Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

10. Магнитное поле в вакууме.

Закон Био - Савара. Сила Ампера. Сила Лоренца

Вокруг проводников с током и постоянных магнитов существует магнитное поле,

которое проявляется в силовом воздействии, оказываемом им на другие проводники с то-

ком или постоянные магниты, а также на движущиеся заряды. Такая общность явлений обусловлена тем, что и в магнитах и в проводниках магнитные силы порождаются движе-

нием зарядов. Только в магнитах в отличие от проводников токи циркулируют в атомах.

Источниками магнитного поля являются магниты, постоянные токи и движущиеся заряды, и, в свою очередь, магнитное поле воздействует на магниты, постоянные токи, т.е.

только на движущиеся заряды. Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся в нем заряды.

В разделе «Электростатика» рассматривалось действие сил поля на покоящийся за-

ряд. В качестве характеристики электростатического поля использовался вектор напря-

женности электростатического поля E Fэ / q . Однако экспериментально установлено, что если заряд движется, то сила, действующая на него, может отличаться от электрической

Обобщением опытных фактов являются следующие три основные свойства маг-

нитной силы, действующей на движущуюся заряженную частицу:

1) величина магнитной силы пропорциональна заряду движущейся частицы и ве-

личине ее скорости;

2)направление магнитной силы всегда перпендикулярно направлению движения заряженной частицы;

3)в любой точке пространства существует такое направление, двигаясь в котором,

частица не испытывает действие магнитной силы.

Перечисленные свойства магнитной силы можно описать количественно, если вве-

поля, где магнитная индукция равна B , на точечный заряд q, движущийся со скоростью

. Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженной частицы, поэтому она изменяет только направление этой скорости, не изменяя ее модуля.

131

В итоге полная сила, действующая со стороны электромагнитного поля на движу-

щуюся относительно произвольной инерциальной системы отсчета заряженную частицу,

описывается формулой

скорость частицы в данной инерциальной системе отсчета, в которой электромагнитное

В нерелятивистском приближении сила не зависит от выбора инерциальной систе-

мы отсчета. Поскольку магнитная сила меняется при переходе от одной системы отсчета к другой, так как она зависит от скорости движения частицы, то при таком переходе должна меняться и электрическая сила. Таким образом, разделение полной силы на электриче-

скую и магнитную зависит от выбора системы отсчета.

Если заряженная частица движется со скоростью, перпендикулярной к направле-

тромагнитами при пропускании тока ~ 10 А. Магнитное поле Земли равно B 0,5 10 4 Тл.

Как и любое векторное поле, магнитное поле может быть представлено с помощью линий магнитной индукции, которые проводятся по следующим правилам:

1) касательная к этим линиям в каждой точке совпадает с направлением вектора

индукции B , т.е. с направлением, двигаясь в котором, частица не испытывает действие

магнитной силы;

2) густота линий пропорциональна модулю вектора B в данной точке.

Например, линии индукции магнитного поля прямолинейного проводника являют-

ся концентрическими окружностями с центрами на оси проводника (рис.10.1).

132

Рис.10.1.

Плоскости, в которых лежат окружности, перпендикулярны проводнику. Направ-

ления линий индукции совпадает с направлением вращения правого винта, если его ввин-

чивать вдоль тока. Эти линии всегда замкнуты и охватывают проводники с током, что яв-

ляется следствием того, что магнитные «заряды» не существуют. Поля с замкнутыми линиями называются соленоидальными. Этим они отличаются от электростатического по-

ля, линии которого начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрица-

тельных.

Экспериментально установлено, что для магнитного поля, как и для электрическо-

го, справедлив принцип суперпозиции: поле B , порождаемое несколькими источниками,

равно векторной сумме полей Bi , порождаемых каждым источником в отдельности:

согласно определению векторного произведения векторов, правую тройку (рис.10.2).

Рис.10.2.

133

Линии поля индукции B представляют собой окружности, центры которых лежат на прямой вдоль движения зарядов.

Закон Био - Савара - Лапласа позволяет определить магнитное поле, созданное

элементом тока, текущего по тонкому проводнику. Элемент тока - вектор, по модулю рав-

ный произведению величины тока I на длину элемента проводника и совпадающий по на-

Рис.10.3.

всем проводником с током, определяется интегрированием полей элементарных токов:

Подобно тому, как для исследования электрического поля использовался пробный точечный заряд, для исследования магнитного тока используется пробный ток, циркули-

рующий в плоском замкнутом витке очень малых размеров. Ориентация витка характери-

зуется направлением нормали к плоскости витка, связанной с направлением тока прави-

лом правого винта (рис.10.4).

134

Рис.10.4.

Такая нормаль называется положительной. Для характеристики такого малого вит-

ка с током вводят вектор магнитного момента

Если контур витка с током имеет произвольную форму, то нормаль к плоскости контура не имеет определенного направления. В этом случае виток разбивается на малые контуры, к каждому из которых можно провести нормаль (рис.10.5),

Рис.10.5.

тогда результирующий магнитный момент равен

Обобщая результаты исследований действия магнитного поля на различные про-

водники с током, Ампер установил, что сила dF , с которой магнитное поле действует на

элемент тока I dl , находящийся в магнитном поле, равна

135

Примеры решения задач

Круговой виток с током

Пример 10.1. По круговому витку радиусом R из тонкой проволоки циркулирует ток I. Найдите индукцию магнитного поля: а) в центре витка; б) на оси витка на расстоя-

нии x от его центра. Выразите решение задачи через магнитный момент витка.

Решение. а) Для расчета индукции магнитного поля воспользуемся принципом су-

перпозиции. Разобьем кольцо на элементарные участки dl , по которым течет ток I

(рис.10.6). Все элементы тока I dl данного проводника создают в центре магнитные поля

одинакового направления - вдоль нормали от плоскости витка (см. рис.10.6), поэтому

сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей.

Рис.10.6.

Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу ( dl r ) и расстояние от всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, согласно за-

кону Био - Савара

dB 0 I dl .

4 R2

Тогда

136

где L 2 R - длина контура.

Итак, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током равна

B 0 I .

2R

Модуль магнитного момента кольца равен

Приведенное выше решение позволяет найти магнитное поле и в случае, если ток течет по дуге окружности радиусом R, длина которой равна l Rφ (рис.10.7).

Рис.10.7.

Магнитное поле в центре (точка 0) будет равно:

рым течет ток I (рис.10.8).

Рис.10.8.

137

Поля всех элементов тока кольца будут образовывать конус векторов dB , а резуль-

тирующий вектор в точке А, расположенной на оси витка на расстоянии x его центра, бу-

Интегрируя это выражение по всему контуру, найдем индукцию магнитного поля на оси кольца на расстоянии x от его центра

Для величины магнитного поля в точке A, расположенной на большом расстоянии x R от кольца, полученная зависимость принимает вид

Bx 0 IR32 .

2 x

В центре витка с током x = 0, поэтому магнитная индукция равна:

что совпадает с результатом, полученным в пункте а).

Зависимость индукции магнитного поля на оси кольца схематично показана на рис.10.9.

Рис.10.9.

138

Прямолинейный проводник с током

Пример 10.2. Докажите, что в точке A индукция магнитного поля B, создаваемого прямолинейным отрезком тонкого провода с током I, определяется формулой

B 0 I sin 2 sin 1 , где расстояние x и углы 1 , 2 определяют положение точки A отно-

4 x

сительно отрезка (рис.10.10).

Рис.10.10.

Решение. Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции. Разобьем

проводник на элементарные участки dl , по которым течет ток I (рис.10.11). Согласно за-

кону Био - Савара вектор магнитной индукции, создаваемой в точке A каждым элементом

тока I dl , равен:

тежа (от нас ), что показано на рис.10.11.

139

Рис.10.11.

Сложение векторов dB сводится к сложению их модулей. В качестве переменной интегрирования выберем угол (угол между x и r). Выразим через угол все остальные величины. Из рис.10.11 видно, что r x /cos , l x tg , поэтому длина элемента тока связа-

на с приращением соотношением

dl x d . cos2

Магнитная индукция, создаваемая элементом проводника, равна:

B0 I sin 2 sin 1 , 4 x

где 1 и 2 - углы, под которыми мы видим из точки, в которой определяем поле,

концы проводника. Эти углы являются алгебраическими величинами и отсчитываются от перпендикуляра, опущенного из точки на проводник. Положительное направление отсчета угла соответствует углу, отсчитываемому от перпендикуляра в направлении тока.

Полученную формулу можно использовать для расчета полей различных прямоли-

нейных проводников с токами.

Рассмотрим специальные случаи использования формулы для расчета индукции магнитного поля B прямолинейным отрезком тонкого провода с током I:

140