Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1200

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 327 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Уравнения первого порядка

108 (4008). Найтилинию, длякоторойплощадь, заключеннаямеждуосью абсцисс, линиейидвумяординатами, однаизкоторыхпостоянная, адругая

– переменная, равна отношению куба переменной ординаты кпеременной абсциссе.

Решение

Поусловию ∫ y dx =

. Дифференцируемобечастиравенствапоx:

y =

3y2 y′ x − y3

= 3y y′ x − y2

= 3

y′ ;

= U ,

y′ = U ′ x + U , 1 + U 2 = 3 U U ′ x + 3 U 2

1 − 2 U 2 = 3U U ′ x ;

3U dU

−

1− 2U 2

= ln

C x

= C x ;

(1− 2U 2 )3

1− 2 U 2

= C4

−

x2 = (2 y2 − x2 )3

(x2 − 2 y2 )3

C14

(2 y2 − x2 )

= Cx

−

= C .

109 (4009). Найти линию, для которой площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, двумя ординатами и дугой MM ′ этой линии, пропорциональна дуге MM ′ при любом выборе точек M и M ′.

Решение

Поусловию

∫x	y dx = k S , S = M M ′ .	(1)
a

От обеих частей (1) берем производную по x:

dS	или y = k 1 + y	′2		y	′		y2	−1	k dy	= dx
y = k dx	или y = k 1 + y			y		=	k 2	−1	y2 − k 2	= dx

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

k ln y + y2 − k 2 =x + C

y + y2 − k 2

= C

ex / k (C

= eC1 / k ); y2 − k 2

= C22 e2x / k − 2 y C2 ex / k + y2

y =

C2 ex / k +

k 2

a ex / k + b e−x / k

e−x / k или

y =

– цепная

M ′

x x

линия

a = C

, b =

110 (4010). Найти линию, для которой абсцисса центра тяжести криволинейнойтрапеции, образованнойосямикоординат, прямойx = a илинией, была бы равна 3а/4 при любом а.

Решение

			∫a	xy dx			3
Абцисса центра тяжести	x	=	0		, где x	=		a по условию.
Абцисса центра тяжести	x	=	a		, где x	=		a по условию.
	c		a		c		4
			∫ y dx				4
			∫ y dx
			0

После замены a на x в верхнем пределе интегрирования и дифференцированияимеем

x ∫ y dx = ∫ x y dx

∫ y dx +

= xy.

Еще раз дифференцируем последнее равенство:

y +

xy′

= y + xy′

2 y = xy′

; y = Cx2 – параболы.

111 (4011). Найти линию, все касательные которой проходят через данную точку (х0; у0).

Уравнения первого порядка

Решение

Уравнение любой касательной к искомой линии есть Y − y =

= y′ (X − x);

точка (х0; у0) принадлежит касательной. Тогда y − y0 =

= y′ (x − x )

y − y

= ln

x − x

+ ln

;

y0 − y

x0 − x

y − y0 = C (x − x0 ) .

112 (4012). Найтилинию, проходящуючерезначалокоординат, всенормали к которой проходят через данную точку (х0; у0).

Решение

Поусловию

Y − y = −

(X − x), точка(х ; у ) принадлежитнормали.

y′

Тогда y0 − y = −

(x0 − x)

( y − y0 ) = −(x − x0 ) dx ;

( y − y0 )2

y′

= −

(x − x0 )2

; x2 + y2 = 2 (xx0 + yy0 ) – уравнениеокружностис

центром в точке (х0; у0).

113 (4013). Какая линия обладает следующим свойством: угол, составляемый c осью Ox касательной к линии в любой ее точке, вдвое больше угла, который составляет с той же осью полярный радиус точки касания.

Решение

tg α =

tg β

= y′ ; α

= arctg

, β = arctg y′ ; 2 α = β

2 arctg

= arctg y

′

;

2 arctg

= tg (arctg y )

M(x,y)

2 tg

arctg

= y′ или

2 x

= y′.

1 − tg

arctg

1 − x2

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Пусть

=U ,

y′ = U ′ x + U ,

= U ′ x +U

, U ′ x (1 − U 2 ) =

1−U 2

BU + C

= U (1+U 2 ) ; ∫

dU = ∫

;

U (1+U 2 )

1+U 2

U 2

A + B = −1,

1 − U 2 = A + AU 2 + BU 2 + CU ; U

C = 0,

B = −2 ;

∫

− ∫

2 U dU

= ∫

U 0

A =1

+ ln

; ln

− ln (1 + U 2 )= ln

;

1 +U

Cy = x2 + y2

C 2

= x

или

+ y −

– окружности

x2 + y2

с центром на оси Oy, касающиеся оси Ox.

114 (4014). На тело массы m = 1 действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности равен k1). Кроме того, тело испытывает противодействие среды, пропорциональное скорости тела (коэффициентпропорциональностиравенk2). Найтизакондвижениятела (зависимость пути от времени).

Решение

Px = 0 ;

= k ti ,

= −k

; Fx = k1 t ,

= −k

V ; mW

= m dV , m = 1

V ′ = k t − k

V ; V = pq ,

p′q + q′ p = k t − k

pq , p′q + p (q′

+ k

q) = k t

;

q′ + k

q = 0

= −k

q = e−k2

t ;

e−k2

t = k t

R M F

p = k1 ∫t ek2 t dt ;

dp = k1 t ek2 t dt

Уравнения первого порядка

				= ek2 t dt, dU1					1
t = U1	, dV1						= dt, V1 =		1
t = U1	, dV1						= dt, V1 =		k2
									k2
V = pq =		k1	t −		k1	+ C e−k2 t; V =		dS
V = pq =			t −			+ C e−k2 t; V =
		k2			k22	1		dt
		k2			k22			dt

			k			k		k	t
ek2 t	;	p =	1	t ek2	t −	1	e	2		+ C1;
ek2 t	;	p =		t ek2	t −	2	e			+ C1;
			k2			k2

S = ∫V dt + S0;

		+ Ce−k2 t −	k		k	t2		C
S = S	0		1	t +	1		C = −	1	.
S = S			2	t +			C = −		.
			2		2 k2			k2
			k2		2 k2			k2

115 (4015). Частица падает в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости частицы. Показать, что уравнение движения

будет dVdt = g − kV 2 , где k – постоянная, g – ускорение силы тяжести.

Проинтегрироватьэтоуравнениеипоказать, чтоV стремитсяк

при

t →

+∞ .

Решение

= −k V 2i

; m

= P

+ R

= mg − k V 2

= mg

= g − kV 2 (k = k / m);

= dt

1 V

= t dt tg =

g − kV 2

g ∫

1 −

∫

1 +

= 1 g ln

;

= e2 kg t

1 +

V =

1 −

e2 kg t

−1

∞

2 kg t

= e

−

V =

; lim V =

2 kg t

t →

∞

V g

g .

= lim

t →

∞

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

116 (4016). Сила трения, замедляющая движение диска, вращающегося

вжидкости, пропорциональнаугловойскоростивращения.

1)Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 3 оборота в секунду, через 1 мин вращается с угловой скоростью 2 оборота в секунду. Какова будет его угловая скорость через 3 мин после начала вращения?

2)Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 5 оборотов в секунду, через 2 мин вращается с угловой скоростью 3 оборота в секунду. Через сколько времени после начала вращения он будет обладать угловой скоростью, равной 1 обороту в секунду?

Решение

= k ω , V = ω r

, m

dω

ω r = k ω

dω

= k dt (k = k1 / mr); ln

ω C

= k t ; ω = Cekt (C =1/ C ).

1) Приt = 0 ω = 3 об/с

С= 3; ω

= 3 ek t . Черезt = 60 с ω

= 2 об/с

2 = 3 е60k; k =

ln 2 / 3

ω = 3 e−0,0067 180 =

= −0,0067. При t = 180 с

1,192

≈

0,9 об/с .

3,3

= 5 ek t. Черезt = 120 с ω

= 3 об/с

2) Приt = 0 ω = 5 об/с

С= 5; ω

3 = 5 е120k

k = ln1/ 5 = −0,00425; 1 = 5 e−0,00425 t

−0,0042 t =

120

t =

1,6094

= 378

c = 6 мин18 с.

0,00425

117 (4017). Пуля входит в доску толщиной h = 0,1 м со скоростью V0 = 200 м/с, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью V1 = 80 м/с. Принимая, чтосиласопротивлениядоскидвижениюпулипропорциональна квадратускоростидвижения, найти, скольковременипродолжалосьдвижение пуличерездоску.

Уравнения первого порядка

Решение

По условию h = 10 см = 0,1 м;

V0 = 200 м/с;

= −kV 2

= −k dt

−

= −k t − C

V 2

При t = 0

V = V C =

;

= k t +

			1	1		1
При t = T	V =V	T =			−		.
			k	V		V
	1
			1	1		0

Определим k1. Из (1)

dx			V0		dx	;
	=			V =
dt		1 + k1 V0 t
					dt

V1 = 80 м/с. Тогда

(1)

(2)

x =

+ k V

+ C .

При t = 0 x = 0

= 0 ;

x =

1+ k

;

h =

+ k V

. Значит, h =

Из (2)

1 + k V

T =

1+ k V T

1 0

0,1

; T =

−

ln 2,5

200

0,1

= 0,00082

с.

0,9163

400

118 (4018). Капля воды, имеющая начальную массу M0 г и равномерно испаряющаяся со скоростью m г/с, движется по инерции с начальной скоростью V0 см/с. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения капли и ее радиусу. В начальный момент (t = 0) она равна f0 Н. Найти зависимость скорости капли от времени.

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Решение

При движении по инерции имеем следующее дифференциальное уравнениедвижения:

(m V ) = −R ,

(1)

dt t

где mt – переменная масса.

По условию сила сопротивления R = kVr, плотность γ = 1.

Вескапливлюбоймоментвремениприγ = 1 численноравенобъему:

g (M 0 − mt) = π r3					4	r =	3 (M 0 − mt)g 3 .
					3		4π
При t = 0 R = f	0	, V = V :	f	0	= k V 3		M 0 g 3	k = f0 3	4π .
	0	0		0		0	4π	V	3 M 0 g
Тогдасиласопротивления							4π	V	3 M 0 g
Тогдасиласопротивления

f0		π 4	3 (M0 − mt)g3	f0		m
R = V0	3	M 0 g3	4π	V = V0	3 1 −	M 0	t V .

Из (1)

dmt

V + dV m

= − f0 3 1−

m t V

, m = M

− mt ;

− mV + dV

(M0 − mt) = −

f0 3 1 −

m t V .

M 0

После разделения переменных получим

−2

−

= − ln

1 −

V0 M 0

M 0

−

	3 f0	3		m				m
+			1 −		t + ln C		1 −
	V0m			M 0		V = C		M 0

	−1		3 f0	3	1 −	m	t
			V0m		1 −	M0	t
		e					.
t		e					.

Уравнения первого порядка

3 f0

C = V e−

3 f0

При t = 0

V = V

C e

V0m

;

−1

3 f

−

− 3

−

V0m

M 0

−

V = V0

M 0

119 (4019). Капля воды, имеющая начальную массу M0 г, равномерно испаряющаяся со скоростью m г/с, свободно падает в воздухе. Сила сопротивленияпропорциональнаскоростидвижениякапли(коэффициент пропорциональности равен k). Найти зависимость скорости движения каплиотвремени, протекающегосначалападениякапли, есливначальный момент времени скорость капли равна нулю. Считать, что k ≠ 2m .

Решение

)

= V

(m V i) =

= V i

, P = m g i , R = −k V ;

− k

= mt g i

;

(m V ) = m g i

− k

(1)

Проектируем (1) на ось Ox:

(m V ) = m g − k V (V

=V );

(mt V ) = mt g − k V , mt = M 0 − mt ; − mV + (M0 −

− m t)

= (M0 − mt)g − k V ; (M 0 − m t) V ′ + (k − m) V −

k − m

− (M 0 − mt)g = 0 , V ′ +

V = g ; V = U W ,

M0 − mt

k − m

′

W + U W

′

= U

, U

+U W

M0 − mt

W = g ;

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

− k

m − k

−

dt ln

M 0 − mt

(M 0 − mt)

;

M 0

− mt

− m

− 1

−

+ 1

= g

(M 0 − mt)

dU = g (M 0 − mt)

U = −

2m − k

−

+ 2

− 1

+ C; V

− mt) + C (M 0 − mt) m

× (M 0 − mt)

= UW = −

(M0

2m − k

g M

− 1

2 −

При t = 0

V = 0 0 = −

+ CM

M 0

;

2 m − k

2 −

− 1

V = −

(M 0

− mt) +

m (M 0 − mt) m

0 −

2 m − k

2m − k

2 m

− k

−

− 2

− mt)

− mt)m

−1 =

− mt)

1 −

− 1

;

2 m − k

k ≠ 2 m .

120 (4020). Решитьпредыдущую задачу для капли сферической формы, предполагая, чтосиласопротивлениявоздухапропорциональнапроизведению скорости капли и площади ее поверхности. Плотность жидкости γ . (Привести к квадратурам.)

Решение

Дифференциальноеуравнениезадачиимеетвид

	d	(m V ) = m	g	− k V S, где m			t	= M	0	− m t; S = 4 π r2.
		(m V ) = m	g	− k V S, где m				= M		− m t; S = 4 π r2.
	dt	t	t
	dt

Из задачи 118 (4018)						3 (M 0		− m t)		.
Из задачи 118 (4018)					r = 3			γ		.
						4 π		γ

Аналогично задаче 119 (4019) имеем

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 327 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб10kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб3Kurs_lektsiy.doc
#
01.04.20251.8 Mб2Kurs_lektsiy_z_literaturi_II_semestr.doc
#
15.02.2015979.17 Кб23Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1200Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб52Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
01.05.2025127.01 Кб0Lab1.docx
#
01.05.20252.72 Mб0Lab12.doc
#
14.02.2015755.2 Кб44Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб48Lab2_KL_metod.doc