

Решение. Количество электричества, протекающего через любое поперечное сече-

ние контура с сопротивлением R при изменении магнитного потока сквозь контур на ве-

личину , равно:

Отметим, что величина q не зависит от характера временной зависимости измене-

ния магнитного потока, а определяется только его начальным и конечным значениями.

Так как индукция магнитного поля меняется от B до нуля, приращение магнитного пото-

ка, пронизывающего контур, равно:

0 Ba2 Ba2 .

Величина заряда, который протекает по проволоке, определяется выражением

q Ba2 10 5 Кл. R

Вихревое электрическое поле

Пример 13.11. В длинном прямом соленоиде с радиусом сечения R = 5 см и числом витков на единицу длины n = 500 см–1 ток изменяют по закону I t , где =10 А/с. Най-

дите модуль напряженности индукционного электрического поля Е на расстоянии r от оси

188

соленоида. Решите задачу для: a) r = 3 см; б) r = 8 см. Изобразите примерный график за-

висимости Е(r).

Решение. Циркуляция электрического поля, возникающего при изменении тока в обмотке, определяется законом электромагнитной индукции:

где - контур, по которому рассчитывается циркуляция; S - поверхность, натяну-

тая на контур , сквозь которую рассчитывается поток.

Магнитное поле внутри длинного прямого соленоида однородно и равно:

В 0 In 0n t ,

а снаружи отсутствует, т.е.

В 0 .

Учитывая осевую симметрию магнитного поля соленоида, линиями электрического поля являются концентрические окружности с центрами на оси соленоида. Выберем в ка-

1

электромагнитной индукции

2 r E 0nα r 2 .

Рис.13.14.

Отсюда следует, что

E(r) 0n 2r 9,4 10 3 В/м.

189

Знак минус в полученном выражении показывает, что направление линий поля E

соленоида является безвихревым , но не является потенциальным, так как не для

, E 0

любого замкнутого контура циркуляция напряженности поля равна нулю, т.е. поле в этой области является безвихревым и соленоидальным (см. рис.13.14).

Рис.13.15.

Примерный график зависимости E(r) представлен на рис.13.15.

190