Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobie_Predel_funktsii_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

855.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

= lim

2 ×

(-1)

= ,

n→∞

1 +

+ 2 1 +

1 +

+1 +

учитывая бесконечно малые, получаем

2 ×(-1)

= -

(

)(

+1 + 0)

+1 + 2

1 + 0

Ответ: lim n 2 (

n + 2 - 2

n +1 +

n )

= -

n→∞

Пример 1.33. Вычислите предел последовательности

−

lim

n(n4

+ 1)

(n3 −1)(n2 + 2)

n→∞

Решение. Определим тип неопределенности: в числителе разность бесконечно больших положительных последовательностей, поэтому в числителе имеем неопределенность [∞ − ∞] , а в знаменателе также бесконечно большая последовательность, отсюда имеем неопределённость

∞ − ∞		Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение,
∞	.

сопряжённое к числителю:

(

−

)(

)

n5 + n

n5 + 2n3 − n2 − 2

n5 + n

n5 + 2n3 − n2 − 2

lim

( n5 + n + n5 + 2n3 − n2 − 2 )

n→∞

воспользуемся формулой разности квадратов

(

−

)(

) = a − b

= lim

n5 + n − (n5 + 2n3 − n2 − 2)

( n5 + n + n5 + 2n3 − n2 − 2 )

n→∞

раскроем скобки

= lim

n5 + n − n5 − 2n3 + n2 + 2

( n5 + n + n5 + 2n3 − n2 − 2 )

n→∞

приведем подобные

= lim

−2n3 + n2 + n + 2

( n5 + n + n5 + 2n3 − n2 − 2 )

n→∞

разделим числитель и знаменатель на n3

−2 +

= lim

= ,

n→∞

+ 1 +

−

воспользуемся арифметическими свойствами предела и тем, что

–

бесконечно малая последовательность при k > 0

lim −2 +

− 2

n→∞

= −1 .

lim 1 +

1 +

−

n→∞

−

Ответ: lim

n(n4 + 1)

(n3 −1)(n2 + 2)

= −1 .

n→∞

− n 3

2n4

+ n3 + 1

Пример 1.34. Найдите предел lim

2n + 3

n→∞

3 n + 1

Решение. Определяем тип неопределённости: в числителе разность бесконечно больших положительных последовательностей, в знаменателе

бесконечно большая положительная последовательность, поэтому	∞ − ∞	.
	∞

Вчислителе разность кубических корней, домножим числитель и

+ n 3

2n4 + n3 + 1

знаменатель

на

неполный

квадрат

суммы

2n + 3

дополняющий числитель до разности кубов:

) 3

+ n 3

+ n2 3

− n 3

(2n4 + n3 + 1)2

(

2n + 3)2

(2n4

+ n3 + 1)(2n + 3)

2n4 + n3 + 1

2n + 3

= lim

(

)

(

)(

)

(

)

n→∞

+ n3 + 1 2 + n 3

+ n2 3

2n + 3

2n4

2n4 + n3 +

+ 3

n + 1

применяем формулу разности кубов

= lim

2n4 + n3 + 1 − 2n4 − 3n3

= ,

(2n4 + n3 + 1)2 + n 3

n→∞ 3

+ n2 3

(

2n + 3)2

(2n4 + n3 + 1)(2n + 3)

n + 1

приведем подобные в числителе

= lim

−2n3 + 1

= .

3 (2n4 + n3 + 1)2 + n 3

n→∞

+ n2 3

(2n + 3)2

(2n4 + n3 + 1)(2n + 3)

n + 1

В числителе имеем бесконечно большую последовательность {−2n3 + 1} ,

{ 3

}

знаменателе

произведение

бесконечно большой

n +1

суммы

бесконечно

больших

положительных

последовательностей

3 (2n

+ n

+1)

+ n 3 (

+ n

+1)(2n +

3) + n

3 (2n +

, то есть имеем

∞

неопределенность вида

. Определим степени числителя и знаменателя: в

числителе многочлен степени 3 , в знаменателе множитель { 3

}

n +1

степени

(2n4 + n3 +1)2

+ n 3

+ n2 3

(2n + 3)2

, а множитель

(2n4 + n3 +1)(2n + 3)

имеет

степень

× 4 × 2 =

степень

знаменателя

3 ,

поэтому

разделим

числитель и знаменатель на n3

- 2n3

= lim

= ,

n→∞

× 3

(2n4 + n3 +1)2 + n 3

+ n2 3

(2n + 3)2

(2n4 + n3 +1)(2n + 3)

n +1

для того чтобы удобнее было делить представим n3

= 3

× 3 n8

-2 +

= lim

= ,

n→∞

× 3

(2n4 + n3 +1)2 + n 3

+ n2 3

(2n + 3)2

(2n4 + n3 +1)(2n + 3)

n +1

× 3 n8

разделим произведение первый множитель в числителе на первый множитель в знаменателе, а второй на второй

																			-2 +					1
= lim																			-2 +					n3																						= ,
																								n3


n→∞															2
					(								)							(									)	(2n + 3)
				3		2n	4			3								n	3		2n		4			3							n	2		3	(2n				+		3)	2
				3			4			3									3				4			3								2		3								2
	n +1
3							+ n +1																	+ n +1
3	n		×				3									+									3							+						3
			×				3	n	8							+									3		n		8			+						3		n	8
								n																			n													n

после использования свойств степеней и корней получим
																	-2 +					1
= lim																	-2 +					n3																							= ,
																						n3


n→∞														2																												2
n→∞		1					1				1			2								1				1					3								3			2
3 1 +		1	3		2 +		1	+			1					+			2 +			1		+		1				2 +	3	+ 3			2 +				3
																	3
		n										4					3					n			n			4
		n					n n															n			n						n								n

учтем бесконечно малые, воспользуемся арифметическими свойствами предела

=			(3		−2 + 0				)	=
					+ 3		+ 3
				(2 + 0 + 0)2				(2 + 0)2
	3					(2 + 0 + 0)(2 + 0)
		1 + 0

				−2 + 0								−2
=				−2 + 0							=	−2			= −	3 2		.


3 1	(3 (2)	2	+ 3		(2)(2)	+ 3		(2)	2	)	3		3	4	3
		2							2				3		3
							− n 3
				2n4 + n3 + 1
Ответ: lim		3		2n4 + n3 + 1					2n + 3				= −		3 2		.

					3 n + 1
	n→∞				3 n + 1										3

Пределы, содержащие различные типы последовательностей

Пример 1.35. Найдите предел последовательности lim n + 3n . n→∞ 3n − 2

Решение. lim n + 3n = , n→∞ 3n − 2

в числителе и в знаменателе положительные бесконечно большие последовательности, тогда нужно разделить числитель и знаменатель на какую-то бесконечно большую последовательность, такую, чтобы мы, как и в большинстве предыдущих примеров, получили сумму постоянной и бесконечно малых, но на какую? В данном случае разделим на 3n , потому

что

бесконечно малая последовательность.

= lim

= ,

n→∞

−

сократим и, используя арифметические свойства пределов последовательностей, получим


		n	+ 1
		n
= lim	3				= 1

n→∞ 1 −			2
			3n

Ответ: lim				n + 3n		= 1.

		n→∞ 3n − 2

Пример 1.36. Вычислите предел последовательности lim

n + ln n

n→∞

3n + 2ln n

Решение. lim

= ,

+ 2ln n

n→∞ 3n

в числителе и знаменателе бесконечно большие последовательности,

разделим на n , так как последовательность

ln n

бесконечно малая

ln n

= lim

= ,

n→∞

+ 2

ln n

сократим и, используя арифметические свойства сходящихся

последовательностей, получим

1 +

ln n

= lim

n→∞ 3 + 2

ln n

Ответ: lim

n + ln n

n→∞ 3n + 2ln n

5n + 3ln n

Пример 1.37. Вычислите предел последовательности lim

5n + 3ln n

n→∞

5n+1 + 2ln n

Решение. lim

= ,

n→∞ 5n+1 + 2ln n

в числителе

знаменателе бесконечно

большие последовательности,

разделим на 5n

, так как последовательность

ln n

бесконечно малая

+ 3

ln n

= lim

= ,

n→∞ 5n+1

+ 2

ln n

сократим и, используя арифметические свойства сходящихся

последовательностей, получим

1 + 3

ln n

= lim

n→∞ 5 + 2

ln n

Ответ: lim

5n + 3ln n

n→∞ 5n+1 + 2ln n

Пример 1.38. Вычислите предел последовательности lim

5030n + 2n

n→∞

n!+ 1

Решение. lim

= ,

n→∞

n!+ 1

в числителе

и знаменателе

бесконечно

большие

последовательности,

разделим на n!,

так как последовательности

бесконечно

малые

5030n

= lim

= ,

n→∞

сократим и, используя арифметические свойства сходящихся

последовательностей, получим

5030n

= lim

= 0

n→∞

1 +

Ответ: lim

5030n + 2n

= 0

n→∞

n!+ 1

Пример 1.39. Вычислите предел последовательности lim

3n + n

n→∞

2n!+ n n

Решение.

lim

3n + n!

= ,

n→∞ 2n!+ n n

в числителе

и знаменателе

бесконечно

большие

последовательности,

разделим на

n!,

так как последовательности

бесконечно

малы, последовательность { n

}

единице,

сходится

поэтому

n n

последовательность n!

то есть бесконечно малая

= lim

= ,

n→∞

2n!

n n

- это частное сходящейся и бесконечно большой,

сократим и, используя арифметические свойства сходящихся последовательностей, получим

= lim

n→∞

Ответ: lim

3n + n!

n→∞ 2n!+ n n

Пример 1.40. Вычислите предел последовательности

+¼+

(n - 3) n n

lim

2n2 + 5

n→∞

Решение.

Поскольку lim n

=1 , то если существует предел

n→∞

n +

+¼+

(n - 3)

lim

, то он равен искомому пределу.

2n2 + 5

n→∞

Вынесем общий множитель за скобку n

1 +

+¼+

n(n - 3)

= lim

2n2 + 5

n→∞

Первый сомножитель в числителе является суммой геометрической прогрессии.

Найдём эту сумму по формуле S														= b			1 - qn				, q ¹ 1 :
Найдём эту сумму по формуле S														= b							, q ¹ 1 :
													n			1 1 - q
								1 -		1		3 -	1

	1			1						n+1			n				1					1
1 +	1	+…+		1		=		3			=	3			=		1	×	3	-		1			.
1 +		+…+		n		=				1	=				=			×	3	-			n		.
3				3				1 -		1		2			2							3
								1 -		3
										3
1					1
			× 3	-					(n2	- 3n)															(n	2	- 3n)
2			× 3	-			n		(n2	- 3n)				1						1						2
2					3									1						1
= lim												= lim				× 3 -								×						.
= lim				2n			2	+ 5				= lim				× 3 -					n			×	2n		2	+	5	.
n→∞				2n				+ 5				n→∞		2					3						2n			+	5

Вычислим отдельно пределы каждого из множителей:

		1 -		3
	n2 - 3n	1 -		n			1
lim	n2 - 3n	= lim		n		=	1	,
lim		= lim		5		=		,
n→∞ 2n2 + 5		n→∞	+	5	2
		2
		2		n2

					1					1				1			3
так как lim								= 0 , тоlim				3	-			=		.
так как lim					n			= 0 , тоlim				3	-	n		=	2	.
			n→∞		3					n→∞ 2				3			2
Подставим полученные пределы в исходный
=	3	×	− 3	= -		9		.
=		×		= -				.
2		2			4
									n		n
							+		n	+¼+	n	(n	- 3) n n
					n														9
					n				3		n
Ответ: lim									3		3						= -			.
Ответ: lim										2n2 + 5							= -		4	.
			n→∞							2n2 + 5									4
Пример 1.41. Найдите предел lim															(1 + 3 + 5 + ... + (2n -1))!×(2n + n2 5n )						.

																				(n2 +1)!×(2n - 5n )
													n→∞							(n2 +1)!×(2n - 5n )

Решение. В числителе и в знаменателе произведение бесконечно больших последовательностей.

Первый множитель в числителе арифметическая прогрессия, воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии

a + a	+…+ a =	(a1 + an )n	: 1 + 3 + 5 + ... + (2n -1) =	1 + (2n -1)	× n = n2 .

1 2	n	2	2

Кроме того, n! =1× 2 ×...× n = (n -1)!× n , откуда

(

)

= (

) ×(

+ )

1 !

1 .

Подставляем полученные выражения в исходное:

= lim

(n2 )!×(

2n + n2 5n )

= lim

(n2 )!×(2n + n2 5n )

= ,

(n2 +1)!!×(2n - 5n )

(n2 )!×(n2 +1)×(2n - 5n )

n→∞

сократим

= lim

(2n + n2 5n )

(n2

+1)

×(2n - 5n )

n→∞

разделим числитель и знаменатель почленно на 5n

+ n

= lim

n→∞

(n2 +1)×

-1

разделим теперь числитель и знаменатель почленно на n2

0 +1

= lim

= -1.

1 +

-1

1×(-1)

n→∞

Ответ: lim

(1 + 3 + 5 + ... + ( 2n -1))!×(2n + n2 5n )

= -1.

(n2 +1)!×(2n - 5n )

n→∞

Пример

1.42.

Вычислите

предел числовой последовательности

lim

1−2+3− 4+ − 2n

n→∞

+ 1

Решение. lim

1− 2+3− 4+ − 2n

= ,

n→∞

n2 + 1

сгруппируем слагаемые со знаком "+ " и со знаком "− " отдельно

= lim (

+ 3 + ... +

(

))

−

(

+ 4 + ... + 2n

)

= ,

−1

n→∞

n2 + 1

выражения в скобках арифметические прогрессии, используем формулу суммы n членов

(1 + 2n −1)n

−

(2 + 2n) n

(1 + 2n −1)n − (2 + 2n)n

= lim

n→∞

n2 + 1

n→∞

n2 + 1

приведем подобные

= lim

− n − n2

= lim

−n

= ,

n→∞

n2 + 1

n→∞

n2 + 1

разделим на n

= lim

−1

= −1.

n→∞

Ответ: lim

1 − 2 + 3

− 4 +

− 2n

= −1.

n→∞

n2 + 1

Первый замечательный предел

Если limαn = 0 , то

n→∞

lim

sinαn

= 1

(1.16)

lim

tg αn

= 1

(1.18)

n→∞

lim

arcsinαn

= 1

(1.17)

lim

arctg αn

= 1

(1.19)

n→∞

αn

n→∞

αn

Пример 1.43. Вычислите предел последовательности

limn→∞ (sin (n +1 - n ) 4n ) .

Решение. Прежде чем вычислить данный предел, преобразуем выражение, задающее последовательность

limn→∞ (sin (n +1 - n ) 4n ) = ,

домножим разность радикалов на их сумму и разделим на нее же

(

)(

)

n +1

= lim

sin

× 4

= ,

n→∞

( n +1 + n )

в числителе используем формулу разности квадратов и приводим подобные

= lim

sin

× 4

= ,

n→∞

(

n +1 + n )

домножим и разделим на

(

)

n +1

sin

(

n +1 +

n )

4 n

= lim

= ,

n→∞

( n +1 + n )

вычислим пределы каждого множителя отдельно

sin (

)

n +1

lim

= 1 – первый замечательный предел, так как

n→∞

(

)

n +1

–

бесконечно малая, а

n + 1 +

4 n

lim

4 n

= lim

4 n

= 0

n→∞

n +

1 +

n→∞

n +

1 +

n→∞

1 + 1 +1

следовательно, предел нашей последовательности равен нулю.

Ответ: limn→∞ (sin (n +1 - n ) 4n ) = 0 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.201533.08 Mб56Players Handbook 4ed - ver.2010-08-16.pdf
#
23.03.2016255.52 Кб5polozhenie-o-magistrature-kgpupdf.pdf
#
12.03.2015292.52 Кб5Polozhenie_o_praktikakh.pdf
#
10.02.20151.9 Mб28polyakov.pdf
#
10.02.201571.68 Кб18portfolio studenta.doc
#
10.02.2015855.42 Кб11posobie_Predel_funktsii_1.pdf
#
28.08.201980.38 Кб10Practice 2012 ISP KSPU.doc
#
10.02.201528.16 Кб47Prakticheskoe_5_Udarenie.doc
#
10.02.2015854.02 Кб26Praktikum_latinsky_yazyk.doc
#
10.02.20158.25 Mб1963Praktikum_po_mat.doc
#
23.08.2019138.24 Кб7prav_ref реферат.doc