- •Предисловие
- •I. Множества и операции над ними
- •Понятие множества
- •Способы задания множеств. Отношения между множествами
- •3. Объединение и пересечение множеств, их свойства
- •4. Разность множеств. Дополнение к подмножеству
- •Задача 3.
- •Задача 6
- •Контрольные вопросы
- •Упражнения
- •5. Разбиение множества на классы
- •6. Декартово умножение множеств
- •II. Элементы математической логики
- •2. Высказывания с кванторами
- •Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- •3. Отношение логического следования и равносильности
- •Строение теоремы. Виды теорем
- •6. Математические понятия
- •Отношения между понятиями
- •Умозаключения
- •III. Соответствия и отношения
- •Соответствия между элементами двух множеств.
- •2. Функции
- •3. Бинарные отношения
- •Алгебраические операции
- •IV. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •Об аксиоматическом построении теории
- •Сложение и умножение. Отношение «меньше» «больше»
- •Свойства операции сложения
- •Свойства операции умножения
- •Вычитание и деление
- •Правило вычитания числа из суммы
- •Правило вычитания суммы из суммы
- •Деление суммы на число
- •Деление разности на число
- •Деление произведения на число
- •4. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком
- •5. Свойства множеств натуральных и целых неотрицательных чисел
- •V. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами
- •1. Порядковые и количественные натуральные числа.
- •2. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел.
- •Свойства операции сложения
- •3. Умножение целых неотрицательный чисел
- •Свойства операции умножения
- •4. Деление
Сложение и умножение. Отношение «меньше» «больше»
___________________________________________________________________
Определение 3. Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, которая каждой паре натуральных чисел а и b ставит в соответствие число вида (а + b) и обладает свойствами:
1.(а )а + 1 = а';
2. (а, b ) а + b' = (а + b)'.
_____________________________________________________________________________________________
Свойства операции сложения 1 и 2 – это аксиомы и обозначим их А5 и А6. Символически это определение можно записать так:
, +>, (а, b )( а, b) а + b,
А5. (а ) а + 1= а'
А6. (а, b )( а + b') = (а + b) '.
Число а + b называется суммой чисел а и b, а сами числа а и b – слагаемыми.
Теорема 3. Сложение натуральных чисел существует и определено однозначно.
Известную всем таблицу сложения однозначных чисел можно вывести, пользуясь определением сложения и теоремой о существовании и единственности сложения.
Условимся о следующих обозначениях:
1' = 2; 2' = 3; 3' = 4; 4' = 5; 5' = 6; 6' = 7; 7' = 8; 8' = 9; 9' = 10.
Таблица:
1) прибавление числа 1 :
+ 1 1' = 2;
+ 1 2' = 3;
…
9 + 19' = 10.
2) прибавление числа 2:
+ 2 = 1 + 1' (1 + 1)'2' = 3.
+ 2 = 2+1' (2+1)'3' = 4.
…
8 + 2 = 8+1' (8 + 1)' 9'= 10.
Если продолжать этот процесс, получим всю таблицу сложения однозначных чисел.
___________________________________________________________________
Определение 4. Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, которая каждой паре натуральных чисел а и b ставит в соответствие число вида а b и обладает свойствами:
(а ) а 1= а;
(а, b ) а b' = аb +a .
______________________________________________________________________________________________
Число а b называется произведением чисел а и b, а сами числа а и b – множителями.
Свойства операции умножения – это аксиомы и обозначим их А7, А8. Символически это определение можно записать так:
, > (а, b )( а, b) а b.
А7(а ) а 1= а
А8 (а, b ) а b' = аb +a
Теорема 4. Умножение натуральных чисел существует и определено однозначно.
Таблицу умножения однозначных чисел можно вывести, используя определение умножения, теорему о существовании и единственности умножения и таблицу сложения.
Таблица:
1. Умножение на 1:
по А7(а ) а 1= а
1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3; 4 1 = 4; 5 1 = 5; 6 1 = 6; 7 1 =7; 8 1= 8; 9 1= 9.
2. Умножение на 2:
(символическая запись т.у. – таблица умножения)
1 2=1 1' 1 1 + 1 1+12.
2 2 = 2 1' 21+2 2 + 2 4;
3 2 = 31' 31 +3 3 + 36;
…
9 2 = 9 1' 9 1 + 9 9+ 9 18.
Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.