Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobie_Predel_funktsii_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

855.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

		71
подстановка предельного значения переменного приводит к
неопределенности	0	, однако в отличие от предыдущих примеров

0

иррациональность присутствует в числителе и в знаменателе, следовательно,

домножаем на сопряженные выражения и к числителю и к знаменателю

(2 + x )(3 + 2x +1)

(2 - x )(2 + x )(3 + 2x +1)

x→4	(3 - 2x +1)(3 + 2x +1)(2 + x )
= lim		= ,

применим формулу разности квадратов

	(4 - x)(3 +				)
= lim	(4 - x)(3 +		2x +1		)
= lim
x→4	(9 - 2x -1)(2 + x )
приводим подобные
	(4 - x)(3 +			)
= lim	(4 - x)(3 +	2x +1		)


x→4	(8 - 2x)(2 + x )

вынесем общий множитель

(4 - x)(3 +

)

= lim

2x +1

= ,

x→4

2(4 - x)(2 +

x )

сократим и подставим

= lim

3 +

2x + 1

x→4 2(2 + x )

8 4

2 −

Ответ: lim

x→4 3

−

2x + 1

- 3

Пример 2.21. Вычислите предел функции lim

2x +1

x - 2 -

x→4

Решение.

значение x = 4

Подставим

числитель

знаменатель, получим

- 3 = 0 ,

= 0 ,

2 × 4 +1

2 - 2

то есть, раскрываем неопределенность вида

, для

этого

домножим

числитель и знаменатель

на

произведение

выражений

сопряженных

числителю

знаменателю

( x - 2 + 2 ) ×(2x +1 + 3) ,

(

− 3)(

+ 3)(

)

2x + 1

x − 2

x→4 ( x − 2 − 2 )( x − 2 + 2 )( 2x + 1 + 3)

= lim

= ,

используем разность квадратов в числителе и знаменателе

(2x + 1 − 9)(

)

= lim

x − 2

= ,

x→4

( x − 2 − 2)(

2x +

1 + 3)

приведем подобные

2( x − 4)(

)

= lim

x − 2

= ,

x→4

( x − 4)(

2x + 1 + 3)

сократим

)

= lim

x − 2

= ,

x→4

( 2x + 1 +

подставим значение x = 4

− 3

Ответ:

lim

2x + 1

2 2

x - 2 −

x→4

− 3

Пример 2.22. Вычислите предел функции lim

10 − x

2 −

x→1

x + 3

− 3

Решение. lim

10 − x

x→1

2 −

x + 3

При подстановке предельного значения переменного получаем

неопределенность вида

, так как при x → 1

числитель и знаменатель

стремятся к нулю. Домножим числитель и знаменатель дроби на выражения,

сопряженные к ним, то есть на (10 − x + 3)(2 + x + 3 )

(

− 3)(

+ 3)(2 +

)

x→1

10 − x

x + 3

(2 − x + 3 )(2 + x + 3 )(

10 − x + 3)

= lim

= ,

используем формулу разности квадратов

(10 − x − 9)(2 +

)

= lim

x + 3

= ,

x→1

(4 − x − 3)( 10 − x + 3)

приводим подобные

(1 - x)(2 +

)

= lim

x + 3

= ,

x→1 (1 - x)( 10 - x + 3)

сократим и подставим

2 +

= lim

x + 3

10 − x + 3

x→1

− 3

Ответ:

lim

10 − x

x→1

2 −

x + 3

−

Пример 2.23. Вычислите предел lim

1 + x + x2

1 − x + x2

x2 − x

x→0

Решение.

lim

−

1 + x + x2

1 − x + x2

= ,

x2 − x

x→0

подстановка значения x = 0 дает неопределенность вида

, домножим

числитель

знаменатель

дроби

на сопряженное

выражение

(1 + x + x2 + 1 - x + x2 ):

= lim

1 + x + x2 -1 + x - x2

= ,

x→0 x ( x -1)(

1 + x + x2 + 1 - x + x2 )

приведем подобные

= lim

x→0 x ( x -1)(

1 + x + x2 + 1 - x + x2 )

сократим

= lim

x→0 ( x -1)( 1 + x + x2 + 1 - x + x2 )

и подставим

= -1.

-1×(1 +1)

Ответ: lim

1 + x + x2 - 1 - x + x2

= -1.

x2 - x

x→0

x3 − 3x

Пример 2.24. Вычислите предел функции lim

x→0

3 x2 + 8 − 2

Решение. lim		x3 - 3x	=

	3 x2 + 8 - 2
x→0
подстановка	значения x = 0 дает неопределенность вида			0	,

			0

знаменатель содержит корень третьей степени, домножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы (3 x2 + 8 + 2), то есть на

x2 + 8 )

+ 23 x2 + 8 +

4 и получим

(

)

3 x2 +

23 x2 +

= lim

(x3 − 3x)

8 + 4

(

) (

)

x→0

+ 8 − 2

+ 8

+ 2

+ 8 + 4

применим формулу разности кубов

+ 3 a × 3 b + (3 b )

a - b = (3 a - 3 b ) × (3 a )

получим

(x3 −

3x)

(

x2 + 8

)

+ 23

x2 +

8 + 4

= lim

= ,

)3 − 23

x→0

x2 + 8

(x3 −

3x)

(

x2 + 8

)

+ 23

x2 +

8 + 4

= lim

= ,

x2 + 8 − 8

x→0

приведем подобные

)

x2 +

+ 23

x (x2 − 3)

x2 + 8 + 4

= lim

(

= ,

x→0

сократим

(

)

(x2 −

3 x2 + 8

+ 23 x2 + 8 +

= lim

= ,

x→0

	3		2		3
подставим, в числителе получаем число −3 (		8 )	2	+ 2		8 + 4 , а в
подставим, в числителе получаем число −3 (		8 )		+ 2		8 + 4 , а в

знаменателе 0 , тогда искомый предел равен ∞ .

Ответ: lim

x3 - 3x

= ¥.

x→0 3 x2 + 8 - 2

- 3x + 4

Пример 2.25. Вычислите предел функции lim

6 - x

x→2

3 x -1 -1

3x + 4

Решение lim

6 - x

x→2

3 x -1 -1

подстановка значения x = 0 дает неопределенность вида

числитель

- 3x + 4 =

- (3x - 4) ,

преобразуем

6 - x

домножим

числитель и знаменатель на сопряженное к числителю и неполный квадрат

суммы (3

+ 3

+1)

(x -1)2

x -1

= lim

(

+ (4 - 3x)) ×(

- (4 - 3x)) ×(3

+ 3

+1)

= ,

(x -1)2

6 - x

x -1

+1)×(

-1)×(3 (x -1)2 + 3

x→2

( 3

x -1

6 - x

- (4 - 3x))

используем формулы разности квадратов и разности кубов

= lim

(6 - x -16 + 24x - 9x2 )×3

( x -1 -1) × 4

x→2

приведем подобные

lim

- 9x2 + 23x -10

= ,

x - 2

4 x→2

переменного,

подставим

предельное

значение

получим

неопределенность

, раскладываем числитель на множители

−10 , тогда x

x = 2 , по теореме Виета x

× x =

, поэтому

-9

-9x

+ 23x

-10 = -9( x - 2) x -

подставим

полученное

разложение, сократим и подставим

значение

x = 2

9( x - 2) x

× lim

= -

x - 2

x→2

3x + 4

= -

Ответ:

lim

6 - x

x→2

3 x -1 -1

Пример 2.26. Вычислите предел функции lim

2x + 3

- 3

7x + 6

Решение.

x→3

x2 - 9

- 3

lim

2x + 3

7x + 6

x2 - 9

x→3

после

подстановки предельного значения

переменного получим

неопределенность вида , однако, в данном случае разность квадратного и

кубического корня и домножение на сопряженное и на неполный квадрат суммы не поможет раскрыть неопределенность, в числителе прибавим и отнимем 3

= lim

2x + 3

- 3 + 3 - 3

7x + 6

= ,

x2 - 9

x→3

сгруппируем слагаемые в числителе и воспользуемся тем, что предел

суммы равен сумме пределов, если последние существуют

- 3

3 - 3

= lim

2x + 3

+ lim

7x + 6

= ,

x2 - 9

- 9

x→3

будем вычислять пределы отдельно применяя для каждого

соответствующий прием

= lim

2x + 3 − 9

+ lim

27 − 7x − 6

x→3

(x2 - 9)(

2x + 3 + 3)

x→3

(x2 - 9)(9 + 33

7x + 6

+ 3 (7x + 6)2 )

= lim

2( x - 3)

+ lim

-7( x - 3)

( x - 3)( x

+ 3) × 6

( x - 3)( x + 3) ×

x→3

сократим и подставим предельное значение переменного, получим

−

162

- 3

Ответ: lim

2x + 3

7x + 6

x2 - 9

x→3

− 2

Пример 2.27. Вычислите предел функции lim

x→16

x − 4

− 2

= ,

Решение.

lim

x→16

x − 4

после подстановки предельного значения переменного получим

неопределенность

вида

домножим числитель и знаменатель на

( 4 x + 2), получим

	( 4		− 4)( 4		+ 2)
x→16	( 4	x	− 4)( 4	x	+ 2)
x→16	( x − 4)( 4			x + 2)
= lim						= ,

применим формулу разности квадратов

x→16

− 4

( x − 4)( 4 x + 2)

= lim

= ,

сократим и подставим

= lim

x→16

4 x +

2 4

− 2

Ответ:

lim

x→16

x − 4

Неопределенность вида в случае тригонометрических функций

В случае, когда под знаком предела стоят тригонометрические функции,

дающие неопределенность , используется первый замечательный предел.0

Первый замечательный предел

lim

sin x

= 1.

(2.42)

x→0

Следствия из первого замечательного предела

lim

= 1

(2.43)

x→0 sin x

lim

tg x

= 1

(2.44)

lim

= 1

(2.45)

x→0

x→0 tg x

lim

arcsin x

= 1

(2.46)

lim

= 1

(2.47)

x→0

x→0 arcsin x

lim

arctg x

= 1

(2.48)

lim

= 1

(2.49)

x→0

x→0 arctg x

Если lim f ( x) = 0 , то

x→a

lim

sin f ( x)

(2.50)

x→a f ( x)

sin

2 x

Пример 2.28. Вычислите предел функции lim

→0

sin

Решение.

lim

x→0

x = 0 в

подставим

значение

числитель

знаменатель, получим

sin

= 0 ,

0 , раскрываем неопределенность вида

для этого в

x 2

знаменателе выделим квадрат аргумента синуса

= 9 ×

sin

= lim

= ,

x 2

x→0

9 ×

вынесем числовой множитель из знаменателя и воспользуемся первым

замечательным пределом

sin

lim

9 x→0

sin

Ответ: lim

x→0

Пример 2.29. Вычислите предел функции lim

tg 3x

→0

sin 4x

Решение. lim

tg3x

x→0 sin 4x

Подставим

предельное

значение

переменного,

получим

неопределенность

, представим выражение задающее функцию в виде

произведения

tg3x

, предел произведения равен произведению

sin 4x

пределов, при этом учтем, что lim

tg3x

=1,

lim

=1,

x→0 3x

x→0 sin 4x

тогда получим

tg3x

= lim

x→0 3x

sin 4x

Ответ: lim

tg 3x

sin 4x

x→0

Пример 2.30. Вычислите предел функции lim

1 − cos8x

x→0

2x2

Решение. lim

= ,

x→0

2x2

подставим

предельное

значение

переменного,

получим

неопределенность

вида

применим

формулу

повышения

степени

1 - cos8x = 2sin2 4x , получим

= lim

2sin2 4x

= ,

x→0

2x2

sin2 4x

16sin2 4x

sin2 4x

sin 4x 2

преобразуем дробь

=16

=16 ×

(4x)

16x

учтем, что lim

sin 4x

=1, получим

x→0

sin 4x 2

=16 × lim

=16 .

x→0

Ответ: lim

1 − cos8x

=16 .

x→0

2x2

Пример 2.31. Вычислите предел

lim

cos x

x→π

/ 2

π - 2x

Решение.

lim

= ,

x→π

/ 2 π - 2x

переменного,

подставим

предельное

значение

получаем

неопределенность вида

, тогда сделаем замену переменного x = π / 2 − y ,

y = π / 2 − x , а π − 2x = π − π + 2 y ,

подставим

= lim cos(π / 2 − y) = ,
y→0	2 y

используем формулу приведения

= lim	sin y				=

y→0		2 y
		1		sin y			1
= lim			×			=
							2
y→0 2					y

Ответ:

lim

cos x

x→π / 2

π - 2x

Пример 2.32. Вычислите предел функции lim

sin 2x x2 −2

x→0

sin 3x

Решение. Вычислим предел основания степени

lim

sin 2x

x→0 sin 3x

подставим

предельное

значение

переменного,

получаем

неопределенность вида

, преобразуем дробь в произведение дробей

sin 2x

= lim

x→0

sin 3x

пределы первой и третьей дробей равны единице, тогда предел

основания

равен

предел

показателя lim(x2 - 2) = -2 , тогда

искомый

x→0

−2

предел равен

sin 2x x2 −2

Ответ: lim

x→0

sin 3x

1 − cos 2x

Пример 2.33. Вычислите предел функции lim

1 − cos 2x

x→0 cos 7x - cos3x

Решение. lim

= ,

x→0 cos 7x - cos3x

подстановка предельного значения приводит к неопределённости вида

0 .0

Применим формулы

1 - cos 2x = 2sin2 x ,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.201533.08 Mб56Players Handbook 4ed - ver.2010-08-16.pdf
#
23.03.2016255.52 Кб5polozhenie-o-magistrature-kgpupdf.pdf
#
12.03.2015292.52 Кб5Polozhenie_o_praktikakh.pdf
#
10.02.20151.9 Mб28polyakov.pdf
#
10.02.201571.68 Кб18portfolio studenta.doc
#
10.02.2015855.42 Кб11posobie_Predel_funktsii_1.pdf
#
28.08.201980.38 Кб10Practice 2012 ISP KSPU.doc
#
10.02.201528.16 Кб47Prakticheskoe_5_Udarenie.doc
#
10.02.2015854.02 Кб26Praktikum_latinsky_yazyk.doc
#
10.02.20158.25 Mб1963Praktikum_po_mat.doc
#
23.08.2019138.24 Кб7prav_ref реферат.doc