Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

рованные заряды создают такое же поле, что и заряд q , расположенный симметрично за-

ряду q относительно плоскости P (рис.5.4).

Рис.5.4.

Воображаемый заряд q , полностью заменяющий все наведенные на плоскости за-

ряды, называют изображением заряда q , а сам метод называют методом электростатиче-

ских изображений. Согласно этому методу сила притяжения точечного заряда к бесконеч-

ной проводящей плоскости равна силе взаимодействия между зарядом q и его

«изображением» - зарядом q :

где l - расстояние между зарядом q и плоскостью.

Примеры решения задач

Поле внутри проводника

Пример 5.1. В однородное электрическое поле E0 перпендикулярно силовым ли-

ниям внесли тонкую заряженную металлическую пластину. При этом на поверхности пла-

стины, в которую «входят» силовые линии, плотность заряда оказалась равной 1 . Найди-

те поверхностную плотность заряда на другой поверхности пластины.

Решение. Рассмотрим произвольную точку A внутри проводника (рис.5.5). Поле в

71

Решение. Внутри проводника напряженность электрического поля равна нулю.

Рассмотрим некоторую точку, расположенную внутри «стенки» внешней сферы на рас-

стоянии r от центра сфер. Электрическое поле в этой точке создают только те заряды, ко-

торые расположены внутри сферической поверхности радиусом r, т.е. заряды с плотно-

стями 1 , 2 и 3 . Следовательно,

E S2 3 S1 ( 2 1 ) 0 , 4 0r 2

где S2 4 r22 , S1 4 r12 - площади поверхности сфер. Аналогично, рассматривая точ-

ку, расположенную внутри «стенки» внутренней сферы, получаем

E S1 1 0 . 4 0r 2

Потенциал заряженных проводников

Пример 5.3. Два металлических шара, радиусы которых r1 и r2 , расположены на большом расстоянии друг от друга и соединены тонкой проволокой. Суммарный заряд ша-

ров Q. Определите заряд каждого шара.

Решение. Обозначим заряды шаров q1 и q2 . Поскольку шары расположены далеко друг от друга, можно считать, что заряды распределены по поверхностям шаров однород-

но. Тогда для потенциалов шаров можно записать

Пример 5.4. Имеются две концентрические металлические сферы, в центре кото-

рых находится точечный заряд q. Заряд меньшей сферы 3q , заряд больше сферы 2q . Оп-

ределите заряд каждой сферы после того, как их соединят тонкой проволокой.

Решение. После соединения сфер заряды распределятся так, что потенциалы сфер будут одинаковыми:

73

где Q1 и R1 - заряд и радиус внутренней сферы; Q2 и R2 - заряд и радиус внешней

сферы.

Из этого уравнения следует Q1 q . Суммарный заряд сфер после их соединения не изменился:

3q 2q Q1 Q2 .

Следовательно, Q2 2q .

Пример 5.5. Найдите потенциал незаряженной проводящей сферы, вне которой на

расстоянии l от ее центра находится точечный заряд q . Потенциал в бесконечно удален-

ной точке, как обычно, считайте равным нулю.

Решение. На поверхности проводящей сферы индуцируются заряды Qi , распреде-

ленные по поверхности так, что напряженность электрического поля внутри сферы равна нулю. При этом потенциалы во всех точках, расположенных внутри и на поверхности

проводящей сферы, одинаковые. Найдем потенциал в центре сферы:

Суммарный заряд сферы равен нулю: Qi 0 , поэтому q / 4 0l .

Метод электростатических изображений

Пример 5.6. Точечные заряды q и –q расположены на расстоянии 2l друг от друга и на одинаковом расстоянии l от бесконечной проводящей плоскости с одной стороны от нее. Определите поверхностную плотность индуцированных зарядов в точке на плоско-

сти, расположенной на минимальном расстоянии от заряда q.

Решение. На рис.5.7 для удобства дальнейших объяснений заряды снабдим индек-

сами.

Рис.5.7.

74

Модули всех зарядов равны q. Заряды q1 и q2 - это исходные заряды q и –q, рас-

положенные вблизи проводящей плоскости. Заряд q3 - «изображение» заряда q1 . Этот фиктивный заряд создает в верхнем полупространстве такое же поле, что и заряды, инду-

лярно проводящей плоскости, а его модуль равен:

E 2E1 2E2cos α ,

где cos α l / l 5 1/ 5 . Таким образом,

Поверхностную плотность индуцированных зарядов найдем при помощи формулы

En / 0 :

75

6. Поле в диэлектриках

Диэлектриками называют вещества, не проводящие электрического тока. В диэлек-

триках в отличие от проводников отсутствуют свободные носители заряда, способные пе-

ремещаться на значительные расстояния, создавая ток.

Изменения, происходящие в веществе, связаны с тем, что в составе атомов и моле-

кул имеются положительно заряженные ядра и отрицательно заряженные электроны, ко-

торые смещаются под действием внешнего электрического поля. Молекула как в отноше-

нии создаваемого ею поля, так и в отношении испытываемых ею во внешнем поле сил

подобна диполю.

Молекулы могут быть неполярными и полярными. У неполярных молекул центры

«тяжести» положительных и отрицательных зарядов совпадают и их собственный ди-

польный момент (в отсутствие внешнего электрического поля) равен нулю. У полярных молекул центры тяжести зарядов разных знаков смещены относительно друг друга, в ре-

зультате чего молекулы обладают собственным дипольным моментом.

Под действием внешнего электрического поля происходит поляризация диэлектри-

ка. При этом в неполярных молекулах положительные заряды смещаются по полю, а от-

рицательные - против поля, и возникает наведенный дипольный момент. Полярную моле-

кулу внешнее поле стремится повернуть так, чтобы ее собственный дипольный момент

установился по направлению поля.

В целом смещение зарядов друг относительно друга приводит к появлению не-

скомпенсированных зарядов на поверхности диэлектрика и в особых условиях - в объеме.

Свобода перемещения таких зарядов ограничена и они называются связанными. Заряды,

которые не входят в состав молекул диэлектрика, а вносятся извне, называют сторонними.

форме эта теорема имеет вид divP , т.е. дивергенция поля вектора P равна с обратным

знаком объемной плотности связанного заряда в той же точке.

Физически бесконечно малый объем содержит большое число молекул, но имеет размеры во много раз меньшие, чем расстояния, на которых заметно меняется макрополе

E .

Используя теорему Гаусса для вектора P , можно показать, что в однородном изо-

тропном диэлектрике любой формы, при условии отсутствия внутри него сторонних заря-

дов, в процессе поляризации появляются только поверхностные связанные заряды.

Действительно, для изотропного диэлектрика P 0 E , для однородного диэлек-

трика const и в результате получим

0 EdS q .

S

В соответствии с теоремой Гаусса для вектора E

0 EdS q q ,

S

т.е. (q q ) q , откуда q q .

(1 )

Аналогичное соотношение справедливо и для объемных плотностей зарядов:

.

(1 )

Значит, в однородном диэлектрике 0 , если 0 .

Для наличия объемных связанных зарядов диэлектрик должен быть неоднородным либо внутри него должны находиться сторонние заряды.

77

В результате поляризации на границе раздела двух однородных изотропных ди-

электриков появляется поверхностный связанный заряд (рис.6.1).

Рис.6.1.

произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме только сторонних

зарядов q, охватываемых этой поверхностью. Величина q, как правило, известна или легко

поддается расчету:

DdS q .

Этот закон называют теоремой Гаусса для поля вектора D . В дифференциальной

форме

divD ,

78

ницаемость вещества. Для всех веществ 1 , для вакуума 1 . В изотропных диэлектри-

зависят от направления, эти векторы могут быть не коллинеарными.

Как и другие векторные поля, поле вектора D изображают с помощью линий, ко-

торые проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением

поля вектора D - только сторонние заряды, а источниками и стоками поля P - связанные заряды.

Условия на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков (рис.6.2)

могут быть получены из теоремы о циркуляции вектора E и теоремы Гаусса для вектора

D .

Рис.6.2.

В результате оказывается, что непрерывна тангенциальная составляющая вектора

причем

tgα2 2 . tgα1 1

Соответствующая иллюстрация для сред с диэлектрическими проницаемостями 1

и 2 ( 2 1 ) представлена на рис.6.3.

79

Рис.6.3.

На границе раздела диэлектрик - проводник Dn , где n - внешняя по отношению

к проводнику нормаль; - плотность поверхностного стороннего заряда на проводнике;

Dn - нормальная составляющая вектора D в приповерхностной области диэлектрика

(рис.6.4).

Рис.6.4.

При этом связанный заряд в диэлектрике у поверхности проводника однозначно определяется величиной :

1 .

Этот результат можно получить, применяя теорему Гаусса для вектора E . Так как

на границе раздела есть как сторонние , так и связанные заряды, то En ( ) / 0 . С

другой стороны, En Dn / 0 / 0 , откуда следует, что / и после преобразований полученный выше результат.

задача.

Однако для важного частного случая, когда однородный и изотропный диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями внешне-

го поля:

E

E0 .

80