Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobie_Predel_funktsii_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

855.42 Кб

Скачать

☆

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Начала анализа

Предел функции

Техники вычисления пределов

2
Оглавление
Введение................................................................................................................	4
Глава 1. Предел последовательности.................................................................	5
Понятие последовательности..............................................................................	5
Предел последовательности................................................................................	5
Свойства предела последовательности..............................................................	6
Арифметические свойства предела последовательности ................................	6

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей 11


Неопределенности, откуда они берутся? .........................................................			14
Неопределенность вида	∞	в случае отношения многочленов ................	16

∞
Неопределенность вида ∞		в пределах с радикалами.................................	21
∞
Неопределенность вида	∞	в случае арифметической прогрессии..........	27

∞
Неопределенность вида	∞	в случае геометрической прогрессии...........	28

∞
Неопределенность вида	∞	в случае факториалов.....................................	30

∞
Неопределенность типа ∞		в случае показательных выражений .............	32
∞

Неопределенность ∞	с логарифмами .........................................................		33
∞
Неопределенность вида [∞ − ∞]		в случае разности дробей..........................	34
Неопределенность вида [∞ − ∞]		в случае разности радикалов ....................	35
Пределы, содержащие различные типы последовательностей .....................			44
Первый замечательный предел.........................................................................			49
Предел показательно-степенных последовательностей.................................			51
Неопределенность вида 1∞ ............................................................................			51

			3
Глава 2. Пределы функций одного переменного............................................				55
Основные определения, свойства пределов функций одной переменной...				55
Свойства пределов функций			.............................................................................	58
Теоремы об арифметических ...............................операциях над пределами				58
Вычисление пределов функции........................................................................				60
Неопределенность вида	0	................................................................	в точке	63

	0
Неопределенность вида	0	.............	в точке ( случай разности радикалов )	69

	0
Неопределенность вида	0	.........	в случае тригонометрических функций	77

	0
	∞			84
Неопределенность вида 1		............................................................................

Неопределенность вида [¥ - .......................................................................¥]				89
Неопределенность типа [0 × ¥ .........................................................................]				90
Приложение 1. Предел последовательности...................................................				92
Приложение 2. Предел функции.......................................................................				97

Введение

Теория пределов является одним из наиболее важных разделов математики, на котором строится весь курс математического анализа.

Согласно программе дисциплины «Математика» (2 семестр) у

студентов, обучающихся по направлению подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» (профили «Математика», «Информатика», «Физика»), предел последовательности и предел функции изучаются в основном на вычислительном уровне, поэтому на первом этапе изучения теория пределов функций строится в основном на языке последовательностей

Пособие состоит из двух глав: «Предел последовательности» и «Предел функций». В каждой главе пособия представлены необходимые теоретические сведения, рекомендации по выбору метода вычисления предела и примеры с подробными комментариями и решениями. Большое количество подробно разобранных примеров позволят эффективно организовать самостоятельную деятельность студентов и сформировать у них необходимые вычислительные умения. Методы вычисления пределов,

представленные в учебном пособии, дают возможность освоить различные техники и приемы вычисления пределов последовательностей и функций в зависимости от видов раскрываемых неопределенностей.

{xn }

Глава 1. Предел последовательности

Понятие последовательности.

Определение 1.1. Функция натурального аргумента называется последовательностью, то есть каждому натуральному числу n N ставится в соответствие по определенному закону единственное действительное число xn . Последовательность обозначают {xn}. Числа xn называют членами последовательности.

Определение 1.2. Множество действительных чисел { x1, x2 ,…, xn ,…}

называют множеством значений числовой последовательности и

обозначают E ( xn ) .

Например, для последовательности {x }, где x		=	1 + (-1)n	множество её
	n
n		2

значений состоит из двух элементов: E ( xn ) = {0;1} .

Определение 1.3. Пусть заданы две последовательности: {xn} и {yn}.


Тогда	последовательность	{xn + yn}	называется		суммой		этих
последовательностей; {xn - yn}		– разностью; {xn × yn}		–	произведением и
	yn ¹ 0 при любом натуральном			x
(если			значении n )		n	– частным

				yn

исходных последовательностей.

Определение 1.4. Последовательность {xn} называется ограниченной, если множество её значений ограничено, то есть существует такое положительное число C что для всех натуральных значений n верно | xn |≤ C .

Определение 1.5. Последовательность {xn}, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной.

Предел последовательности

Определение 1.6. Число a называется пределом последовательности

, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует номер N (ε ) такой, что для всех натуральных значений n ³ N (ε )

выполняется неравенство xn - a < ε .

С помощью кванторов это определение записывается следующим образом:

lim x = a ε > 0 N (ε ) N "n > N (ε ) ( x - a < ε ) .

n→∞ n n

Определение 1.7. Последовательность, имеющая предел, называется

сходящейся.

Свойства предела последовательности

Предел последовательности единственен.

Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Предел стационарной последовательности (все значения которой равны A ) равен A .

Для вычисления предела последовательности неудобно пользоваться определением, обычно используются арифметические свойства пределов последовательностей.

Сформулируем эти свойства

Арифметические свойства предела последовательности

Если существуют пределы lim xn	, lim yn , то существуют
n→∞	n→∞

предел линейной комбинации ( a , b )

lim(a × xn	+ b × yn ) = a×lim xn	+ b × lim yn ,
n→∞	n→∞	n→∞

в частности

lim(a × xn ) = a × lim xn ;
n→∞	n→∞

предел произведения

lim(xn	× yn ) = lim xn	× lim yn ,
n→∞	n→∞	n→∞

в частности

lim

( xn )2 = lim(xn

× xn ) = lim xn × lim xn

= (lim xn )2

n→∞

= (lim xn )k

lim

( xn )k = lim(xn

×…× xn ) = lim xn ×…× lim xn

n→∞

k множителей

предел частного (при условии что lim yn ¹ 0 )

n→∞

lim xn

lim

n→∞

lim y

n→∞

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4) ; (1.5)

(1.6)

Рассмотрим, каким образом эти теоремы применяются на практике.

			a =	2	( x	)3 - 3y	n
Пример 1.1. Найдите	предел	последовательности			n		n	,
Пример 1.1. Найдите	предел	последовательности						,
			n		4xn	+ 7 yn
если известно, что lim xn = 2 , lim yn = 3 .					4xn	+ 7 yn
если известно, что lim xn = 2 , lim yn = 3 .
n→∞	n→∞	{( xn )3} = {xn × xn × xn }
Решение: последовательность		{( xn )3} = {xn × xn × xn }	представляет собой

произведение трех сходящихся последовательностей, ее предел равен произведению пределов, то есть (2)3 .

Предел последовательности

{2( xn )3 - 3yn }

по свойству

(1.1)

равен

2(2)3 - 3 ×3 =16 - 9 = 7 ,

последовательности

{4x

+ 7 y

}

–

4 × 2 + 7 ×3 = 8 + 21 = 29 , таким образом, по свойству (1.3)

= lim

( x )3

- 3y

lim a

n→∞

4xn + 7 yn

= lim

2( x

)3 - 3y

Ответ: lim a

n→∞

4xn

+ 7 yn

Также для вычисления предела последовательности используются

следующие свойства:

= a ,

lim yn = b , при

Если

существуют

конечные

пределы lim xn

этом

a > 0 , функция f

n→∞

одна из основных элементарных функций и определена в

точке b , то существуют и пределы

lim f

n→∞

в частности

( yn ) = f (lim yn ) = f (b) ,
	n→∞
lim loga ( yn ) = loga (lim yn ) = loga (b) ,
n→∞	n→∞
limsin	( yn ) = sin (lim yn ) = sin (b) ,
n→∞	n→∞

lim arcsin ( yn ) = arcsin (lim yn ) = arcsin (b) ,
n→∞		=		=	n→∞

lim	yn		lim yn		b ,
n→∞		= k	n→∞	= k
lim k	yn	= k	lim yn	= k	b ,
n→∞			n→∞

lim y

lim a yn = an→∞ n = ab ;

n→∞

lim ( x yn ) = ab .

n→∞ n

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

Пример 1.2. Найдите предел последовательности

a =

5 ×(sin

( xn ))3

- 3log2 yn

, если lim x =

, lim y

= 8 .

2xn - 3 × 3

n→∞

Решение. an =

5 ×

(sin ( xn ))3

- 3log2 yn

- 3

× 3 y

По условию lim x

, тогда

n→∞

По свойству (1.9)

limsin ( x

) = sin

n→∞

по свойству (1.5)

lim (sin ( x

))3 =

3 .

n→∞

По условию lim yn

= 8 ,

n→∞

2 ( yn ) = log2 8 = 3 .

тогда по свойству (1.8)

lim log

n→∞

Используя

полученные

результаты,

находим

предел

числителя

lim

(5 ×(sin ( xn ))3 - 3log2 yn ) = 5 ×

- 3 ×3 = -8

n→∞

= 8 ,

По условию lim yn

n→∞

по свойству (1.12)

= 3

= 2 ,

lim 3 yn

n→∞

lim

(2xn - 3 × 3

) = 2 ×

- 3 × 2 =

π − 18

n→∞

Тогда искомый предел найдем по свойству (1.6)

5 × (sin ( xn ))

- 3log2

-8

67 × 3

lim

= -

π -18

8(π -18)

(18 - π )

n→∞

2xn - 3 × 3 yn

201

8(18 - π )

5 ×(sin ( xn ))3 - 3log2

Ответ: lim

201

4(36 - 2π )

n→∞

- 3 × 3 y

Пример 1.3.

3 xn

(2 - yn )

- 3arcsin

Найдите предел последовательности a =

, если

yn −2 - 5 y

lim xn = 2 , lim yn = 3 .

n→∞

Решение.

= 3 ,

По условию lim yn

n®¥

(

2 - yn )3 xn = (2 - 3)3×2 = (-1)6 =1.

По свойствам (1.1) , (1.14)

lim

= 2 ,

n®¥

По условию lim x

n®¥ n

по свойству (1.10)

lim arcsin

= arcsin

n®¥

Тогда предел числителя найдем по свойству (1.1)

3xn

2 - π

lim

(2 - yn )

- 3arcsin

= 1 - 3 ×

n®¥

а применяя свойства (1.1) , (1.14) предел знаменателя

lim

(6xn yn -2 - 5 yn ) = 6 × 23-2 - 5 ×3 =12 -15 = -3 .

n®¥

(2 + yn )

3xn

- 3arcsin

π - 2

По свойству (1.6) lim

2 - π

: (-3) =

yn -2

- 5 yn

n®¥

6xn

π − 2

Ответ: lim a

n®¥

Определение 1.8. Последовательность αn

называется бесконечно малой,

если для сколь угодно малого положительного числа ε

существует номер

N (ε ) такой, что при всех n ³ N

выполняется неравенство

< ε :

( ε > 0 ) ( N (ε ) N ) ( n > N (ε ) ) (

αn

< ε ) .

Запишем определение в виде:

( ε > 0 ) ( N (ε ) N ) ( n > N (ε ) ) ( αn − 0 < ε )

это означает, что предел последовательности равен нулю, то есть предел бесконечно малой последовательности равен нулю и последовательность, предел которой равен нулю, – бесконечно малая.

Пример 1.4. Найдите предел последовательности

2 × xn + αn

- 3

3αn - yn -α

× x

= 2 , lim y

= 3 , а последовательность α

если lim x

бесконечно малая.

n®¥ n

n®¥

Решение:

= 2 , тогда

По условию lim x

n®¥

по свойству (1.2)

lim 2 × xn = 2 × 2 = 4 ,

по свойству (1.1)

n®¥

(2 × xn + αn ) = 4 + 0 = 4 ,

lim

n®¥

по свойству (1.11) lim

= 2 ,

2 × xn + αn

n®¥

по свойству (1.1)

(

- 3) = 2 - 3 = -1 .

lim

2 × xn + αn

n→∞

По условию lim y

= 3

n→∞

(αn - yn ) = 0 - 3 ,

по свойству (1.1)

lim

n→∞

)

по свойству (1.13)

lim

3αn − yn

по свойству (1.2)

n→∞ (

lim

(αn × xn ) = 0 × 2 = 0 ,

n→∞

(3αn − yn

-αn × xn ) =

по свойству (1.1)

lim

- 0 =

n→∞

по свойству (1.6) lim an	= lim
n→∞	n→∞

Ответ: lim a = −27 .

n→∞ n

	2 × xn + αn	- 3	=	-1	= -27 .
3αn − yn -αn × xn			=	1	= -27 .
				1
				27
				27

Определение 1.9. Последовательность

{zn } называется

бесконечно

большой, если для сколь угодно малого положительного числа ε

существует

номер N (ε ) такой, что при всех n ³ N

выполняется неравенство

( "ε > 0 ) ( $N (ε )Î N ) ( "n > N (

ε ) )

Сравним определения сходящейся последовательности и бесконечно большой:

последовательность сходится, то есть существует предел последовательности

lim zn = a

("ε > 0)

($N (ε )Î N ) ("n > N (ε )) (

zn - a

< ε ),

n→∞

("ε > 0 ) ($N (ε )Î N )

{zn } - бесконечно большая

("n > N (ε ))

, вообще говоря, при достаточно малых

Выполнение неравенства

значениях ε

исключает выполнение неравенства

zn - a

<ε , тем самым мы

можем утверждать, что бесконечно большая последовательность не имеет предела, при этом она и не ограничена. Говорят, что бесконечно большие последовательности расходятся к бесконечности и записывают так:

lim z = ∞ .

n→∞ n

Надо отметить, что среди расходящихся последовательностей есть не только последовательности, расходящиеся к бесконечности, но и

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.201533.08 Mб55Players Handbook 4ed - ver.2010-08-16.pdf
#
23.03.2016255.52 Кб5polozhenie-o-magistrature-kgpupdf.pdf
#
12.03.2015292.52 Кб5Polozhenie_o_praktikakh.pdf
#
10.02.20151.9 Mб28polyakov.pdf
#
10.02.201571.68 Кб17portfolio studenta.doc
#
10.02.2015855.42 Кб11posobie_Predel_funktsii_1.pdf
#
28.08.201980.38 Кб10Practice 2012 ISP KSPU.doc
#
10.02.201528.16 Кб47Prakticheskoe_5_Udarenie.doc
#
10.02.2015854.02 Кб26Praktikum_latinsky_yazyk.doc
#
10.02.20158.25 Mб1960Praktikum_po_mat.doc
#
23.08.2019138.24 Кб7prav_ref реферат.doc