posobie_Predel_funktsii_1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределенность вида

Рассмотрим последовательность

, предел основания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

855.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Предел показательно-степенных последовательностей

степени 1, предел показателя ∞ , применять свойства пределов нельзя. Таким

образом, имеем неопределенность вида

1¥

Второй замечательный предел

1 n

(1.20)

lim

1 +

= e .

n®¥

Если limαn = 0 , то

n®¥

(1 + αn )αn

(1.21)

lim

= e .

n®¥

k n

Пример 1.44. Вычислите предел последовательности

lim

1 +

n®¥

Решение. lim

1 +

= ,

n®¥

× k и воспользуемся свойствами

домножим показатель степени на

n×

×k

степени 1

= 1

1 +

получим

= lim

1 +

= ,

n®¥

предел основания степени равен e , тогда исходный предел равен ek .

Таким образом, мы получили очень важный предел, который будем применять наряду с первым замечательным пределом.

	+	k n	= e	k		(1.22).
lim 1
lim 1
n→∞		n
Пример 1.45. Вычислите предел последовательности lim					n + 1	n .
Пример 1.45. Вычислите предел последовательности lim					n + 2	n .
				n→∞	n + 2

Решение. Предел основания степени 1, показатель – бесконечно большая последовательность, следовательно, раскрываем неопределенность

вида 1∞ .

n + 1 n = lim , n→∞ n + 2

разделим числитель и знаменатель дроби на n ,

= lim

= ,

n→∞

1 +

степень дроби равна отношению степеней числителя и знаменателя

1 n

= lim

= ,

n→∞

По свойству (1.22) предел числителя равен e , а знаменателя e2 , поэтому

окончательно получаем

n + 1 n

Ответ: lim

n→∞

n + 2

	n2		+ 3	n
Пример 1.46. Вычислите предел последовательности lim				.
Пример 1.46. Вычислите предел последовательности lim		2	− 4	.
n→∞	n		− 4

Решение. Выделим целую часть в основании степени запишем в числителе знаменатель, а затем прибавим слагаемое такое, чтобы числитель не изменился

− 4) + 7

= ,

lim

n2 − 4

n→∞

разделим почленно числитель на знаменатель

= lim

= ,

− 4

n→∞

домножим показатель степени на

n2 - 4

2 -4

×n

-4

= lim

1 +

= ,

− 4

n®¥

при возведении степени показатели умножаются, поэтому можем записать выражение в виде

					7
= lim	1	+			7

			n	2	− 4
n®¥			n		− 4

	7		×n
n2 -4
		n2 -4
7			= ,

вычислим пределы основания степени и показателя отдельно

n2 −4

7 n

lim

1 +

= e ,

lim

−

− 4

n→∞

n®¥ n

тогда наш предел по свойству (1.14) равен

= e0 =1 .

+ 3

Ответ: lim

= e7 .

- 4

n→∞

Пример 1.47. Вычислите предел функции lim

→∞ n


		7
		n2
= lim				= 0	,
= lim				= 0	,
n®¥	1 −		4
	1 −		n2
			n2

2n2 + n + 5			3n2 +1	.
	2
2n		+ n + 4

Решение. Данная последовательность представляет собой степень,

основание которой стремится к единице: lim		2n2	+ n + 5	= 1, а показатель к
основание которой стремится к единице: lim			+ n + 4	= 1, а показатель к
	n→∞ 2n2		+ n + 4
бесконечности lim	3n2 + 1 = ∞ .
n→∞ (	)		∞
			∞		.
Таким образом, мы имеем неопределенность вида 1					.

Преобразуем выражение так, чтобы использовать второй замечательный предел.

выделим целую часть дроби, числитель представляем в виде суммы знаменателя и единицы, разделим почленно тогда

(2n2 + n + 4) +1

3n2 +1

= lim

lim 1 +

= ,

n®¥

+ n + 4

n®¥

показатель степени домножим на (2n2 + n + 4)×

2n2 + n + 4

(3n2 +1)

(2n2 +n+4)×

+n+4

= lim

1 +

= ,

n®¥

2n2 + n + 4

при возведении степени в степень показатели умножаются, поэтому представим выражение в виде

(2n2 +n+4)

(3n2 +1)

2n2

+n+4

= lim

1 +

= ,

n®¥

+ n + 4

(

+ n + 4) = ¥ ,

2n2 +n+4

так как

lim

то

lim

1 +

= e ,

n®¥

2n2 + n + 4

а предел показателя вычислим отдельно

3n2 + 1

3 +

lim

= lim

= 3 ,

n®¥ 2n2 + n + 4

n®¥

2 +

тогда исходный предел равен e 2 .

2n2 + n + 5

3n2 +1

= e 2 .

Ответ:

lim

n®¥

+ n + 4

Глава 2. Пределы функций одного переменного

Основные определения, свойства пределов функций одной переменной

Основные определения

Определение 2.1. Число A называется пределом функции при x → a ,

если для любой сходящейся к a последовательности { xn} ,

такой что xn ¹ a

для любого n , последовательность { f ( xn )} сходится к числу A .

Определение 2.2. Число A

называют пределом функции

y = f ( x)

при

x → ∞ , если для

любой бесконечно большой

последовательности

{ xn}

последовательность { f ( xn )} сходится к числу A .

Определение 2.3. Число A

называют пределом функции

y = f ( x)

при

x → + ∞ ,

если

для

любой

бесконечно

большой

положительной

последовательности { xn}

последовательность { f ( xn )}

сходится к числу A .

Определение 2.4. Число A

называют пределом функции

y = f ( x)

при

x → −∞ ,

если

для

любой

бесконечно

большой

отрицательной

последовательности { xn}

последовательность { f ( xn )}

сходится к числу A .

Пример 2.1. Вычислите предел функции lim

3 − 2x

x→4

x2 + 4

Решение.

lim xn = 4 , тогда

Так как последовательность {xn } , такая, что xn ¹ 4 и

lim (3 - 2xn ) = 3 - 2 × 4 = -5

n→∞

предел

числителя

предел

знаменателя

n→∞

− 5

lim (xn2 + 4) = 42 + 4 = 20 , тем самым предел функции равен

= −

n→∞

3 − 2x

Ответ: lim

= −

x→4 x2 + 4

Пример 2.2. Вычислите предел функции lim

x2 −1

x→1

x2 + 2x + 3

Решение. Возьмем некоторую последовательность {xn } , такую что xn ¹ 1

и lim xn =1, вычислим

значение

функции

f ( x)

x2 −1

в точке xn

+ 2x + 3

n→∞

( x )2 −1

f ( xn ) =

Чтобы

найти предел

по

определению

нужно

( x

)2 + 2x

+ 3

{

}

, на

вычислить

предел

последовательности

f ( x

)

основании

свойств

пределов последовательностей предел числителя равен нулю, а знаменателя 6 , тогда предел дроби равен нулю.

Ответ: lim	x2 −1	= 0 .
Ответ: lim	x2 + 2x + 3	= 0 .
x→1	x2 + 2x + 3
Пример 2.3. Вычислите предел функции lim				x − 5	.

				(x − 3)2
			x→3	(x − 3)2
Решение.	Рассмотрим		последовательность	{xn } , такую что		xn ¹ 3 ,
lim xn = 3 , на	основании		свойств пределов последовательностей			предел
n→∞

числителя равен (−2) , а последовательность в знаменателе положительная и

бесконечно малая, тогда на основании свойств бесконечно малых и бесконечно больших свойств, исходный предел равен бесконечности.

x − 5

− 2

lim

= −∞ .

x→3 (x − 3)

+ 0

Ответ: lim

x − 5

= −∞ .

(x − 3)2

x→3

Пример 2.4. Вычислите предел функции lim

7x + 8

x→−1

1 − x2

Решение.

Рассмотрим

последовательность

{xn } , такую что

xn ¹ -1,

lim xn = -1, на

основании

свойств пределов

последовательностей,

предел

n→∞

последовательности {7xn + 8} равен единице, а предел знаменателя {1 − xn

+ 8

7xn

равен нулю, тогда последовательность

бесконечно большая, то

1 − ( xn )

7x + 8

есть lim

= ∞ .

x→−1 1 − x2

7x + 8

Ответ: lim

= ∞ .

1 − x2

x→−1

Замечание. В примере 2.3. мы смогли определить знак бесконечности, а

впримере 2.4. определить знак бесконечности невозможно, если

рассматривать последовательность

{ xn } ,

такую что

xn < −1, то функция в

этих точках будет отрицательна, а если

xn > −1, то положительна, поэтому

мы получим бесконечно большую функцию, но не сохраняющую знак.

Пример 2.5. Вычислите предел функции

lim

→+∞ x3 + 1

Решение.

Рассмотрим

бесконечно

большую

положительную

последовательность

{xn } ,

тогда

последовательность

{( xn )3 + 1}

также

бесконечно большая и положительная, тогда

бесконечно малая.

( x )

+ 1

Получаем

lim

= 0 .

x3 +

x→+∞

Ответ:

lim

= 0 .

x→+∞

x−4

Пример 2.6. Вычислите предел функции lim 2 x2 .

x→0

{ xn } ,

Решение.

Рассмотрим бесконечно

малую

последовательность

− 4

такую

что

xn ¹ 0 ,

тогда

последовательность

отрицательная

( xn )

бесконечно большая, а на основании свойства (2.15) предел равен нулю.

x−4

= 2−∞

= 0 .

То есть lim 2 x2

x→0

x−4

= 0 .

Ответ: lim 2 x2

x→0

x−4

Пример 2.7. Вычислите предел функции lim 2 x2 .

→∞

Решение.

Рассмотрим бесконечно большую последовательность { xn } ,

− 4

найдем

предел

последовательности

последовательность

( x

)

знаменателе бесконечно большая положительная, в числителе бесконечно

∞

большая, имеем неопределенность вида ∞ раскрываем ее, как и ранее,

			4		1
разделим числитель и знаменатель на xn	, получим 1	-	4	×	1	, эта
разделим числитель и знаменатель на xn	, получим 1	-		×		, эта
			xn		xn

последовательность уже является частным сходящейся и бесконечно большой, то есть бесконечно малой. Тогда предел исходной функции равен единицы.

	x−4
lim 2 x2		= 20 =1.
x→∞

x−4

Ответ: lim 2 x2

x→∞

=1.

Замечание. В примерах 2.6. и 2.7. рассматриваем одну и ту же функцию, но пределы в точке и на бесконечности, как мы увидели, они различны, если бы мы рассматривали предел в какой-то другой точке, то возможно получили бы иное значение или одно, из уже полученных.

Используя определение предела функции и уже сформулированные свойства пределов последовательностей можно доказать свойства пределов функции.

Свойства пределов функций

Предел единственен.

Если функция имеет предел в точке a , то существует окрестность этой точки, в которой данная функция ограничена.

Теоремы об арифметических операциях над пределами

Если существуют пределы lim f ( x) , lim g ( x), то существуют
	x→a	x→a
предел линейной комбинации
	lim (b × f ( x) + c × g ( x)) = b × lim f ( x) + c × lim g ( x)			(2.1)
	x→a	x→a	x→a
	в частности			(2.2)
	lim C × f ( x) = C × lim f ( x)			(2.2)
	x→a	x→a
предел произведения
lim ( f ( x) × g ( x)) = lim f ( x) × lim g ( x)				(2.3)
x→a	x→a	x→a
	в частности
	lim f ( x)2 = (lim f ( x))2			(2.4)
	x→a	x→a

lim f ( x)k = (lim f ( x))k

(2.5)

x→a

предел частного (при условии что lim g ( x) ¹ 0 )

f ( x)

lim f ( x)

x→a

lim

x→a

(2.6)

lim g ( x)

x→a g ( x)

x→a

Если существует конечный предел lim g ( x) = B , функция ϕ

одна из

x→a

основных элементарных функций и определена в точке B , то существуют и

пределы

limϕ (g ( x)) = ϕ

(lim g ( x)) = ϕ ( B) ,

(2.7)

x→a

в частности

lim loga (g ( x)) = loga (lim g ( x)) = loga ( B)

(2.8)

x→a

limsin (g ( x)) = sin (lim g ( x)) = sin ( B)

(2.9)

x→a

limarcsin (g ( x)) = arcsin (lim g ( x)) = arcsin ( B)

(2.10)

x→a

(2.11)

lim

g ( x)

lim g ( x)

x→a

(2.12)

lim k

g ( x)

= k

lim g ( x)

= k

x→a

lim Ag( x) =

lim g

)

= AB

(2.13)

Ax→a

(

x→a

Если существуют конечные пределы

lim f ( x) = A ,

lim g ( x) = B , при

этом A > 0 ,

x→a

то существует предел

lim g ( x)

lim f

( x) g ( x) =

lim f

(2.14) .

( x) x→a

= AB

x→a

→a

Замечание. Все свойства пределов распространяются и на случай, когда

x → ∞ , x → +∞ , x → −∞ .

Пример 2.8. Вычислите предел функции lim

3x + 2

x→2 2x - 3

Решение. Применяя свойство (2.1) , вычислим пределы числителя

lim(3x + 2) = 3lim x + lim 2 = 3 × 2 + 2 = 8

x→2

и знаменателя

lim(2x - 3) = 2lim x - 3 = 2 × 2 - 3 =1,

x→2

тогда по свойству (2.6) предел функции

	3x + 2			lim(3x + 2)					8
lim		=		x→2				=		= 8 .
				lim(2x - 3)
x→2 2x - 3								1
				x→2
Ответ: lim			3x + 2		=	8	= 8.

	x→2 2x - 3				1

Пример 2.9. Вычислите предел функции lim 7 .

x→π tgx

Решение. Преобразуем выражение задающее функцию

7	=	7	= 7ctg x
	=	1	= 7ctg x
tg x		1
		ctg x

Вычислим предел lim (7 × ctgx) = 7 lim ctg x = 7 × 0 = 0
		x→π	x→π
	2		2
Ответ: lim	7	= 0
Ответ: lim		= 0
x→π	tgx
2

Формально вычисление предела в рассмотренных примерах напоминает подстановку предельного значения переменного в выражение, задающее функцию, при этом получаем значение функции в предельной точке. Будем и в дальнейшем этими пользоваться, то есть вместо рассуждений связанных с последовательностями или применением свойств пределов, просто будем подставлять предельное значение переменного.

Вычисление пределов функции

Использование арифметических свойств пределов функций подразумевает, что пределы некоторых функций известны. В случае последовательностей большую роль играли бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, поэтому сформулируем определения бесконечно больших и бесконечно малых функций и рассмотрим каким образом эти функции применяются при вычислении пределов функций.

Определение 2.5. Функция называется бесконечно малой при x → a ,

если для любой сходящейся к a последовательности {xn} , такой что xn ¹ a ,

последовательность { f ( xn )} является бесконечно малой. Предел бесконечно малой функции f при x , стремящемся к a , равен нулю, то есть

lim f ( x) = 0 .

x→a

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.201533.08 Mб56Players Handbook 4ed - ver.2010-08-16.pdf
#
23.03.2016255.52 Кб5polozhenie-o-magistrature-kgpupdf.pdf
#
12.03.2015292.52 Кб5Polozhenie_o_praktikakh.pdf
#
10.02.20151.9 Mб28polyakov.pdf
#
10.02.201571.68 Кб18portfolio studenta.doc
#
10.02.2015855.42 Кб11posobie_Predel_funktsii_1.pdf
#
28.08.201980.38 Кб10Practice 2012 ISP KSPU.doc
#
10.02.201528.16 Кб47Prakticheskoe_5_Udarenie.doc
#
10.02.2015854.02 Кб26Praktikum_latinsky_yazyk.doc
#
10.02.20158.25 Mб1963Praktikum_po_mat.doc
#
23.08.2019138.24 Кб7prav_ref реферат.doc