9.1. Метод ветвей и границ (мвг).

Метод ветвей и границ - используется при поиске оптимума, когда критерии эффективности Э = ∑ э_i (х_i) представляет собой аддитивный сепарабельно раздельный функцией.

МВГ сужает пространство поиска экстремума Э (минимума или максимума). Наиболее эффективно используется для поиска минимума затрат.

Е = {Э₁, Э₂,…, Э_n}

Э^*_extr Е

Р - множество рациональных решений, Р << Е

Э^*_extr (Е\Р)

Э^*_extr Р

Э^*_extr ≤ НГ_кэ , НГ_кэ << ВГ_кэ, Э^* << ВГ_кэ

ВГ_кэ - верхняя граница - самое максимальное значение из возможных.

НГ_кэ - нижняя граница критерия эффективности - текущая, всё время изменяющаяся.

13.11.08 Семинар. Решение задач: методология оптимизации в логистике.

Задача №1.

Предприятие рассматривает варианты поставки сырья на склад от поставщика.

Существует множество способов организации поставок. Это связано с возможностью использования различных видов транспорта и различных перевалочных пунктов на маршруте.

Для каждого варианта организации поставок известен способ расчёта издержек. Общие издержки равны сумме издержек на всех участках. Найти наилучший по какому-либо критерию маршрут (наименьшее время в пути, наименьшее расстояние, наименьшие издержки).

Задача №2.

Производственное предприятие использует совмещённую схему производства нескольких продуктов (многоассортиментное производство). В каждый момент времени такая технологическая установка обрабатывать только один продукт. Процесс непрерывный. Переналадка оборудования для другого продукта связана с затратами. Затараты на переналадку на очередной продукт известны и зависят от того, какой продкт выпускался до этого.

Основная идея метода ветвей и границ (МВГ) состоит в том, чтобы для каждого подмножества решений, полученных на некотором уровне декомпозиции задачи, найти оценку перспективности. В МВГ эта оценка называется оценочной функцией.

В качестве оценочной функции используют значение критерия эффективности для промежуточного решения - стоимость части маршрута от корневой вершины до текущей.

Нижняя граница (НГ) - это “стоимость” промежуточного решения, полученного на момент образования вершины.

НГ в некоторой вершине есть оценочная функция для этой вершины.

Верхняя граница (ВГ) - это лучшее, найденное на данный момент решение исходной задачи.

Знание ВГ позволяет исключить из рассмотрения часть решений. Если в какой-либо висячей вершине НГВГ, то раскрывать ее дальше не имеет смысла, т.к. любое решение будет заведомо хуже найденного ранее.

Функция ветвления - это некоторый критерий, который позволяет выбрать наиболее перспективную для раскрытия висячую вершину из всех, разрешенных выбранной стратегией ветвления.

Стратегия ветвления- это дополнительное соглашение, связанное с разрешением конфликтов при ветвлении (например, когда построены несколько висячих вершин с одинаковыми значениями НГ). Стратегия ветвления влияет на программную реализацию алгоритма МВГ.

При лучевой стратегииветвление производится из висячей вершины с наименьшей НГ на последнем образовавшемся уровне декомпозиции. Если на последнем уровне декомпозиции больше нет висячих вершин, то следует перейти на предыдущий уровень. При волновой стратегииактивная вершина выбирается на любом уровне декомпозиции.При луче-волновой стратегиидо получения первого решения исходной задачи применяется лучевая стратегия, затем, как при волновой стратегии, выбирается вершина с наименьшей НГ на любом уровне, далее, до получения очередного полного решения исходной задачи, применяется лучевая стратегия.

Решение задачи №1 методом ветвей и границ с применением лучевой, волновой и луче-волновой стратегии ветвления с начальными условиями:

	1-1	2-1	2-2	2-3	3-1	3-2	4-1	4-2	4-3	4-4	5-1
1-1		7	9	11
2-1					8	13
2-2					15	11
2-3					17	26
3-1							36	14	26	22
3-2							24	18	36	19
4-1											21
4-2											26
4-3											33
4-4											38
5-1

Рис. 9.3. Поиск решения с применением лучевой стратегии ветвления.

Рис. 9.4. Поиск решения с применением волновой стратегии ветвления.

Рис. 9.5. Поиск оптимального пути в транспортной сети методом ветвей и границ с использованием луче-волновой стратегии ветвления.

Определение эффективности метода поиска решения.

Эффективность метода(стратегии) можно определить как долю исключенных из рассмотрения вершин ДВР, т.е.

,

где ν(G) - число вершин в полном ДВР, ν(G’) - число вершин в усеченном ДВР, построенном с использованием МВГ. Чем больше вершин исключено из рассмотрения, тем выше эффективность. Корневую вершину можно не учитывать, т.к. для ее построения не требовался расчет критерия.

Эффективность той или иной стратегии определяется исключительно структурой пространства состояний задачи и выбор лучшей стратегии решения осуществляется экспериментально, под каждую конкретную задачу. Метод плохо работает, если все решения близки друг к другу по стоимости.