5. Свойства множеств натуральных и целых неотрицательных чисел

Из аксиом Пеано, из определения отношений «больше», «меньше» и их свойств следуют свойства множеств а натуральных N и целых неотрицательных N₀ чисел:

1. В множестве N (или N₀) существует наименьший элемент 1 (0) (следует из первой аксиомы Пеано А₁).

2. В множестве N (или N₀) не существует наибольшего элемента (доказывается методом от противного с использованием аксиомы А₂). Этим объясняется бесконечность множеств N и N₀.

3. Ни для одного натурального (или целого неотрицательного) числа а не существует такого натурального числа n, что а < n < а + 1. Это свойство называется свойством дискретности множества натуральных чисел (или N₀), а числа а и а+1 называют соседними.

4. Любое непустое подмножество натуральных чисел (или N₀) содержит наименьшее число.

5. Если М – непустое подмножество множества натуральных чисел (или N₀) и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число.

6. Множество N₀ (или N) – линейно упорядоченные множества, т.е. для их элементов имеют место следующие утверждения:

0 < 1 < 2 < 3 <…< n < n+1 <…

(1 < 2 < 3 < ... < n < n + 1 < ...).

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте свойства множества натуральных и целых неотрицательных чисел.

2. Проиллюстрируйте свойства 4 и 5 на примерах.

Упражнения

346. Докажите 1 и 2 свойства множества натуральных чисел.

347. Укажите наибольший и наименьший элементы множества М, где М – множество четырехзначных чисел. Каким свойством множества N можно объяснить существование этих элементов?

348. Какие свойства множества натуральных чисел неявно используют младшие школьники, выполняя следующие задания:

а) запишите числа, которые больше 57 и меньше 62.

б) назовите предыдущее и последующее число к соответствующим числам 200 (700, 509, 799).

в) назовите самое большое и самое маленькое трехзначное (двузначное) число?

348. Докажите, что множество целых неотрицательных чисел – линейно упорядоченное множество.

349. Докажите свойство дискретности множества натуральных чисел.

По данной главе студент должен уметь:

• показать, что множество натуральных чисел является моделью системы аксиом Пеано;

• формулировать аксиомы, моделью которых является множество целых неотрицательных чисел, назвать число, которое играет в нем роль единицы;

• составлять таблицы сложения и умножения натуральных чисел;

• доказывать свойства операции сложения и умножения опираясь на аксиому индукции Пеано;

• применять закон сложения и умножения при вычислении значений числовых выражений рациональным способом;

• объяснять с помощью аксиом равенства 4 + 2 = 6 и 7 + 3 = 10;

• проводить доказательства истинности предложений методом математической индукции.

V. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами

Литература [1] гл III §15; [2] гл. IХ §2,§ 3; [3] гл II §5.