III. Соответствия и отношения

Литература [1] гл. II §§ 8, 9, 10

1. Соответствия между элементами двух множеств.

__________________________________________________________________

Определение 1. Соответствием Р между элементами множеств X и Y называется подмножество декартова произведения множеств X и Y, (Р XY)

_____________________________________________________________________________________________

Если элементу х из множества Х соответствует элемент у из множества У, то пишут хРу или (х,у)Р. Элемент уУ называется образом элемента х, а элемент хХ называют прообразом элемента уУ

Из определения следует, что соответствия можно задать: перечислением пар или графом (если множества конечные), указанием характеристического свойства элементов этого соответствия, графиком, если множества числовые, и табличным способом.

Пример 1.

Пусть Х = 2,6,8 ; У = 7,5,3,1 хРух < у

Зададим соответствие Р различными способами.

1. Перечислением пар: Р = (2,7),(2,5),(2,3),(6,7)

2. Графом. Граф – это ориентированный чертеж, состоящий из точек и стрелок, где точки изображают элементы множеств, а стрелки соединяют элементы множества Х с соответствующими элементами множества У.

Х У

3. График заданного соответствия выглядит так:

у

7  

5 

3

1

х

1 2 6 8

4. Задаем данное соответствие с помощью характеристического свойства:

Р = (х,у) х  Х; у  У, х  у

__________________________________________________________________

Определение 2. Соответствие между элементами множеств Х и Y называют взаимно-однозначным, если любому элементу х X ставится в соответствие единственный элемент уY, и, наоборот, любой элемент у Y имеет единственный прообраз хХ в этом соответствии.

_____________________________________________________________________________________________

Пример 2.

Х У

ХУ

Пусть х = {1,2, 3); у = {5, 6, 7}. х р у  у= х + 4

__________________________________________________________________

Определение 3. Если между элементами множеств Х и Y можно установить каким-либо образом взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что множества X и Y равномощны и пишут Х~Y. По определению, получим

 Y

_____________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Определение 4. Если множество А равномощно множеству натуральных чисел, то его называют счетным. А N, А – счетное множество.

____________________________________________________________________________________

Задача 2.

X Y

Между элементами множеств Х = {1,3,5} и Y = {2,4,6} задано соответствие р – «меньше». Задать соответствие перечислением пар, построить граф соответствия, указать образ 1  Х и прообраз 4 Y.

Решение.

Р={(1, 2); (1, 4); (1, 6); (3, 4); (3, 6); (5,6)}. Образ 1  Х, p(1)= {2, 4, 6}. Прообраз 4 Y = {1,3}.