![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Предисловие
- •I. Множества и операции над ними
- •Понятие множества
- •Способы задания множеств. Отношения между множествами
- •3. Объединение и пересечение множеств, их свойства
- •4. Разность множеств. Дополнение к подмножеству
- •Задача 3.
- •Задача 6
- •Контрольные вопросы
- •Упражнения
- •5. Разбиение множества на классы
- •6. Декартово умножение множеств
- •II. Элементы математической логики
- •2. Высказывания с кванторами
- •Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- •3. Отношение логического следования и равносильности
- •Строение теоремы. Виды теорем
- •6. Математические понятия
- •Отношения между понятиями
- •Умозаключения
- •III. Соответствия и отношения
- •Соответствия между элементами двух множеств.
- •2. Функции
- •3. Бинарные отношения
- •Алгебраические операции
- •IV. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •Об аксиоматическом построении теории
- •Сложение и умножение. Отношение «меньше» «больше»
- •Свойства операции сложения
- •Свойства операции умножения
- •Вычитание и деление
- •Правило вычитания числа из суммы
- •Правило вычитания суммы из суммы
- •Деление суммы на число
- •Деление разности на число
- •Деление произведения на число
- •4. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком
- •5. Свойства множеств натуральных и целых неотрицательных чисел
- •V. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами
- •1. Порядковые и количественные натуральные числа.
- •2. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел.
- •Свойства операции сложения
- •3. Умножение целых неотрицательный чисел
- •Свойства операции умножения
- •4. Деление
II. Элементы математической логики
Литература: [1] гл. 1, §2, §3, §4
ВЫСКАЗЫВАНИЯИ ПРЕДИКАТЫ. __________________________________________________________________
Определение 1. Высказыванием называют любое повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
_____________________________________________________________________________________________
Современная математическая логика включает в себя логику высказываний и логику предикатов.
Высказывание принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д. Если высказывание А истинно, то записывают А – «И», если высказывание А ложно, то записывают А – «Л».
Если заданы высказывания А и В, то из них можно составить новое высказывание, используя логические связки «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не». Такие высказывания называют составными, а входящие в них высказывания А и В – элементарными высказываниями. Логические связки (или логические операции) принято обозначать соответственно специальными символами (, , , , –).
Составные высказывания, образованные из высказываний А и В, определяются следующими таблицами истинностей.
Составное высказывание
|
Читается
|
Название высказывания |
Таблица истинности | ||
АВ
|
А и В
|
Конъюнкция высказываний
|
А |
В |
АВ |
И |
И |
И | |||
И |
Л |
Л | |||
Л |
И |
Л | |||
Л |
Л |
Л | |||
ав
|
А или В
|
Дизъюнкция высказываний
|
А |
В |
АВ |
И |
И |
И | |||
И |
Л |
И | |||
Л |
И |
И | |||
Л |
Л |
Л | |||
АВ
|
Если А, то В
|
Импликация высказываний
|
А |
В |
АВ |
И |
И |
И | |||
И |
Л |
Л | |||
Л |
И |
И | |||
Л |
Л |
И | |||
А В
|
А тогда и только тогда, когда В
|
Эквиваленция высказываний
|
А |
В |
АВ |
И |
И |
И | |||
И |
Л |
Л | |||
Л |
И |
Л | |||
Л |
Л |
И | |||
|
Неверно, что А
|
Отрицание высказывания А
|
А |
| |
И |
Л | ||||
Л |
И |
Два составных высказывания А и В называются равносильными, если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. В этом случае пишут А = В.
Свойства составных высказываний:
Для конъюнкции
|
Названия свойства |
Для дизъюнкции |
А В = ВА |
Коммутативность |
АВ = ВА |
А (ВС) = (А В) С = = А ВС |
Ассоциативность |
А(ВС) = (АВ)С = = АВС |
Есть свойства, связывающие эти две операции:
(АВ)С = (АС)(ВС) – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;
(АВ) С = (А С) (ВС) – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.
Для отрицания высказываний можно записать равносильности:
1.=А
–любое
высказывание А
равносильно
высказыванию
А
= Л, в этом случае говорят, что формула А и
тождественно ложна.
А
= И, в этом случае говорят, что формула А или
тождественно истинна. Операции конъюнкция, дизъюнкция и отрицание высказываний связаны следующими соотношениями:
.
Эти отношения называют законами де Моргана.
Операция импликации двух высказываний может быть выражена через операции отрицания и дизъюнкции:
А
В
=
В.
Для
импликации высказываний имеет место
закон контрапозиции: А
В
=
Все эти свойства доказываются с помощью таблиц истинности.
Задача 1.
Доказать
равносильность
А
В
=
В. Составим
таблицу
истинности для высказываний А
В
и
В
.
А |
В |
|
А В |
|
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
Совпадение
истинностных значений высказываний А
В
и
В доказывает
их равносильность.
___________________________________________________________
Определение 2. Предикатом(или высказывательной формой) называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание всякий раз при подстановке вместо переменных их значений из некоторого множества Х.
_____________________________________________________________________________________________
В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные и т. д. предикаты (высказывательные формы), которые обозначаются, соответственно, так:
А (х), В (х, у) и т. д.
В пособии, мы, будем использовать термин – «предикат».
Например, х > 3 – одноместный предикат, а х + у = 10 – двухместный предикат. При задании предиката обычно указывают его область определения X – множества, из которого выбираются значения переменных, входящих в предикат.
Множество тех значений переменной из области ее определения, при подстановке которых предикат обращается в истинное высказывание, называется множеством истинности предиката. Обозначение – Т, Т Х.
Конъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве X, называется предикат А(х) В(х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х Х, при которых истинны оба предиката.
Множество истинности конъюнкции предикатов есть пересечение множеств истинности образующих ее предикатов.
Т а(х)В(х) = Т а(х) Т В(х).
Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве называется предикат А(х) В(х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х X, при которых истинен хотя бы один из предикатов.
Та(х)\/В(х) = Т А(Х) Т В(х)
Отрицанием
предиката А(х),
заданного
на множестве X,
называется
предикат
,
истинный
при тех и только тех значениях х
X,
при
которых
предикат А(х)
ложен.
=
Х\ТА(Х);
=Т'А(Х)
Импликацией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х называется предикат А(х) В(х), обращающийся в ложное высказывание при подстановке вместо х таких значений а, для которых А(а) истинно, а В (а) – ложно; при остальных значениях х – предикат А(х) В(х) обращается в истинное высказывание.