Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

14.Самоиндукция. Энергия магнитного поля

14.1.Индуктивность проводов

Рассмотрим тонкий замкнутый провод, по которому течет постоянный ток I

(рис.14.1). Внутри провода параллельно его оси проведем произвольный замкнутый гео-

метрический контур s. Пусть B - магнитное поле тока I, а Ф - магнитный поток этого век-

тора через произвольную поверхность, опирающуюся на контур s.

Рис.14.1.

Если в пространстве нет ферромагнитных тел, то по закону Био - Савара в любой

точке пространства поле B пропорционально току I. Поэтому магнитный поток Ф также пропорционален току:

где L - коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью проводя-

щего контура. Если провод тонкий, то поток Ф и индуктивность L не зависят от выбора контура s внутри провода.

Итак, индуктивность замкнутого тонкого провода - это коэффициент ропорцио-

нальности между током в контуре и магнитным потоком через поверхность, ограничен-

ную проводящим контуром.

Индуктивность зависит от геометрии замкнутого провода и магнитной проницае-

мости среды. Например, индуктивность длинного соленоида (цилиндрической катушки с плотной винтовой намоткой) определяется формулой L 0SN 2 / l , где S - площадь попе-

речного сечения; N - число витков; l - длина соленоида (предполагается, что она значи-

тельно больше радиуса поперечного сечения катушки); - магнитная проницаемость сре-

ды внутри соленоида.

191

14.2.Явление самоиндукции

Всоответствии с законом электромагнитной индукции при всяком изменении маг-

нитного потока через поверхность, ограниченную проводящим контуром, в нем возникает ЭДС индукции. В частности, ЭДС индукции возникает и в отсутствие внешних источни-

ков магнитного поля, если в контуре течет ток, зависящий от времени. Действительно, та-

кой ток порождает магнитное поле, зависящее от времени, а это влечет за собой измене-

ние во времени магнитного потока через контур и, следовательно, появление ЭДС индукции.

Таким образом, изменение тока в контуре ведет к возникновению ЭДС индукции в том же самом контуре. Это явление называется самоиндукцией.

Величину и знак ЭДС, возникающей в контуре при изменении тока в нем, вычис-

лим при помощи закона электромагнитной индукции и формулы (14.1)

Эту ЭДС называют электродвижущей силой самоиндукции. В соответствии с пра-

вилом Ленца ЭДС самоиндукции препятствует изменению тока в контуре.

14.3. Явления при замыкании тока

Пусть в некоторый момент времени ключ замыкает цепь, состоящую из последовательно соединенных катушки, резистора и источника ЭДС (рис.14.2).

Рис.14.2.

Анализируя процесс нарастания тока, запишем закон Ома для замкнутой цепи:

определяющее зависимость . На начальном этапе переходного процесса, когда ток еще мал ( IR E ), из уравнения (14.3) следует

В установившемся состоянии ( dI / dt 0 ) из (14.3) получим I I E / R . На рис.14.3

эти асимптоты изображены штриховыми прямыми, пересекающимися при t L / R . Ве-

личину называют постоянной времени. Переходной процесс практически завершается

за время, составляющее несколько .

Нетрудно получить строгое решение дифференциального уравнения (14.3):

Соответствующий график I (t) приведен на рис.14.3.

14.4. Магнитная энергия уединенного замкнутого проводника с током

Рассмотрим неподвижный замкнутый тонкий провод. Пусть в начальный момент времени ток в проводе равен нулю. Будем каким-либо способом наращивать ток I в про-

воде (витке), например, увеличивая ЭДС E источника, включенного в контур, от нуля до некоторого конечного значения. Тогда по закону Ома

где R - сопротивление контура; - магнитный поток. Источник ЭДС при этом со-

вершает работу

A Edq .

Кроме того, выделяется тепло

Q I 2 Rdt .

Найдем разность этих величин

где I и - конечные значения тока и магнитного потока в контуре. Величина W, не зависящая от способа наращивания тока в контуре, и есть магнитная энергия контура с током.

193

Полученную формулу можно обобщить на случай произвольного числа контуров с токами:

W 12 I1 1 I2 2 I3 3 ... .

Рассматривая для определенности два контура, заметим, что магнитный поток 1

через первый контур создается как током I1 в первом контуре, так и током I 2 во втором.

Зависимость магнитного потока от токов согласно закону Био - Савара линейная:

1 L11I1 L12I2 ,

где коэффициент пропорциональности L12 называется взаимной индуктивностью первого контура относительно второго. Этот коэффициент зависит от формы контуров и их взаимного расположения. Коэффициент L11 - индуктивность первого контура. Анало-

гично

2 L22I2 L21I1 .

Замечательным свойством взаимной индуктивности является равенство L12 L21

(теорема взаимности). Тогда для магнитной энергии двух контуров получим

W12 L11I12 L22I22 2L12I1I2 .

14.5.Локализация магнитной энергии в пространстве

Энергию магнитного поля произвольной системы контуров с токами можно выра-

зить через индукцию магнитного поля

Где w B2 .

2 0

Интегрирование проводится по всему пространству, занятому полем ( - магнитная проницаемость вещества, которое предполагается не ферромагнитным).

Величина w представляет собой магнитную энергию, приходящуюся на единицу объема. Вид формулы (14.4) дает основания предположить, что магнитная энергия заклю-

чена в магнитном поле, заполняющем пространство. Рассматривая постоянные токи и магнитные поля, проверить экспериментально или обосновать теоретически это предпо-

ложение невозможно, однако рассмотрение переменных электрических и магнитных по-

лей позволяет удостовериться в правильности такой полевой интерпретации формулы

(14.4). Следовательно, величина w представляет собой объемную плотность энергии маг-

нитного поля, т.е. энергию магнитного поля, содержащуюся в единице объема.

194

Примеры решения задач

Индуктивность

Пример 14.1. Найдите индуктивность L тороидальной катушки из N витков, внут-

ренний радиус которой равен b, а поперечное сечение имеет форму квадрата со стороной a. Пространство внутри катушки заполнено веществом с магнитной проницаемостью .

Решение. Применяя теорему о циркуляции напряженности магнитного поля для контура, совпадающего с линией напряженности (рис.14.4),

Рис.14.4.

найдем зависимость напряженности и индукции от расстояния до оси тороида:

H (r)2 r NI , B(r) 0 NI .

2 r

Для потока неоднородного поля индукции через один виток соленоида будем сум-

мировать элементарные потоки через элементы поверхности, выделенные на рис.14.4:

Пример 14.2. Найдите индуктивность L единицы длины двухпроводной линии, ес-

ли радиус каждого провода в раз меньше расстояния между их осями. Полем внутри проводов пренебречь, магнитную проницаемость всюду считать равной единице и >> 1.

Решение. Магнитное поле индукции в точках поверхности, натянутой на провода,

найдем как суперпозицию полей индукции каждого провода и с учетом их сонаправлен-

ности получим

195

Элементарный поток поля индукции через полоску длины h и ширины dr предста-

Откуда для индуктивности на единицу длины окончательно получим

L1 0 ln . hI

ЭДС самоиндукции.

Явления при размыкании и замыкании тока в цепи

Пример 14.3. Ток в катушке, индуктивность которой L = 0,1 Гн, изменяется со

временем t по закону I I0 (1 t 2 / 2 ) , где I0 = 100 мА, = 1 мс. Определите магнитный по-

ток Ф и ЭДС самоиндукции Esi в контуре в момент времени t .

Решение. Величина магнитного потока определяется мгновенной величиной тока по соотношению (t) LI(t) . Для момента времени t это дает ( ) LI( ) 2LI0 . Анало-

Пример 14.4. Ключ K в приведенной на рис.14.5 схеме в течение длительного вре-

мени был замкнут. Определите зависимость от времени напряжения U(t) на катушке после размыкания ключа в момент t = 0. Индуктивность катушки L = 0,1 Гн, сопротивление ее обмотки r = 100 Ом, сопротивление резистора R = 100 кОм, ЭДС источника E = 12 В, его внутреннее сопротивление пренебрежимо мало.

Рис.14.5.

196

Решение. До размыкания ключа через резистор и катушку будут течь постоянные токи, величины которых равны I R E / R и I L E / r , так как напряжения на этих элементах

одинаковы и равны U R U L E в силу малости внутреннего сопротивления источника.

После размыкания ключа ток I R практически мгновенно исчезнет. Стремлению к умень-

шению тока через катушку будет противодействовать ЭДС самоиндукции катушки, что приведет к протеканию в образовавшейся замкнутой цепи убывающего со временем тока

I (t) , значение которого в момент размыкания равно Ir E / r . Закон Ома для замкнутой

R, L цепи (рис.14.6),

Рис.14.6.

в которой действует ЭДС самоиндукции Esi L dIdt , приводит к следующему диф-

ференциальному соотношению для I (t) :

(R r)I (t) L dIdt ,

R r

решение которого с учетом начального значения тока в цепи будет I (t) Er e L t .

R r

Напряжение на катушке и резисторе будут одинаковыми и равными U (t) RI (t) E Rr e L t .

Замечание. Напряжение на катушке сразу после размыкания ключа равно U (0) 12

кВ, что в тысячу раз больше напряжения на катушке до момента размыкания, равного

Cохранение магнитного потока в сверхпроводящем контуре

Пример 14.5. Кольцо радиусом a = 5 см из тонкой проволоки индуктивностью

L = 0,26 мкГн поместили в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,5 мТл так, что его плоскость стала перпендикулярной направлению поля. Затем кольцо охладили до сверхпроводящего состояния и выключили магнитное поле. Найдите величину I тока в коль-

це.

197

Решение. После помещения кольца в магнитное поле B магнитный поток, прони-

зывающий его, стал равен ВS В a2 . После того как кольцо охладили до сверхпрово-

дящего состояния и выключили магнитное поле, магнитный поток через кольцо остался неизменным по закону сохранения магнитного потока пронизывающего сверхпроводящий контур. Неизменность потока обеспечивается индукцией электрического тока в кольце.

Равенство первоначального потока потоку порождаемому индукционным током LI опре-

деляет величину I тока в кольце:

I B a2 15 А.

L

Магнитная энергия контура с током

Пример 14.6. Катушка индуктивностью L = 2 мкГн подключена к источнику по-

стоянной ЭДС E = 3 В. Параллельно катушке включен резистор сопротивлением R = 2 Ом

(рис.14.7). Сопротивление провода катушки r = 1 Ом, внутреннее сопротивление источни-

ка пренебрежимо мало. Какое количество теплоты выделится после размыкания ключа K:

а) во всей цепи; б) в катушке.

Рис.14.7.

Решение. После размыкания ключа в замкнутом контуре, состоящем из катушки и резистора, будет циркулировать ток, величина которого будет уменьшаться из-за сопро-

тивлений катушки и резистора, а начальное значение этого тока соответствует току, про-

текающему через катушку в момент отключения источника I E / r . Здесь учтено, что из-

за малости сопротивления источника напряжения на катушке и резисторе до размыкания ключа равнялось ЭДС источника (см. пример 14.4). Работа по протеканию тока после раз-

мыкания ключа обеспечивается ЭДС самоиндукции и равна магнитной энергии, запасен-

ной катушкой на момент размыкания ключа. Количество тепла, выделившегося во всей

выделения тепла на катушке и резисторе с учетом одинаковости величины тока пропор-

198

фициент взаимной индукции имеет вид 1 L12I2 . Сравнивая выражения для потоков, по-

лучаем

L12 0n1n2 S .

Замечание. Такой же результат получился бы для L21 , если рассматривать поток маг-

нитного поля внешнего соленоида B1 0n1I1 , пронизывающий n2 витков внутреннего соле-

ноида 2 B1Sn2 0n1n2 SI1.

Пример 14.9. Тороидальная катушка содержит N = 500 витков провода. Найдите энергию W магнитного поля при токе I = 2 А, если магнитный поток через поперечное се-

чение тора в этом случае Ф = 1 мВб.

Решение. Полный поток, пронизывающий катушку, равен энергия катушки с током равна:

W N I 0,5 Дж.

2

Пример 14.10. Катушка и сверхпроводящий виток, индуктивность которого L, рас-

положены на большом расстоянии друг от друга. В катушке течет постоянный ток I, зада-

ваемый источником, а ток в витке равен нулю. Определите приращение энергии магнит-

ного поля системы после того, как виток медленно переместят в положение, где взаимная индуктивность витка и катушки станет равной L12.

Решение. При приближении сверхпроводящего витка к катушке он попадает в об-

ласть магнитного поля катушки и в нем индуцируется ток I1 , величина и направление ко-

торого должны обеспечивать неизменность магнитного потока пронизывающего виток,

т.е. магнитный поток витка 1 должен оставаться равным нулю:

1 LI1 L12I 0 .

Поэтому величина тока в витке равна I1 L12L I . Начальная магнитная энергия сис-

темы определялась током в катушке W1 Wкат , конечная энергия системы включает помимо энергии катушки (которая не изменилась в силу постоянства тока в ней) собственную

Замечание. Отрицательный знак приращения энергии не позволяет утверждать о самопроизвольности процесса перемещения витка, так как не учтена работа источника по поддержанию тока в катушке.

200