Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

Для определения этой зависимости выберем гауссову поверхность в виде цилиндра с боковой поверхностью, удаленной от нити на расстояние r, и основаниями, перпендику-

S - площадь боковой поверхности. Поэтому полный поток через выбранную гауссову по-

верхность равен:

.

(Eds ) E S E r 2 r l

Заряд нити внутри рассматриваемой поверхности равен заряду отрезка нити дли-

ной l:

q l .

Рис.2.11.

Применяя теорему Гаусса, получаем соотношение

E(r) 2 r l l / 0 ,

откуда находим

E(r) .

2 0r

График зависимости представлен на рис.2.11,б.

Электрическое поле заряженного цилиндра

Пример 2.11. Поверхность бесконечного длинного кругового цилиндра заряжена однородно с линейной плотностью λ. Определите напряженность электрического поля внутри и вне цилиндра. Полученный результат представьте на графике Er (r) , где Er - про-

екция вектора напряженности на ось r, перпендикулярную поверхности цилиндра, с нача-

лом отсчета на его оси симметрии.

41

чечного заряда в произвольной точке пространства в декартовой системе координат.

Решение. Локальная форма теоремы Гаусса позволяет выразить дивергенцию на-

пряженности электрического поля через локальную плотность распределения заряда по

44

3. Потенциал электростатического поля

Как и любое стационарное центральное поле сил, электростатическое поле точеч-

ного заряда является потенциальным. Это означает, что работа сил поля при перемещении пробного заряда из одной точки пространства в другую не зависит от траектории. Так как любое электростатическое поле можно представить как суперпозицию полей точечных за-

рядов, то оно также является потенциальным. Это позволяет выразить работу электриче-

ских сил при переносе пробного заряда q через убыль потенциальной энергии заряда во внешнем электростатическом поле:

Для однозначного определения потенциала, как и потенциальной энергии, надо выбрать точку, где они обращаются в нуль. В СИ потенциал измеряется в вольтах (В).

Потенциал поля системы зарядов равен сумме потенциалов полей отдельных зарядов в этой точке (принцип аддитивности для потенциала):

φ(r ) φi (r ).

i

Если заряд распределен непрерывно, суммирование надо заменить интегрировани-

ем.

Геометрическая поверхность, все точки которой имеют одинаковое значение по-

тенциала, называется эквипотенциальной поверхностью. Помещая локальную систему прямоугольных координат с началом на эквипотенциальной поверхности, так чтобы оси X

и Y являлись касательными к поверхности (рис.3.1),

45

сти, а значит, направление вектора напряженности должно быть перпендикулярным к по-

верхности, проходящей через данные точки.

Примеры решения задач

Пример 3.1. Определите потенциал электрического поля бесконечной плоскости,

заряженной с поверхностной плотностью σ . Результат представьте в виде графика зави-

симости φ(x) , где ось X имеет начало отсчета (x = 0) на плоскости и перпендикулярна ей.

Считайте, что φ(0) 0 .

Решениe. Согласно результату, полученному при решении примера 2.6, поле на-

пряженности бесконечной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотно-

стью , определяется соотношением

Разность потенциалов между точками с координатами x1 и x2

Графики Ex (x) и φ(x) показаны на рис.3.2.

Рис.3.2.

Пример 3.2. Две тонкие параллельные пластины однородно заряжены с поверхно-

стными плотностями и 2 . Расстояние между пластинами 3d значительно меньше

47

размеров пластин. Определите разность потенциалов φ A φB в точках А и В, положение которых указано на рис.3.3.

Рис.3.3.

Решение. Согласно решению примера 2.7 напряженность поля заряженных пла-

стин определяется следующим выражением:

Разность потенциалов между точками А и В представим в виде

φ A φB (φ A φC ) (φC φB ) .

Учитывая, что точки В и С принадлежат одной эквипотенциальной поверхности и,

таким образом, φ(B) φ(C) найдем разность потенциалов между точками А и В, положение которых согласно рисунку задается координатами xA d, xB xC 2d :

циала в нуль на бесконечности. Это связано с тем, что в рассматриваемом случае на бес-

конечности имеются не только поля, но и сами заряды. Выбираем отсчет потенциала от точки r0 , т.е. φ0 0 при r r0 . Графики зависимости Ex (x) и φ(r) представлены на рис.3.4.

48

Рис.3.4.

Пример 3.4. Поверхность бесконечно длинного прямого цилиндра радиусом R за-

ряжена однородно поверхностной плотностью σ . Определите напряженность поля E и

потенциал внутри и вне поверхности.

Решение. Сначала определим напряженность электрического поля E . Наличие осе-

вой симметрии в распределении заряда позволяет сделать вывод о том, что вектор E в лю-

бой точке пространства направлен радиально к оси заряженного цилиндра или от нее, в

зависимости от знака заряда. Ввиду той же симметрии величина Е может зависеть только от расстояния до оси:

Е = Е ( r ).

Для определения этой зависимости выберем в качестве гауссовой поверхности ци-

линдр, высотой l с боковой поверхностью, удаленной от оси на расстояние r, и основа-

ниями, перпендикулярными к оси симметрии (рис.3.5).

Рис.3.5.

где q - заряд внутри гауссова цилиндра, равный:

49

Подставляя поток и заряды в формульное выражение теоремы Гаусса, получаем

Интегрирование напряженности поля для определения потенциала вне цилиндра проведем вдоль направления, перпендикулярного к оси цилиндра. Выбрав начало отсчета

Внутри заряженного цилиндра электрическое поле отсутствует, поэтому потенциал во всех точках имеет одно и тоже значение, равное выбранному значению на его поверх-

ности. Графики электрического поля и потенциала представлены на рис.3.6.

Рис.3.6.

Пример 3.5. Тонкое кольцо радиусом R равномерно заряжено зарядом q. Найдите потенциал электрического поля на оси кольца на расстоянии х от его центра. Воспользо-

вавшись найденной зависимостью φ(x) , определите напряженность электрического поля на оси кольца. Постройте графики зависимостей потенциала и модуля напряженности электрического поля от координаты х.

Решение. Электростатическое поле создано зарядом, распределенным по тонкому кольцу заданного радиуса. Для расчета напряженности и потенциала поля будем исполь-

зовать принцип суперпозиции. Разобьем кольцо на элементарные участки. Каждый уча-

сток можно рассматривать как точечный заряд dq , потенциал создаваемого им поля dφ dq4 0r , где r - расстояние от элемента dq до точки С (рис.3.7).

50