Вычитание и деление

___________________________________________________________________

Определение 6. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция «–» , удовлетворяющая условию: а – b = с, тогда и только тогда, когда b + с = а.

или

Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция по нахождению разности (а – b).

______________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Определение 7. Разностью натуральных чисел а и b называется число с (если оно существует), такое, что b + с = а.

______________________________________________________________________________________________

Символическая запись: а – b  ( с) а = с + b.

Число а называется уменьшаемым, число b – вычитаемым, число (а – b) – разностью.

Например:

1. Разностью чисел 7 и 3 будет число 4, т.к. 3 + 4 = 7. (7 – 3 = 4, т.к. 3 + 4 = 7).

2. Разность чисел 5 и 9 не существует, т.к. не существует натурального числа с, такого, что 9 + с = 5.

((5 – 9) –,т.к. (с)( 9 + с = 5).

Теорема 5. Разность натуральных чисел (а – b) существует тогда и только тогда, когда b < а.

Теорема 6. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Пользуясь определением разности, можно доказать истинность следующих утверждений: (а + b) – а = b; (а + b) – b = а.

Исходя из определения разности натуральных чисел, и условия существования, можно объяснить известные правила вычитания.

Правило вычитания числа из суммы

s – c, где s = a + b > c

(a + b)– c = (a + b) – c = (a –c)+b, если a > c

a + (b – c) , если b > c

Число из суммы можно вычесть одним из трех способов:

• найти сумму (а + b) и из нее вычесть число с.

Например (11 + 8) - 13 = 19 -13 = 6;

• вычесть число из первого слагаемого и к полученному результату прибавить второе слагаемое.

Например (13 + 8) - 9 = (13 -9) + 8 = 4 + 8 = 12;

• вычесть число из второго слагаемого, и полученный результат прибавить к первому слагаемому.

Например (5 + 13) – 6 = 5 + (13 -6) = 5 + 7 = 12.

Правило вычитания суммы из числа

a – s , s = b + c,

a – (b + c)= (a – b) – c, если а > b + с

(a – c) – b

Сумму из числа можно вычесть одним из трех способов:

• найти сумму (b + с), и полученный результат вычесть из числа a;

Например: 19 – (2 + 7) =19 – 9 = 10;

• из числа а вычесть первое слагаемое b, и из полученного результата (а – b) вычесть второе слагаемое с;

Например: 17 – (7 + 5) = (17 – 7) – 5 = 10 – 5 = 5;

• из числа а вычесть второе слагаемое и из полученного результата вычесть первое слагаемое;

Например: 13 – (5 + 3) = (13 – 3) – 5 = 10 – 5 = 5.

Правило вычитания суммы из суммы

S_{1 –} S₂, если S₁=a + b, S₂ = с + d и S₁  S₂

(а + b)-(с + d) = (а – с) + (b – d), если а > с, b > d;

(а - d) + (b – с), если а > d, b > с.

(7+ 8) – (4+ 9) = 15 – 13 = 2;

Например, (7 + 4) – (5 + 3) = (7 – 5) + (4 – 3) = 2 + 1 = 3;

(6 + 8) – (7 + 4) = (6 – 4) + (8 – 7) = 2 + 1 = 3.

______________________________________________________________________

Определение 8. Делением натуральных чисел а и b называется операция «:», удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и толь­ко тогда, когда b с = а, или

Делением натуральных чисел а и b называется операция по на­хождению частного а : b.

___________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Определение 9. Частным натуральных чисел а и b называется число с, такое, что b  с = а.

___________________________________________________________________________________________________

Символическая запись: а : b = с (с)b с = а.

Число а называется делимым, число b - делителем, число (а :b) – частным и число с – тоже частным.

Например:

1. Частным чисел 42 и 7 будет число 6, т.к. 7  6 = 42, (42 : 7 = 6, т.к. 7  6 = 42).

2. Частное чисел 15 и 7 не существует, т.к. не существует такого натурального числа с, что 7 с = 15, (15 : 7 – ;т.к. (с N  с = 15).

Теорема 7. Для того чтобы существовало частное двух натураль­ных чисел а и b, необходимо, чтобы b < а.

Теорема 8. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Из определения частного следует истинность утверждения (а : b)  b = а.

(Частное умножим на делитель – получим делимое).

Исходя из определения частного и условия его существования можно обосновать известные правила деления суммы, разности, произведения на число.