Задача 3.

1. Проверить, является ли одно из множеств А и В подмножеством другого.

А = {х/х N,х 4};В= {х/х  N, х 2}.

2. Определить отношения между множествами, изобразить множества с помощью кругов Эйлера:

А = {х/х  N, х 9}; В = {х/х  N, х 3}; С = {х/х  N, х 6}.

Решение.

1) Можно записать:

А = {4, 8, 12, 16,...}, В= {2,4, 8, 10, 12, 14, 16,...}.

Докажем, что А  В. Согласно определению подмножества надо доказать, что любой элемент множества А принадлежит множеству В. Пусть а  А, следовательно, а – натуральное и а 4, а это значит всегда а 2, поэтому а  В. Множество В не является подмножеством А, так как из того что b 2не всегда следует, что b 4.

Пример: 6 : 2, но 6 не : 4.

2) Надо выяснить, какое из множеств будет подмножеством другого, или какие из них совпадают.

Можно записать:

А ={9, 18,27,36,...};

В= {0,3,6,9, 12, 15, 18,21,24,27,...};

С= {6, 12,18,24,...}.

Любой элемент множества А принадлежит и множеству В, т.к. любое натуральное число, кратное 9, кратно 3, А  В.

Любой элемент из множества С принадлежит и множеству В, т.к. любое натуральное число, кратное 6, будет кратно 3, С  В.

Множества А и С имеют общие элементы, например 18, но и каждое из них имеет элементы, не принадлежащие другому. 9  А, но 9  С; 12  С, но 12  А. Круги для множеств А и С пересекаются, но оба они внутри круга для множества В (рис. 6).

Рис. 6

Задача 4

Пусть А – множество четырехугольников плоскости, В – множество прямоугольников, С – множество ромбов, Д – множество четырехугольников, имеющих прямой угол.

1. Задать множество Х=Д'  С словесным способом.

1. Изобразить множества А, В, С, Д кругами Эйлера и заштриховать область, изображающую множество X.

2. Выяснить, истинны ли высказывания:

MNLK  X и FSQP  X

N L S Q

M K F P

1) Решение

Для совокупности множеств А, В, С, Д множество А можно считать универсальным, т.к. множества В, С, Д являются подмножествами множества А.

Д'– дополнение множества Д до универсального, т.е. до множества А.

Д'– множество четырехугольников, не имеющих прямого угла.

Д'  С – пересечение множеств Д и С, это множество четырехугольников, не имеющих прямого угла и являющихся ромбами. Так как ромб, имеющий прямой угол, это квадрат, то получаем:

Х = Д'  С - множество ромбов, не являющихся квадратами.

2) А – универсальное множество, изображаем его в виде прямоугольника. Круги для множеств В,Д,С- внутри прямоугольника. Круги для множеств В и С пересекаются, т.к. есть прямоугольники, являющиеся ромбами, – квадраты. Круг для множества В внутри круга для множества Д, т.к. В  Д.

Д' – заштрихуем горизонтальной штриховкой,

С – заштрихуем вертикальной штриховкой,

Х = Д'  С – та часть, которая заштрихована дважды.

3) МNLК  Х - ложное высказывание,

FSQP  Х – истинное высказывание.

Задача 5

Найти А  В, А  В, А\В, В\А, и А', если И = К, А = [-2,8]; В= [0,9].

Из рисунка видим:

АВ = [-2,9,

А  В = [0,8],

А\В = [-2, 0), (0  А\В, т.к. 0  А и 0  В),

В\А = (8, 9], (8  В\А, т.к. 8  А),

А¹ = ( -, - 2)  (8, + ).