Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

Ток намагниченности «течет» сонаправлено с током I . Его распределение по пло-

r

щади круга радиусом r представляется соотношением I j (r) 2 rdr . Приравнивая эти

0

выражения и дифференцируя обе стороны равенства по r , получаем j (r) J / R2 .

Поле постоянных магнитов

Пример 12.5. Длинный цилиндр диаметром D изготовлен из материала с «заморо-

женной» однородной намагниченностью, направленной по его оси. Индукция в точке А оказалась равной BA = 100 мТл. Найдите индукцию BC в точке С вблизи торца тонкого диска толщиной h , изготовленного из этого цилиндра, если h = 0,05 D (рис.12.9).

Рис.12.9.

Решение. «Замороженное» магнитное поле в магнетике аналогично магнитному полю длинного соленоида, ток в котором равен току намагничивания. Магнитное поле B′

внутри объема магнетика, вдали от торцов связано с его намагниченностью J соотноше-

нием

Для диска вблизи его центра магнитное поле BC определяется током намагничива-

ния, текущим по его ободу:

BC 0 I .

D

I i h Jh , поскольку в стержне и диске намагниченность J считается одинаковой.

Тогда получим

171

Поле электромагнитов

Пример 12.6. На железном сердечнике в виде тора диаметром d = 500 мм имеется обмотка с общим числом витков N = 1000. В сердечнике сделан поперечный зазор шири-

ной b = 1,00 мм (рис.12.10).

Рис.12.10.

При токе в обмотке силой I = 0,85 А напряженность поля в зазоре H = = 600 кА/м.

Определите магнитную проницаемость железа при этих условиях.

Примечание. Рассеиванием линий магнитной индукции пренебречь.

Решение. Согласно теореме о циркуляции вектора H по контуру окружности диа-

метром d запишем:

где H - поле в зазоре сердечника; H m - поле внутри сердечника.

В силу непрерывности и отсутствия рассеяния линий индукции на границе сердеч-

ника и зазора B Bm . Для соответствующих компонент напряженности магнитного поля это дает 0 H 0 Hm . Для величины получим

Пример 12.7. На постоянный магнит, имеющий форму цилиндра (длина l0 = 15 см,

диаметр D = 1 см) намотали равномерно N = 300 витков тонкого провода. При пропуска-

нии по нему тока I = 3,0 А поле вне магнита исчезло. Найдите коэрцитивную силу Hc маг-

нита.

Решение. На рис.12.11 показан цилиндрический стержень 1, на котором намотан соленоид 2. При отсутствии внешнего магнитного поля внутри магнита существует поле

Bост , которое определяется значением его спонтанной намагниченности.

172

Рис.12.11.

Когда магнитное поле соленоида Bсол равно по величине магнитному полю Bост и

противоположно ему по направлению, суммарное магнитное поле равно нулю. Это со-

стояние на кривой намагничивания B(H) соответствует точке B = 0 и H = Hс. Здесь Hс - ко-

эрцитивная сила (рис.12.12).

Рис.12.12.

Длинный соленоид (l0 / D >> 1) при пропускании тока I создает магнитное поле на-

пряженностью H NI / l0 . Откуда следует ответ:

Hc NI / l0 = (300 3) 0,15 6 кА/м.

Магнитная стрелка во внешнем неоднородном поле

Пример 12.8. Компас располагают под проводом на расстоянии

r 0,1 м от оси провода. Найдите значение тока I, при котором стрелка компаса поднимется

над своим шпеньком (рис.12.13,а). Остаточная индукция стали стрелки равна 2 Тл.

Плотность стали 7,8 103 кг/м3. Магнитным полем Земли и размерами стрелки по сравне-

нию с r пренебречь, а саму стрелку можно представить длинным цилиндрическим стерж-

нем.

173

Рис.12.13.

Решение. При пропускании тока в проводе магнитная стрелка разворачивается и устанавливается вдоль линий индукции в перпендикулярном направлении относительно

проводника. В этом случае на магнитную стрелку со стороны неоднородного магнитного

поля тока действует сила Fm , направленная вертикально вверх (см. рис.12.13,а).

Магнитная сила, действующая на стрелку Fm , определяется как сила, действующая на магнитный момент:

- производная магнитного поля проводника в направлении магнитного момента стрелки,

направленная, как и сила, вертикально вверх (рис.12.13,б).

Для поднятия стрелки относительно шпенька магнитная сила должна быть больше

или равной силе тяжести стрелки Fm Fg mg , или

175

13.Электромагнитная индукция

13.1.Закон электромагнитной индукции.

Правило Ленца

В 1831 г. Фарадей открыл одно из наиболее фундаментальных явлений в электро-

динамике - электромагнитную индукцию: в замкнутом проводящем контуре при измене-

нии магнитного потока через поверхность, опирающуюся на этот контур, возникает элек-

трический ток (индукционный ток). Индукционный ток имеет такое направление, что он препятствует изменению магнитного потока через данный проводящий контур. Эту зако-

номерность называют правилом Ленца.

Появление индукционного тока означает, что при изменении магнитного потока в контуре возникает ЭДС (ЭДС индукции) Ei . Фарадей установил, что ЭДС индукции не за-

висит от того, каким способом осуществляется изменение магнитного потока: изменяется площадь контура, его ориентация в магнитном поле или изменяется во времени магнитное поле, пронизывающее неподвижный контур. Во всех случаях

i dt

где Ф - магнитный поток через контур. Формула (13.1) выражает закон электромаг-

нитной индукции и «автоматически» учитывает правило Ленца. При использовании (13.1)

направление нормали к поверхности, ограниченной контуром, можно выбирать произ-

вольно, а направление обхода контура должно быть связано с направлением нормали пра-

вилом правого винта (рис.13.1).

Рис.13.1.

Тем самым определены и знак магнитного потока, и «направление» ЭДС индукции в контуре.

13.2. Природа электромагнитной индукции

Следует выделить два существенно различных случая.

Случай 1. Магнитное поле не зависит от времени, магнитный поток изменяется из-

за движения проводящего контура в магнитном поле. Возбуждение индукционного тока в

176

этом случае объясняется действием силы Лоренца на носители тока в проводнике, и фор-

мулу (13.1) можно вывести из известных законов электричества и магнетизма.

Случай 2. Магнитное поле зависит от времени, контур покоится. Магнитная сила действует только на движущиеся носители заряда. Поэтому, когда проводник неподвижен,

этой силы не возникает. Известные законы электричества и магнетизма не могут объяс-

нить возникновение индукционного тока в этом случае. Нужны новые фундаментальные принципы.

Такой новый фундаментальный закон электромагнетизма открыл Максвелл. Он предположил, что всякое переменное магнитное поле порождает в окружающем про-

странстве поле электрическое. Это электрическое поле и является причиной возникнове-

ния индукционного тока в неподвижном проводнике. Максвеллу принадлежит следующая формулировка закона электромагнитной индукции: всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Циркуляция век-

тора напряженности этого поля по любому неподвижному замкнутому контуру определя-

ется выражением

где Ф - магнитный поток, пронизывающий контур.

Символ частной производной в формуле (13.2) отражает тот факт, что контур и опирающаяся на него поверхность неподвижны. Электрическое поле, циркуляция которо-

го по замкнутому контуру отлична от нуля, называется вихревым. Оно не потенциально и его силовые линии являются замкнутыми кривыми.

Формула (13.2) выражает фундаментальный закон электромагнитной индукции, ко-

торый нельзя вывести из других законов электричества и магнетизма. Он является, по су-

ществу, обобщением экспериментальных фактов.

13.3.Закон электромагнитной индукции

вдифференциальной форме

Закон электромагнитной индукции (13.2) можно представить в дифференциальной

форме:

B . (13.3) rotE

t

В общем случае электрическое поле может состоять из электростатического поля и поля, обусловленного изменяющимся во времени магнитным полем. Поскольку циркуля-

177

ция электростатического поля равна нулю, то уравнения (13.2), (13.3) справедливы и в та-

ком общем случае.

Примеры решения задач

Движение проводника в постоянном магнитном поле

Пример 13.1. В однородном магнитном поле с индукцией B расположен П-

образный проводник, плоскость которого перпендикулярна вектору магнитной индукции.

По проводнику со скоростью V перемещают поступательно, как показано на рис.13.2, же-

сткую проводящую перемычку. В каких случаях ЭДС индукции в замкнутом контуре рав-

на |Ei | BVl ?

Рис.13.2.

Решение. Способ 1. При движении проводника площадь рамки увеличивается, маг-

нитный поток сквозь рамку возрастает, а значит, согласно закону Фарадея в рамке должна при этом действовать ЭДС индукции

Ei ddt .

Выбрав нормаль к плоскости контура в направлении вектора B , тем самым задавая направление положительного обхода (рис.13.3), найдем изменение магнитного потока, ко-

торое для всех случаев равно:

, d (B,dS) (B,ndS) BdS

где dS - площадь заметаемой поверхности.

Рис.13.3.

178

.

Ei,x VB(ex ,l12 ) VBl12,x

Рис.13.4.

ЭДС индукции не зависит от конфигурации жесткой перемычки, а определяется проекцией замыкающего ее концы вектора на направление оси X.

Для всех трех случаев ЭДС индукции в замкнутом контуре будет равна:

Ei BVl ,

что совпадает с результатом, полученным ранее при решении данной задачи.

Пример 13.2. На горизонтальном столе в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией B лежат, пересекаясь, две металлические линейки. По линейкам пере-

мещают тонкий стержень с постоянной скоростью V, перпендикулярной стержню

(рис.13.5). Длина стержня L, сопротивление между концами стержня R, сопротивление линеек и контактных областей пренебрежимо мало. Найдите протекающий по стержню ток.

Рис.13.5.

Решение. Введем нормаль к поверхности, натянутой на контур, по направлению

поля B , задавая тем самым направление положительного обхода контура (рис.13.5). Тогда магнитный поток сквозь эту поверхность будет равен:

.