Добавил:

lightcharm github.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Физика

Файл:

Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА

.pdf

Скачиваний:

131

Добавлен:

30.09.2023

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2315 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

B 0 I sin 2 sin 1 . 4 x

1. Поле бесконечного проводника с током:

				B		I
		,			0	sin

1	2	2	2
					4 x

			0 I	.
	sin

2			2 x
		2

2. Поле полубесконечного проводника с током:

1		, 2 0	B1	0 I
	2			4 x

			0 I	.
sin 0	sin			.
			4 x
		2	4 x

3. Поле отрезка в точке, лежащей на перпендикуляре, восстановленном из середи-

ны отрезка:

	2	B	0 I sin	2	sin	2	0 I sin	2	.
1	2	1	4 x	2		2	2 x	2
			4 x				2 x
Пример 10.3. По двум длинным проводам,					находящимся на расстоянии r друг от

друга в вакууме, идут в противоположных направлениях токи силой I1 I2 I . Определи-

те индукцию магнитного поля в точке А, находящейся на прямой, соединяющей эти токи

на расстоянии r1	от одного провода.
Решение. Согласно принципу суперпозиции магнитная индукция в точке А равна:

		BΑ B1	B2 ,

где B1 и	B2	- векторы магнитной индукции, создаваемые в данной точке токами I1

и I2 соответственно.

Направления векторов магнитной индукции в точке А определим по правилу пра-

вого винта. Как видно из рис.10.12, векторы B1 и B2 имеют одинаковое направление,

Рис.10.12.


поэтому модуль вектора	BΑ равен сумме модулей векторов					B1	и	B2	:
	B	Α	B B 0 I1		0 I 2 .
		Α	1 2	2 r1	2 r2
				2 r1	2 r2
			141

Учитывая, что r2 r r1	и I1 I2 I , получаем
			0	I	1	1
	BΑ		0				.
	BΑ					r r	.
		2 r				r r
					1	1

Комбинированные задачи

Пример 10.4. По круговому витку радиусом R течет ток I2 . Через точку на перпен-

дикуляре, восстановленном из центра витка, проходит бесконечно длинный провод с то-

ком I1 параллельный плоскости витка. Расстояние от центра витка до провода d . Опреде-

лите магнитную индукцию в центре витка.

Решение. Направления векторов магнитной индукции B1 и B2 , создаваемых током в проводе и током в витке, в центре витка определим по правилу правого винта

(рис.10.13).

Рис.10.13.

Согласно принципу суперпозиции магнитная индукция в центре витка:

B1 B2 .

Из взаимной перпендикулярности векторов B1 и

, следует что

B2 .

Зная, что магнитное поле прямого проводника с током равно B 0 I1

, а магнитное

2 d

поле в центре витка с током - B 0 I2

, получаем искомую величину магнитной индук-

ции:

I 2

B B2

2 d 2

2R 2

Пример 10.5. Длинный проводник с током I изогнут так, как показано на рис.10.14.

Радиус изогнутой части проводника R, прямолинейные участки проводника предполага-

ются очень длинными. Найти индукцию магнитного поля B в точке 0.

142

Рис.10.14.

Решение. Для случая на рис.10.14,а выделим в проводнике три части: две полубес-

конечные (1 и 3) и полукольцо (2) (рис.10.15).

Рис.10.15.

Согласно принципу суперпозиции магнитная индукция в точке 0 равна:

B2 B3 .

Векторы B1 ,

B3 направлены вдоль одной прямой, причем векторы

B1 и

со-

направлены, а вектор

направлен противоположно им. Поэтому модуль вектора

ра-

вен:

B0 B1 B2 B3 .

Части 1 и 3 являются полубесконечными проводниками с токами, поэтому для рас-

чета их полей воспользуемся результатом примера 10.2:

B B

0 I

4 R

Часть 2 является полукольцом, поэтому согласно результату примера 10.1 магнит-

ная индукция поля в центре полукольца будет равна:

0 I

0 I .

2 2R

Результирующее поле B0 равно:

B B B B 0 I .

143

Для случая на рис.10.14,б выделим в проводнике три части: две полубесконечные

(1 и 3) и полукольцо (2) (рис.10.16).

Рис.10.16.

Согласно принципу суперпозиции магнитная индукция в точке 0:

B3 .

Векторы

показаны на рис.10.16. Векторы

в точке 0 направлены

в отрицательном направлении оси Z, поэтому вектор B1

+ B3

также будет иметь то же на-

правление, а его величина равна сумме модулей этих векторов. Обе части 1 и 3 являются

полубесконечными проводниками с токами, поэтому для расчета

+ B3 воспользуемся ре-

зультатом примера 10.2:

0 I

4 R

2 R

Часть 2 является полукольцом, поэтому согласно результату примера 10.1 вектор

магнитной индукция поля в центре полукольца будет равен:

1 0 I

0 I

2 2R

и направлен вдоль отрицательного направления оси X.

Поскольку направления векторов B1

B2 взаимно перпендикулярны, для ре-

зультирующего поля получим

0 I

B (B B )2 B2

4 2

4 R

Пример 10.6. Ток I течет по длинному прямому проводнику, сечение которого имеет форму тонкого полукольца радиусом R. Найдите индукцию магнитного поля на его оси в точке 0.

Решение. Разобьем проводник на тонкие нити, ориентированные вдоль оси про-

водника с током dI . Тогда согласно результату примера 10.2 магнитное поле каждой та-

кой нити в точке 0 равно:

144

dB 0dI ,

2 R

а направление поля отдельной нити показано на рис.10.17. Множество векторов dB

, порождаемых токами во всех нитях, представляется веером векторов (см. рис.10.17).

Рис.10.17.


Из симметрии векторов dB относительно оси X следует, что результирующий век-
тор будет направлен вдоль оси X. Для нахождения модуля вектора										согласно принципу
									B	согласно принципу

суперпозиции необходимо сложить проекции векторов						dB на ось X. Каждая такая проек-
ция имеет вид
dB	dB sin			0	sin dI .
dB	dB sin				sin dI .
x				2 R
				2 R
Учитывая, что dI (I / ) d , проинтегрируем последнее выражение по углу											и
найдем индукцию магнитного поля на оси:
		0 I					0 I
B dB		0 I					0 I
			sin d					.
		2 2 R	sin d				2 R	.
0	0

Пример 10.7. Длинный прямой соленоид имеет радиус сечения R и число витков на единицу длины n. По соленоиду течет постоянный ток i. Найдите индукцию магнитного поля на оси как функцию координаты x, отсчитываемой вдоль оси соленоида от его торца.

Изобразите примерный график зависимости индукции B от x.

Решение. Будем считать, что шаг винтовой линии провода соленоида мал по срав-

нению с радиусом витка. Тогда магнитное поле соленоида можно рассматривать как ре-

зультат сложения полей, создаваемых круговыми токами, имеющими общую ось.

Величина индукции магнитного поля в некоторой точке A на оси кругового тока i

радиусом R (рис.10.18)

Рис.10.18.

145

определяется выражением

B1	0	iR2	,
	2	r3

которое можно получить, воспользовавшись законом Био - Савара и принципом
суперпозиции (см. пример 10.1), где r - модуль вектора
				r , определяющего положение
точки A.
Если соленоид имеет длину l и содержит N витков, то малая часть соленоида дли-

ной dl (рис.10.19,а) содержит (N / l)dl витков и может рассматриваться как круговой ток величиной di i(N / l)dl . С учетом того, что dl sin φ rdφ (рис.10.19,б, dφ - бесконечно малое

приращение угла φ ), получим для индукции магнитного поля в точке А на оси такого

«элементарного» соленоида

dB 0 R2nidφ ,

2 r 2 sin φ

где n N / l - число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Так как

R r sin φ , то выражение для dB примет вид

dB 20 insin φdφ .

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от φ1 до /2 (рис.10.19,в), по-

лучим индукцию магнитного поля в точке A1 , лежащей на торце соленоида:

B	0in	cos φ1	0in	l	.
	2		2	l 2 R2

Рис.10.19.

146

Магнитное поле в произвольной точке A, лежащей на оси соленоида внутри него,

может быть вычислено как сумма полей, создаваемых					соленоидами С1 и С2 (см.
рис.10.19,в), а в точке A', лежащей вне соленоида, магнитное поле равно разности полей,
создаваемых соленоидами С3 и С4 . В результате получим
	0ni	l x		x
B						,
B						,
	2	l x 2 R2		x2 R2

где 0 x l для точек на оси вне соленоида и			l x 0 - внутри соленоида. Из по-

следнего выражения следует, что в центре соленоида ( x l / 2 ) индукция магнитного поля равна:

B0		0 ni	.

	1 (2R / l)2
	1 (2R / l)2

Примерный график зависимости индукции B от x представлен на рис.10.20.

Рис.10.20.

Пример 10.8. При помощи закона Био - Савара и принципа суперпозиции вычис-

лите индукцию магнитного поля тока I, протекающего по замкнутому контуру, в точке A,

расположенной на большом расстоянии r от контура. Рассмотреть случаи: а) контур -

прямоугольник со сторонами a, b << r, точка A лежит на прямой, проходящей через центр прямоугольника, перпендикулярно его плоскости; б) контур - прямоугольник со сторона-

ми a, b << r, точка A лежит на прямой, проходящей через середины противоположных сторон прямоугольника; в) контур - квадрат со стороной a << r, точка A лежит на прямой,

проходящей через центр квадрата и одну из его вершин.

Решение. а) Представим рамку с током в виде элементов тока 1, 2, 3, 4 (рис.10.21,а). Тогда согласно принципу суперпозиции магнитное поле в точке А, созда-

ваемое всеми четырьмя элементами, равно:


				B B1 B2 B3			B4 .
Найдем поле, создаваемое параллельными элементами тока 2 и 4. Векторы полей
индукции элементов		и		, а также их сумма		показаны на рис.10.21,б.
индукции элементов	B2	и	B4	, а также их сумма	B24	показаны на рис.10.21,б.

147

Рис.10.21.

Из рис.10.21,б

видно, что (B2 , B4 , B24) подобен геометрическому треугольнику

(2, A, 4) . Поэтому

B24

r 2 a2 / 4

где согласно закону Био - Савара

B2 B4

0 Ib

r 2

/ 4

Откуда модуль результирующего вектора

равен:

B24

0 I

(r 2 a2 / 4)3 / 2

Аналогично найдем модуль вектора

B13

0 I

(r 2 b2

/ 4)3 / 2

Векторы

B24 и

B13 сонаправлены,

поэтому вектор, полученный в результате их

суммы, будет иметь то же направление, а его величина равна сумме модулей этих векто-

ров

0 I

B B12 B24

/ 4)3 / 2

(r 2 b2 / 4)3 / 2

(r 2 a2

Проанализируем полученное выражение для случая r >> a, b , которое после пре-

образований примет вид

0 I

ab(1/ r3

1/ r3 )

2 0 pm

4 r3

где pm I[a,b] - магнитный момент.

Искомый вектор магнитной индукции в точке A представим векторным соотноше-

нием в виде

4 r3

148

б) Аналогично случаю а) представим рамку с током в виде элементов тока 1, 2, 3, 4 (рис.10.22,а). Тогда согласно принципу суперпозиции магнитное поле в точке А, созда-

ваемое всеми четырьмя элементами тока, равно:


			B B1 B2			B3	B4 .

Векторы магнитной индукции			B2	и	B4 , создаваемые параллельными элементами
тока 2 и 4, а также их сумма		показаны на рис.10.22,б.
тока 2 и 4, а также их сумма	B24	показаны на рис.10.22,б.

Рис.10.22.

Векторы B2 и

лежат на одной прямой,

но имеют противоположные направле-

ния, поэтому вектор

B2 B4

будет иметь то же направление,

что и

B4 . Поскольку элемент

тока 4 расположен ближе к точке А, то

B24 B4

0 Ib

a / 2)2

(r a / 2)2

0 Ib 2ra

2 0 Iab

4 (r 2 (a / 2)2 )2

4 r3

На рис.10.22,в (вид сверху) показаны векторы магнитной индукции

и B3 , созда-

ваемые

элементами

тока

1 и

также

их

сумма

Учитывая,

что

r b

r2 (b / 2)2 , получаем

0 I[a, r3 ]

0 I[ a, r1]

4 r3

0 I

0 I[a, b ]

a, r3

(b / 2)

Представив направления векторов

на рис.10.22,г,

B13

B24

149

Рис.10.23.

найдем результирующее магнитное поле, создаваемое рамкой с током в точке А в

этом случае:

B B24	B13	2 0 Iab		0 Iab		0 Iab	,
B B24	B13	4 r3		4 r3		4 r3	,
		4 r3		4 r3		4 r3
или в векторном виде

			0 pm		.
	B		0 pm
	B
			4 r3

в) Согласно принципу суперпозиции магнитное поле в точке А создается всеми че-

тырьмя элементами и равно:


B B1		B2	B3	B4 .

Покажем направления векторов магнитной индукции, создаваемых каждым из эле-

ментов тока на рис.10.23, проводя вектора r из начала каждого элемента.

Воспользовавшись законом Био - Савара, найдем магнитную индукцию в точке A,

создаваемую элементами тока 1 и 3:

B1			0 I			a sin( / 4)
B1				4			r 2
				4			r 2
							1
	0 I				a sin( / 4)			,
		4				r 2		,
						1

				B3	0 I	a sin( / 4)	.
				B3	4	r 2	.
					4	r 2
						3
Так как r1 r3 , а векторы		и		имеют противоположные направления, то
Так как r1 r3 , а векторы	B1	и	B3	имеют противоположные направления, то

				B13	B1 B3 0 .

Аналогично найдем магнитную индукцию, создаваемую в данной точке элемента-

ми тока 2 и 4:

B2	0 I	a sin( / 4)	,
	4	(r c)2

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2315 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Ресурсы

#
30.09.20233.59 Mб80Горбатый Овчинников Задачник.pdf
#
30.09.202313.23 Mб311Лабы Механика СПИРИДОНОВ.pdf
#
30.09.20231.32 Mб61Лабы Электричество и Магнетизм ГОРБАТЫЙ.pdf
#
30.09.2023898.58 Кб121ОВЧИННИКОВ Механика и Молекулярная физика.pdf
#
30.09.20237.08 Mб44Физика Макросистем ИРОДОВ.pdf
#
30.09.20235.29 Mб131Электричество и Магнетизм Пособие для ср ЖАРИНОВА.pdf