Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

Пример 1.12. Полубесконечный круглый цилиндр радиусом R заряжен однородно

по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд 0 . Найдите напряжен-

ность электрического поля в центре основания цилиндра.

Решение. Представим, что цилиндр состоит из набора круглых тонких колец ши-

риной dy каждое. Точка O находится на оси этих колец (рис.1.18).

Рис.1.18.

Воспользуемся формулой для напряженности поля на оси равномерно заряженного кольца (пример 1.7):

где dq dy - заряд одного кольца. Тогда

21

верхностной плотностью 0 . Найдите модуль напряженности электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния y от ее центра. Рассмотрите предельные случаи

y 0 и y R .

Решение. Представим круглую пластинку в виде набора узких концентрических колец радиусом r и шириной dr (рис.1.19).

Векторы dE направлены одинаково для всех колец пластинки (по оси Y , так как

заряд пластинки положительный). Применив принцип суперпозиции для напряженности,

найдем E( y) :

22

График зависимости E y представлен на рис.1.20.

Рис.1.20.

ком тонкой однородно заряженной с линейной плотностью нити в точке наблюдения c

Рис.1.21.

Решение. Вклад в напряженность поля от элемента отрезка dx равен dE k dx . По- r 2

ля от разных элементов отрезка dE отличаются как

23

величиной, так и направлением (рис.1.22).

Рис.1.22.

Поэтому для нахождения результирующего поля проинтегрируем проекции эле-

Полученные формулы включают в себя все результаты расчета полей однородно заряженных отрезков. Приведем наиболее часто используемые (рис.1.23):

- поле на перпендикуляре, проведенном из середины отрезка:

- поле бесконечного отрезка:

1 0 , 2 Ex 0 , Ey 2ky ;

- поле полубесконечного отрезка в точках плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его торец:

Рис.1.23.

24

Пример 1.15. Однородно заряженная нить, на единицу длины которой приходится положительный заряд , имеет два полубесконечных прямолинейных и закругленный участки. Найдите модуль напряженности электрического поля в точке О для конфигура-

ции, показанной на рис.1.24.

Решение. Нить имеет три участка - два прямолинейных полубесконечных (см.

рис.1.24, участки 1 и 3) и один закругленный (см. рис.1.24, участок 2). Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции полей, создаваемых каждым из трех участков нити в точке О.

Рис.1.24.

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с точкой О, а оси X

и Y совпадали с полубесконечными участками 1 и 3 (рис.1.25).

Рис.1.25.

Напряженность поля полубесконечной нити в точке О, лежащей на перпендикуляре к оси нити (см. рис.1.24, участок 1), будет иметь составляющие вдоль осей X и Y, проек-

ции которых согласно результату примера 1.13, равны

Направления этих составляющих показаны на рис.1.25.

25

Согласно результату примера 1.4 напряженность поля полукольца (см. рис.1.24,

участок 2) в точке О будет направлена вдоль оси Y и равна:

Согласно результату примера 1.13 результирующая напряженность поля полубес-

конечной нити в точке О, лежащей на оси нити (см. рис.1.24, участок 3),

будет направлена вдоль оси X и равна:

Сложив попарно проекции векторов, направленные вдоль осей X и Y:

направление вектора противоположно направлению оси Y.

26

2. Теорема Гаусса. Использование теоремы Гаусса для расчета полей

Для описания электрического поля как самостоятельного физического объекта на-

ряду с основной характеристикой поля вектора E вводят скалярную характеристику - по-

ток векторного поля. Потоком поля напряженности через элементарный участок площа-

зависит от выбора направления нормали к поверхности.

Поток напряженности электрического поля через поверхность S конечного размера определяется как алгебраическая сумма элементарных потоков:

Ф En ds.

S

В случае замкнутой поверхности направление нормали выбирается в сторону внешнего пространства. Поток поля напряженности обладает свойством аддитивности,

являющимся следствием принципа суперпозиции. Если поле является суперпозицией не-

ный угол (рис.2.1).

Рис.2.1.

27

Поток через замкнутую поверхность равен 4 kq , если заряд q находится внутри этой поверхности, и нулю - если снаружи.

Сформулируем теорему Гаусса. Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри поверхно-

сти, деленной на 0 :

Для графического представления полей используют силовые линии (линии напря-

женности) поля, которые проводятся по следующим правилам:

- касательная к силовой линии направлена вдоль вектора поля E в каждой точке пространства;

- густота силовых линий пропорциональна напряженности поля в данной точке.

Поток вектора напряженности пропорционален числу силовых линий, пронизы-

вающих поверхность. Теорема Гаусса означает, что силовые линии начинают и заканчи-

ваются на зарядах, а в пустом пространстве непрерывны.

Рассмотрим локальную (дифференциальную) форму теоремы Гаусса. Из определе-

ния элементарного потока векторного поля следует, что его величина пропорциональна величине площади ds. Замечательным свойством потока вектора через замкнутую поверх-

ность, ограничивающую элементарный объем dV, является пропорциональность потока

этому объему. Рассмотрим, например, электростатическое поле E . В соответствии с тео-

ремой Гаусса поток поля E через произвольную замкнутую поверхность, а значит, и через поверхность, охватывающую элементарный объем dV, определяется величиной заряда,

находящегося внутри dV:

d dq dV .

0 0

Пропорциональность потока величине соответствующего элементарного объема свойственна и другим векторным полям. Этот факт можно представить и на языке линий поля. Действительно, результирующий поток отличен от нуля, если число входящих в замкнутую поверхность линий поля отличается от числа выходящих, т.е. если внутри этой поверхности находятся истоки (откуда исходят линии поля) или стоки (где заканчиваются линии поля). При этом величина потока через замкнутую поверхность пропорциональна полному числу источников и стоков, находящихся внутри поверхности, а так как для фи-

зически малого объема dV их число пропорционально самому объему dV, то и поток через ограничивающую этот объем замкнутую поверхность можно представить в виде

d = DdV.

28

части поверхности вектор E направлен вдоль поверхности либо поле отсутствует, то можно найти величину Е, применив к этой поверхности теорему Гаусса:

Ф E S q / 0 ,

E q / 0S ,

где q - заряд внутри гауссовой поверхности S .

С помощью локальной формы теоремы Гаусса по заданному электрическому полю

E всегда можно найти соответствующее распределение электрических зарядов, вычислив дивергенцию данного поля.

Вопрос 2.1. Укажите ошибочные утверждения, относящиеся к формулировке тео-

ремы Гаусса:

а) q - алгебраическая сумма зарядов, которые охватываются поверхностью S ;

б) E - электрическое поле, созданное зарядами, расположенными внутри поверхно-

сти S ;

в) S - произвольная замкнутая поверхность;

д) теорема Гаусса справедлива только для неподвижных зарядов;

е) теорема Гаусса справедлива только для точечных зарядов.

Ответ. Ошибочные утверждения:

не зависит от скорости частицы. Теорема Гаусса справедлива не только для покоящихся,

но и для движущихся зарядов;

е) так как теорема Гаусса справедлива для любого распределения заряда.

Примеры решения задач

Поток электрического поля

Пример 2.1. Два точечных заряда q и –q расположены на расстоянии 2l друг от друга. Найдите поток вектора напряженности через круг радиусом R, плоскость которого перпендикулярна отрезку прямой, соединяющей заряды, и проходит через его середину.

Решение. Рассмотрим элементарный поток результирующего электрического поля

dФ (EdS) EdS через бесконечно малую кольцевую зону круга радиусом и шириной d dФ E( )2 d .

30