Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

Рассмотрим специальные случаи использования полученной формулы для расчета индукции магнитного поля B.

Контур - прямоугольник со сторонами a, b << r. Точка A лежит на прямой, прохо-

дящей через центр прямоугольника, перпендикулярно его плоскости.

Покажем направления векторов pm и r на рис.10.24.

Рис.10.24.

151

Искомый вектор магнитной индукции в точке A представим векторным соотноше-

нием в виде

Рис.10.25.

Искомый вектор магнитной индукции в точке A представим векторным соотноше-

нием в виде

Рис.10.26.

Искомый вектор магнитной индукции в точке A представим векторным соотноше-

нием в виде

152

Рис.10.27.

поэтому

Как видно из рис.10.27, искомая сила Ампера растягивает кольцо.

Пример 10.10. По двум длинным тонким параллельным проводникам, вид которых показан на рис.10.28, текут постоянные токи I1 и I2. Расстояние между проводниками a,

ширина правого проводника b. Имея в виду, что оба проводника лежат в одной плоскости,

найдите величину F силы магнитного взаимодействия проводников в расчете на единицу их длины.

Решение. Направления векторов магнитной индукции B1 и B2 магнитных полей токов силой I1 и I2 соответственно определим по правилу правого винта (см. рис.10.28).

153

Рис.10.28.

Проводник с током I1 находится в поле, создаваемом током силой I2, модуль векто-

ра магнитной индукции которого равен:

154

11. Теорема о циркуляции магнитного поля B

Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойства-

ми. Эти свойства, связанные с потоком и циркуляцией векторного поля, выражают основ-

ные законы магнитного поля. Первое из них выражает тот экспериментальный факт, что

линии поля индукции B не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий магнитной индукции, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, все-

гда равно числу линий, входящих в этот объем. Это эквивалентно утверждению, что поток

поля индукции B сквозь любую поверхность равен нулю:

(B, ds ) 0.

Это утверждение выражает тот факт, что в природе нет магнитных зарядов в про-

тивоположность полю электрическому.

Второе фундаментальное свойство магнитного поля связано с циркуляцией поля индукции по замкнутому контуру. Для магнитного поля в вакууме справедлива теорема:

циркуляция магнитного поля постоянных токов по произвольному замкнутому контуру Г равна произведению 0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром

(B, dl ) 0 Ii .

Г i

Следует иметь в виду, что ток считается положительным, если его направление

связано с направлением обхода контура Г правилом правого винта. Ток противоположно-

го направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис.11.1. Здесь токи I1 и I3 положительные, а I2 и I4 отрицательные.

Рис.11.1.

В случае если ток, пронизывающий контур Г, течет не вдоль нитей, а распределен непрерывно в пространстве с плотностью j , то его можно представить как

I ( j, dS ) .

SГ

155

Интеграл берется по произвольной замкнутой поверхности SГ , опирающейся (на-

тянутой) на контур Г. Правило знаков для тока учитывается интегралом автоматически,

так как направление вектора площадки dS связано с положительным направлением обхода контура Г.

Упражнение 11.1. Воображаемый контур, образованный дугой окружности радиу-

сом R и ее диаметром, расположен в вакууме в постоянном однородном магнитном поле,

вектор B индукции которого составляет угол с диаметром (рис.11.2). Найдите криволи-

нейный интеграл (B, dl ) вдоль дуги окружности 1-2-3.

Рис.11.2.

Решение. По условию контур расположен в однородном магнитном поле, поэтому

Из рис.11.3 видно,

Упражнение 11.2. Покажите, что не существует распределение токов, магнитное поле которых обладало бы сферической симметрией.

Решение. Предположим, что такое поле создано. Выберем сферическую поверх-

ность, соответствующую симметрии поля, и найдем поток поля индукции сквозь выбран-

ную поверхность: ФS = B(r) S 0. Отличный от нуля поток поля индукции противоречит

156

свойству потока магнитного поля сквозь замкнутую поверхность и доказывает неверность нашего предположения.

Примеры решения задач

Пример 11.1. По бесконечно длинному прямому проводу круглого сечения радиу-

сом R течет постоянный ток, плотность которого зависит от расстояния r до оси провода по закону , где k - известная постоянная. Найдите модуль B вектора индукции маг-

нитного поля внутри и вне провода в зависимости от r.

Решение. Учитывая осевую симметрию круглого провода, линиями магнитного поля являются концентрические окружности с центрами на оси провода (рис.11.4). При

где Г - контур, по которому рассчитывается циркуляция; S - поверхность, натяну-

тая на контур Г, сквозь которую течет постоянный ток.

В качестве контура Г выберем контур, совпадающий с линиями магнитного поля.

Положительное направление обхода зададим по правилу правого винта нормали n , совпа-

дающей с направлением вектора плотности тока j . Представим круглый провод в виде набора узких концентрических колец радиусом r и шириной dr (см. рис.11.4).

Рис.11.4.

157

где dS 2 rdr - площадь этого кольца. Интегрируя, получаем

В 0k r 2 .

3

Найдем модуль вектора индукции магнитного поля вне провода r R . По теореме о циркуляции для контура 2 :

После интегрирования получаем

В 0k R3 .

3r

Объединяя полученные зависимости, запишем

График зависимости B(r) представлен на рис.11.5.

Рис.11.5.

158

Пример 11.2. Определите величину B индукции магнитного поля тока, однородно распределенного: а) по плоскости с линейной плотностью i ; б) по двум параллельным плоскостям с линейными плотностями i и

Решение. а) Разобъем плоскость на тонкие нити с током линейной плотностью i .

Направление вектора i показано на рис.11.6.

Рис.11.6.

Результирующее поле B будет параллельно плоскости: справа от плоскости - вниз,

слева - вверх. Для определения модуля вектора B индукции магнитного поля воспользу-

емся теоремой о циркуляции магнитного поля B :

(B, dl ) 0 Ii .

Зная направления линий вектора B , выберем в качестве контура прямоугольник

1234. Тогда по теореме о циркуляции

2Вl 0il ,

где l - длина стороны прямоугольника, параллельной плоскости с током. Откуда

В 0i .

2

Таким образом, магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой яв-

ляется однородным.

б) Для определения величины B индукции магнитного поля тока, однородно рас-

пределенного по двум параллельным плоскостям с линейными плотностями i и i , вос-

пользуемся принципом суперпозиции. Для этого покажем направления B между плоско-

стями и вне их (рис.11.7).

159

Рис.11.7.

результате их суммы, будет иметь то же направление, а его величина равна сумме моду-

лей этих векторов:

Bмежду B1 B2 0i .

Пример 11.3. Найдите плотность тока как функцию расстояния r от оси аксиально-

симметричного параллельного потока электронов, если величина индукции магнитного поля внутри потока зависит от r как B br , где b и - положительные постоянные.

Решение. Согласно условию задачи величина индукции магнитного поля симмет-

рична относительно оси пучка электронов, т.е. одинакова во всех точках на расстоянии r

от оси.

В качестве контура выберем окружность радиусом r, плоскость которой перпен-

дикулярна пучку электронов, а ее центр совпадает с центром пучка. Положительное на-

правление обхода зададим по правилу правого винта нормали n , совпадающей с направ-

лением вектора плотности тока j (рис.11.8).

Рис.11.8.

160