Физика первый семестр / Ресурсы / Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

Объемная плотность энергии магнитного поля

Пример 14.11. По прямому длинному тонкому проводу, расположенному в вакуу-

ме, течет постоянный ток I. Определите энергию W магнитного поля, локализованную внутри коаксиального с проводом цилиндрического слоя с внутренним радиусом r1,

внешним радиусом r2 и высотой h.

Решение. Магнитное поле, создаваемое током в точках, удаленных на расстояние r

ления поля, а значит и плотности энергии, для магнитной энергии, сосредоточенной в ци-

«Энергетический» метод расчета индуктивности

Пример 14.12. Найдите индуктивность L1 единицы длины кабеля, представляюще-

го собой два тонкостенных коаксиальных металлических цилиндра, если радиус внешнего цилиндра в = 3,6 раза больше внутреннего. Магнитную проницаемость среды между ци-

линдрами считать равной единице.

Решение. Если по коаксиальным металлическим цилиндрам пропустить ток I (на-

правление тока по внутреннему и внешнему цилиндрам противоположно), то магнитное

для магнитной энергии, которые должны иметь одинаковую величину для любых токов,

дает

L1 20 ln 2,6 10 7 Гн/м.

201

15.Система уравнений Максвелла

15.1.Плотность тока смещения

Явление электромагнитной индукции, открытое М. Фарадеем, явилось подтвер-

ждением его идеи объединения электрических и магнитных полей в единое электромаг-

нитное поле. Теоретическое обоснование этой идеи получило воплощение в трудах Дж.

Максвелла, который получил систему уравнений, описывающих фундаментальные свой-

ства электрических и магнитных полей в их взаимосвязи. При обобщении уравнений элек-

тромагнитного поля в вакууме на случай переменных полей Максвелл обнаружил, что

теорема о циркуляции магнитного поля требует принципиального уточнения. Действи-

тельно, в соответствии с этой теоремой электрический ток сквозь поверхность ( j, dS )

S

должен быть одинаковым для любых натянутых на контур поверхностей. Однако если за-

ряд в объеме между выбранными поверхностями S1 и S2 (рис.15.1) меняется, то это ут-

верждение вступает в противоречие с законом сохранения заряда.

Рис.15.1.

На рис.15.1 ток через поверхность S1 равен: I dqdt , а ток через поверхность S2

(проходящую между обкладками) равен нулю. Чтобы снять указанное противоречие,

Максвелл связал величину тока с изменением электрического заряда в объеме между по-

верхностями S1 и S2 соотношением, выражающим закон сохранения заряда:

Используя это соотношение, теорему о циркуляции магнитного поля напряженно-

сти по произвольному контуру можно обобщить и представить в виде потока через произ-

вольную поверхность S , натянутую на этот контур:

S

202

Уравнение (15.1) описывает явление электромагнитной индукции Фарадея, (15.2) -

обобщение теоремы о циркуляции магнитного поля на случай меняющихся со временем полей, (15.3) - описывает свойства зарядов как источников электрических полей, (15.4)

отражает факт отсутствия магнитных зарядов в природе. Эта система уравнений служит для определения четырех величин и должна быть дополнена материальными уравнениями связи между ними. Для изотропных линейных сред эти соотношения, харак-

теризующие электрические и магнитные свойства среды, имеют вид:

Отметим основные фундаментальные свойства уравнений Максвелла.

1. Линейность уравнений Максвелла, отражающая принцип суперпозиции электри-

ческих и магнитных полей.

2. Уравнения Максвелла включают в себя закон сохранения электрического заря-

да.

3. Уравнения Максвелла справедливы во всех инерциальных системах. Вид урав-

нений не меняется при переходе от одной инерциальной системы к другой, однако вели-

чины, входящие в них, преобразуются по определенным правилам.

4. Уравнения Максвелла совместно с уравнением движения заряженных частиц под

ний для описания всех электромагнитных явлений, за исключением тех, в которых прояв-

ляются квантовые эффекты.

Упражнение 15.1. Внутренней обкладке идеального сферического конденсатора,

заполненного однородной положительной средой, сообщили положительный заряд. Элек-

трические токи, текущие в радиальных направлениях, должны возбуждать магнитное по-

ле. Найдите величину B в произвольной точке внутри конденсатора.

Решение. В силу сферической симметрии электрических свойств конденсатора в

процессе разрядки вектор магнитной индукции B не может иметь радиальную состав-

ляющую. В противном случае поток вектора B через поверхность сферы S (рис.15.2) был бы отличен от нуля, что противоречит четвертому уравнению Максвелла.

Рис.15.2.

204

Данный результат показывает, что линии поля плотности токов смещения геомет-

рически подобны линиям поля напряженности точечного электрического диполя. Источ-

ником и стоком линий является сам движущийся заряд (рис.15.4).

Рис.15.4.

Упражнение 15.3. Электрический ток I, текущий по прямолинейному полубеско-

нечному проводнику, создает в окружающем пространстве магнитное поле,

линиями которого являются окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных току,

а центры окружностей лежат на оси вдоль проводника (рис.15.5). Покажите, что для кру-

гового контура радиусом r, лежащего в торцевой поверхности проводника, теорема о циркуляции справедлива для полусферических поверхностей S1 и S2 . Определите вели-

чину индукции в точках контура.

левой части выражения учтено, что контур совпадает с линией индукции, в правой части

I S - электрический ток, пронизывающий поверхность S , опирающуюся на контур , S -

206

поток поля смещения, пронизывающий эту поверхность. Для определения потоков введем

Протекание электрического тока по полубесконечному проводнику будет приводить к на-

коплению заряда dq(t) Idt на его конце, которое будет сопровождаться возникновением сферически симметричного поля смещения. Поток поля смещения через замкнутую сфе-

рическую поверхность радиусом r равен q , поэтому потоки через правую - S1 и левую -

S2 полусферы равны по модулю и противоположны по знаку 1 2 q / 2 , так как для

Таким образом, независимо от выбора поверхности, натянутой на контур, теорема

о циркуляции поля индукции остается справедливой, а величина индукции магнитного поля равна: B 0 I / 4 r .

Примеры решения задач

Магнитоэлектрическая индукция: процесс разрядки конденсатора

Пример 15.1. а) Заряженный плоский конденсатор, состоящий из двух одинаковых дисков площадью S, разряжается через внешний проводник. Найдите индукцию магнит-

ного поля внутри конденсатора как функцию расстояния до его оси, если сила тока в рас-

сматриваемый момент равна I.

б) Заряженный плоский конденсатор, состоящий из двух одинаковых дисков пло-

щадью S, разряжается однородно через проводящую среду между обкладками. Найдите индукцию магнитного поля внутри конденсатора как функцию расстояния до его оси.

207

Решение. а) Величина тока во внешней цепи равняется скорости уменьшения заря-

да пластин: I dqdt (рис.15.6).

Рис.15.6.

Поток вектора электрического поля через вспомогательную поверхность SГ радиу-

сом r , порождаемый зарядом на обкладках, также будет меняться со временем:

q(t) r 2 .

S 0

Вспомогательная поверхность SГ представляет собой круг, ограниченный контуром Г - окружностью радиусом r. Плоскость этого круга параллельна обкладкам конденсатора и находится между ними; S - площадь обкладки конденсатора. Скорость изменения этого

тром на оси конденсатора, и принимая саму окружность за контур Г для подсчета цирку-

ляции, а также учитывая отсутствие токов проводимости (внутри конденсатора), найдем

и окончательно:

B(r) 0 I r .

2S

Знак «минус» в последнем выражении указывает на то, что направление линий по-

ля B противоположно положительному направлению обхода контура Г. Таким образом,

ток смещения внутри конденсатора как бы замыкает ток проводимости вне конденсатора,

причем магнитное поле такое же, как и порождаемое током проводимости величиной I,

текущим по проводнику площадью сечения S.

б) Если между обкладками находится проводящая среда, то конденсатор будет раз-

ряжаться и при отсутствии внешней цепи. Циркуляция магнитного поля в этом случае оп-

ределяется не только изменением потока электрического поля, который количественно описывается аналогично предыдущему случаю, но и током проводимости. В результате

т.е. конденсатор разряжается так, что магнитное поле не возникает в силу того, что

ток проводимости и ток смещения компенсируют друг друга.

Пример 15.2. Покажите, что в типичных металлах, например в меди (проводимость

6,3 107 См/м), плотность тока смещения мала по сравнению с плотностью тока прово-

димости. Оценку проведите для частоты тока 103 МГц (дециметровый диапазон волн) и

значения =1000. Понятие диэлектрической проницаемости металлов имеет смысл только

для переменных полей и величина измеряется при отражении волн.

Решение. В металлах плотность тока включает в себя плотность тока проводимо-

сти и плотность тока смещения:

величины которых для переменного поля E Em sin 2 t равны: jпров E Em sin 2 t ,

jсмещ D 0 E 0 2 Em cos 2 t .t t

Отношение амплитудных значений токов смещения и проводимости равно:

jjсмещ 2 0 / 9 10 7 .

пров

Ввиду столь малого отношения амплитуд токов смещения и проводимости влияни-

ем токов смещения в металлах можно пренебречь для всех частот, применяемых в техни-

ке, вплоть до инфракрасных частот.

Пример 15.3. Плоский конденсатор, представляющий две круглые соосные пла-

стины, заряжают постоянным током I, направление которого показано на рис.15.7. Замк-

нутая поверхность S охватывает одну из пластин. Найдите величины:

Рис.15.7.

Решение. а) Ток проводимости I втекает в замкнутую поверхность S по проводни-

ку, поэтому поток плотности тока проводимости равен:

( jпров, dS ) I .

S

209

б) Поток плотности тока смещения

Здесь применялись теорема Гаусса для потока поля электрического смещения и за-

кон изменения заряда внутри S, т.е. заряда обкладки.

в) Используя выражение для потоков в случаях а) и б), получаем

Пример 15.4. Пространство между двумя концентрическими металлическими сфе-

рами заполнено слабо проводящей средой с удельным сопротивлением и диэлектриче-

ской проницаемостью . В некоторый момент времени заряд на внутренней сфере равен q . Найдите: а) связь между векторами плотностей токов смещения и проводимости в каж-

дой точке среды; б) ток смещения в данный момент времени через произвольную поверх-

ность в среде, охватывающую внутреннюю сферу.

Решение. а) Так как среда проводящая, возникнут токи проводимости в радиаль-

ном направлении, плотность которых j (рис.15.8). Токи проводимости будут порождать

магнитное поле. Вектор B этого поля не может иметь радиальной составляющей. Если она существует, то ее величина одинакова во всех точках сферической поверхности S ,

концентрической с поверхностью шара, и поток поля индукции через эту поверхность от-

личен от нуля. Следовательно, вектор поля индукции B должен быть перпендикулярен к радиальному направлению, а так как в силу сферической симметрии эти направления рав-

ноправны, то этот вектор может иметь только нулевую величину в любой точке простран-

ства (это справедливо и для поля напряженностью H ).

Рис.15.8.

210