1. Порядковые и количественные натуральные числа.

В основу теории положены понятия конечного множества и вза­имно-однозначного соответствия.

Два конечных множества А и В называются равномощными, или равночисленными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

А~В А<>В.

Отношение «Множество А равночисленно множеству В» рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, отношение равночисленности является отношением эквивалентности и определяет разбиение совокупности всех конечных множеств на классы эквива­лентности.

В одном классе содержатся самые различные множества; общим для всех их является то, что все они равночисленны, то есть содержат одинаковое количество элементов. Например, в классе, содержащем множество {а; b}, содержатся такие множества, как множество глаз у человека, множество крыльев у птицы, множество диагоналей квадрата и так далее.

______________________________________________________________________

Определение 1. Натуральным числом называется общее свойство класса непустых конечных, равномощных (эквивалентных) друг другу множеств. Этим общим свойством является численность множеств. Численность множества А обозначается: п (А) или А

___________________________________________________________________________________________________

Если А₁~А₂~Аз~...~А_k, то п(А_]) = n(А₂) =...= n(А_k) = а (то есть все множества из одного класса). Получаемое в этом случае число а есть количественное натуральное число.

Добавляя к любому конечному множеству один элемент, не содержащийся в нем, получим новое множество, не эквивалентное исходному. Продолжая этот процесс, мы получим бесконечную последовательность не эквивалентных друг другу множеств и определенный ею ряд натуральных чисел, изображенный символами 1,2,3,4,...,n ,….

Число «нуль» также имеет теоретико-множественное истолкование – оно ставится в соответствие «пустому» множеству: 0 = n(), обозначим N₀=N - множество целых неотрицательных чисел.

Рассмотрим два конечных множества А и В. Пусть n(А)=а; n(В)=b.

______________________________________________________________________

Определение 2. Говорят, что а = b тогда и только тогда, когда множества А и В принадлежат одному и тому же классу, то есть А~В;

___________________________________________________________________________________________________

А В

a = b А~В

Если А и В неэквивалентны, то множества А и В принадлежат разным классам, а поэтому соответствующие им числа различны.

______________________________________________________________________

Определение 3. Говорят, что число а меньше числа b тогда и только тогда, когда множество А равномощно собственному подмножеству конечного множества В.

(а < b)  (A~B₁, где В₁В; В₁ВВ₁)

___________________________________________________________________________________________________

Проиллюстрируем это определение, используя круги Эйлера-Венна

А В

В₁

или

В1

А - В

__________________________________________________________________________________

Определение 4. Отрезком натурального ряда N_а называется множество натуральных чисел, не превосходящих натуральное число а.

___________________________________________________________________________________________________

N_а = {х\х  N, х а}.

Например: N₄ = {х|х  N, х 4}={1,2,3,4}.

______________________________________________________________________

Определение 5. Множество А называется конечным, если су­ществует взаимно однозначное соответствие между элементами и некоторым отрезком N_a натурального ряда чисел.

___________________________________________________________________________________________________

Число а является количеством элементов множества А: а = п(А)

Теорема 1. Одно и то же множество А не может быть взаимно од­нозначно отображено на два различных отрезка натурального ряда чисел.

Взаимно однозначное отображение множества А на отрезок N_a можно понимать как нумерацию элементов множества А: А  N_a

Этот процесс нумерации называют СЧЕТОМ.

При пересчете элементы конечного множества А не только расставляются в определенном порядке (при этом используются порядковые натуральные числа, выражаемые числительными «первый» «второй», «третий» и так далее), но и устанавливается также, сколько элементов содержит множество А (при этом используются количес­твенные натуральные числа, выражаемые числительными «один» «два», «три» и так далее.).

Тесная связь порядкового и количественного натурального числа нашла отражение и в начальном обучении математике. С этими чис­лами учащиеся знакомятся уже при изучении чисел первого десятка. Происходит это при счете элементов различных множеств.

Задача 1.

Объясните смысл равенств: п(А) = 3; n(B) = 0. Приведите примеры множеств А и В, удовлетворяющих этим условиям.

Решение.

n(A) = 3 – число элементов (количество элементов) множества А равно трем. В качестве множества А можно взять множество сторон треугольника, углов треугольника, высот треугольника, п(В)=0 – чис­ло (количество) элементов множества В равно нулю, В – пустое мно­жество. Например, В – множество действительных решений уравнения х² +1 = 0.

Задача 2.

Используя теоретико-множественную трактовку отношения «меньше», покажите, что 3 < 5.

Решение.

Возьмем множество А, содержащее 3 элемента, и множество В, содержащее 5 элементов. Например, А – множество квадратиков, п(А)=3; В – множество кружков, п(В)=5. Из множества В можно выделить подмножество В₁, равномощное множеству А. Согласно определению отношения «меньше», последнее означает А~В₁  BB₁  B B₁  , а это значит 3 < 5.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение натурального числа.

2. Сформулируйте определение отношения «равенства» на множестве натуральных чисел.

3. Сформулируйте определение отношения «меньше» на множестве натуральных чисел.

4. Сформулируйте свойства отношения «равенства» на множестве натуральных чисел.

5. Сформулируйте свойства отношения «меньше» на множестве натуральных чисел.

6. Дайте определение отрезка натурального ряда чисел и запишите множества N₃, N₆.

7. Что значит сосчитать элементы конечного множества? Сформулируйте условия, которые должны соблюдать учащиеся, ведя счет предметов.

8. Почему на урок, где изучается число «три», можно принести картинку с изображением трех яблок, трех карандашей и трех тетрадей, а можно ли воспользоваться и другими примерами трехэлементных множеств?

Упражнения

351. Докажите, что отношение «равенства» на множестве натуральных чисел является отношением эквивалентности.

352. Докажите, что отношение «меньше» на множестве натуральных чисел является отношением строгого линейного порядка.

353. Дайте теоретико-множественную трактовку отношения порядка «больше». Каков теоретико-множественный смысл свойства транзитивности этого отношения?

354. Прочитайте предложения: п(А) = 4; п(В) = 1. Приведите примеры множеств А и В, удовлетворяющих этим условиям.

355. Придумайте примеры множеств С и D, для которых выполняются условия: а) n(С) = n(D) и С  D; б) n(С) = п(D) и С =D.

356. Используя теоретико-множественную трактовку отношения «меньше», покажите, что:

а) 4 < 7; б) 1 < 3.

357. Сравните числа п(А) и п(В), если: а) А  B; б) A  B и AB Приведите примеры множеств А и В, удовлетворяющих этим условиям.

358. Из учебников математики первого класса приведите примеры заданий, в которых отношение «меньше» («больше») на множестве натуральных чисел рассматривается с теоретико-множественных позиций.

359. Приведите примеры заданий из учебников математики для начальных классов, в которых число выступает как характеристика: а) порядка; б) количества.

360. Можно ли назвать отрезком натурального ряда множества: А, В, С, Д ?

а) А = {1,3,5,6,7};

b) В = {2,3,4,5};

с) С = {1,2, 3,4,5, 6,7};

d) D = {0, 1,2,3}.

Что значит сосчитать элементы множества? Осуществите счет для множеств А, В, С, D.

361. Сформулируйте условия, которые должны соблюдать учащиеся, ведя счет предметов.