Задача 6
1) Доказать, что для любых множеств А, В, С верно равенство А\(ВС ) = (А\В) (А\С).
2) Проиллюстрировать это равенство геометрически.
Решение.
1) Обозначим: М = А\(В С), К = (А\В) (А\С). Для доказательства равенства М = К достаточно доказать утверждения:
а) М К, т.е. для любого х, если х М, то х К;
б) К М , т.е. для любого х, если х К, то х М.
в) Пусть любое х А\(В С). По определению разности двух множеств х А и х (В С). Если бы х принадлежал хотя бы одному и множеств В и С, то, по определению объединения, х принадлежал бы В С. Поэтому из того, что х В С, следует, что х В и х С. Так как х А и х В, то х А\В. Так как х А и х С, то х А\С. По определению пересечения множеств, х (А\В) (А\С).
г) Пусть любое х (А\В) (А\С). По определению пересечения множеств, х А\В и х А\С. По определению разности множеств х А, xВ, xС. Тогда х В С. А так как х А и х В С, то x А\(В С) .
Вывод: М К и К М, тогда М = К.
2) Изобразим множества А, В и С. Сделаем два одинаковых рисунка, на одном выделим множество М, на другом множество К.
|
Наклонной штриховкой обозначено множество В С. Двойной штриховкой обозначено тожество М =А\(В С)
|
|
|
Вертикальной штриховкой обозначено А\В, горизонтальной А\С. Двойной штриховкой обозначено множество К = (А\В) (А\С) |
|
Контрольные вопросы
Как записать, что элемент а принадлежит множеству А ? Не принадлежит множеству А?
Какими способами можно задать множество? Привести примеры. Задать различными способами множество всех натуральных чисел, меньших 10.
Прочтите следующие предложения: а А ,а А, А В, А В.
Как проверить, что одно множество является подмножеством другого? Верно ли, что А подмножество В, где А = {а/а Z, а
12},
В
= {
b/b
Z,
b
4}?Какое множество называют пустым? Как его обозначают? Объясните, почему {}?
Какое подмножество называют собственным? Привести примеры.
Сформулировать определение объединения, пересечения и разности двух множеств. Привести примеры. Дать геометрическое истолкование на диаграммах Эйлера-Венна.
Дать понятие универсального множества. Сформулировать определение дополнения множества. Во множестве всех действительных чисел назвать дополнение множества рациональных чисел, множества целых чисел.
Сформулировать следующие свойства операций над множествами: коммутативность объединения и пересечения; ассоциативность объединения и пересечения; дистрибутивные свойства операций объединения и пересечения; свойства дополнений.
Во множестве всех целых чисел назовите дополнение:
а) множества четных чисел,
б) множества нечетных чисел.
Упражнения
1. Даны числа 19;
;
0; – 27; 5.4;
. Какие из них принадлежат множеству:
а) целых чисел;
б) целых неотрицательных чисел;
в) рациональных чисел;
г) действительных чисел?
2. Покажите на координатной прямой множество точек, координаты которых: а) меньше 4; б) больше 4; в) не больше 4; г) не меньше 4.
3. Изобразите на координатной прямой множество Х, если:
а) Х = х/х R и – 2 ≤ х < 7; б) Х х/х R и – 2 ≤ х ≤ 7;
в) Х =х/х R и х < 7; г) Х = х/х R и х ≥ – 2.
4. Задайте числовое множество описанием характеристического свойства элементов:
а) (3;8);
б) (– ;7];
в) (– ; -3];
г) [– 5,2; 0];
д)[– 8; +);
е) (2,7; +);
ж) [0; 7,8);
з) (–4; 8].
5. Задайте двумя способами множества точек координатной прямой (рис. 6)
а)
6
б)
3,2 7
в)
– 3,7
г)
– 4 2,4
д)
– 8,2 – 4,3
е)
18
ж)
21
з)
– 3 0
Рис. 6
6. Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них истинные:
а) 3(3;12];
б) – 0,2 [– 0,3; 0];
в) 0(– ; 0];
г) 5(6; +);
д) 75Q;
е) 6,4Z;
ж) – 7N;
з) – 0,3Z.
7. Постройте прямую и отметьте на ней начало отсчета, единичный отрезок, точку А(5) и все точки, расстояние каждой из которых от точки А: а) равно 2; б) не больше 2; в) больше 2.
8. Отметьте на координатной прямой точку В(2) и укажите характеристическое свойство множества точек, изображенных на рис. 7
Рис. 7
9. Решите уравнения, используя понятие расстояния между двумя точками на координатной прямой:
а) х = 3;
б) 7 – а = 4;
в) х – 4 = 3;
г) р = – 2;
д) х + 1 = 4;
е) 7 + у = 1.
10. Покажите на координатной прямой множество решений неравенства:
а) х ≤ 3;
б) х > 4;
в) х + 3 ≤ 1;
г) х – 4 ≥ 2.
Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера высказывания из задач 11 – 20:
11. а) некоторые натуральные четные числа кратны 11; б) все числа, делящиеся на 10, делятся и на 5.
12. а) ни один параллелограмм не является трапецией; б) любой квадрат есть прямоугольник.
13. а) каждое из чисел, запись которых оканчивается цифрой 0, делится на 5;
б) ни одно число, запись которого оканчивается цифрой 3, не делится на 6.
14. а) все квадраты являются четырехугольниками;
б) некоторые равнобедренные треугольники являются прямоугольными.
15. а) все мальчики 5 «а» класса участвовали в туристическом походе;
б) ни один мальчик 5 «а» не является неуспевающим учеником.
16. а) все равносторонние треугольники – равнобедренные;
б) некоторые ромбы являются прямоугольниками.
17. а) любой квадрат есть ромб;
б) некоторые трапеции являются четырехугольниками с прямым углом.
18. а) все девочки в классе сидят за первыми партами;
б) некоторые числа, делящиеся на 3, делятся и на 9.
19. а) ни один мальчик не сидит за первой партой;
б) некоторые числа, запись которых оканчивается цифрой 5, делятся на 3;
20. а) все мальчики в классе занимаются в кружке по рисованию;
б) некоторые двузначные натуральные числа являются четными.
21. Перечислите элементы следующих множеств, задайте множества с помощью характеристического свойства:
а) А – множество натуральных чисел, меньших 7;
б) В – множество натуральных чисел, кратных числу 3 и меньших 20;
в) С – множество натуральных делителей числа 26;
г) Д – множество чисел, абсолютная величина которых равна 5.
22. Прочтите следующие записи и перечислите элементы каждого из множеств:
а) А = {х/х N, хг= 16};
в) С = {х/х Z, |х| < 4};
б) В = {х/х N, х2< 9};
г)Д= {х/х Z, х< 9}.
23. Изобразите на числовой прямой следующие множества:
а) А = {х/х R, х<9};
б) В={х/х R, х>4}.
Изобразить множества с помощью кругов Эйлера. Определить отношения между множествами.
24.
А = {х/х
N
,х
10},
В
=
{х/х
Z,
х
2}, С= {х/х
Z,
х
5}.
25.
А =
{х/х
N,
х
4}, В
= {х/х
N,
х
12}, С = {х/х
N,
х
2}.
A = {х/х N, х
4}, B
= {х/х
N,
х
12},
С = {х/х
Z,
х
2}.
27. A = {х/х R , 5 < х < 10}, B = {х/х Z, 5 < х < 28}, С={х/х Z, x < 20}
28. A = {х/х R , х < 2}, B = {х/х Z, х < 2}, С= {х/х Z,- 2 < х < 1}.
29.
A
= {х/х
Z
,
х
9},B
= {х/х
N,
х
9},
С= {х/х
N,
х
27}.
30.
А= {х/х
Z
,
х
9}, B
= {х/х
N,
х
9}, С = {х/х
Z,
х
27}.
31.
А =
{х/х
Z,
х
6}, B
= {х/х
N,
х
6}, С = {х/х
Z,
х
2 и х
3}.
32. А = {х/х Z и – 2 < х < 8}, В= {х/х Z и – 1,5 < х < 7}, С = {х/х R и х < 10}.
33. А = {х/х Z и х < 7}, В = {х/х Z и – 1 < х < 8}, С = {х/х R и х < 10}.
34. Установите отношения между множествами А, В и С и изобразите их при помощи кругов Эйлера, если:
а) А – множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, кратных 10, С – множество натуральных чисел, кратных 5;
б) А – множество треугольников, В – множество прямоугольных треугольников, С – множество остроугольных треугольников;
в) А – множество треугольников с углом 45°, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество равносторонних треугольников;
г) А – множество ромбов, В – множество пятиугольников, С – множество многоугольников, содержащих угол 60°.
35. Установите, в каком отношении находятся множества В и D, если:
а) В = [3; 5], D = [4; 6];
б) В
= (7;
),D
= [8; 12);
в) В
= (
;0],D
= [0, 7];
г) В = (–5;–1), D = (–1, 6).
36. В каком случае множества С и D пересекаются:
а) С – множество четных однозначных чисел,
D – множество нечетных однозначных чисел;
б) С – множество четных однозначных чисел,
D – множество чисел, кратных 3;
в) С – множество прямоугольных треугольников,
D – множество равнобедренных треугольников;
г) С – множество прямоугольников с равными сторонами,
D – множество квадратов?
37. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества Р и Q, если Р – множество равнобедренных треугольников, а Q есть множество: а) остроугольных треугольников; б) прямоугольных треугольников; в) равносторонних треугольников.
38. Дано множество С = {213, 45, 324, 732, 136}. Составьте подмножество множества С, состоящее из чисел, которые: а) делятся на 3; б) делятся на 9; в) не делятся на 4; г) делятся на 5.
39. А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество квадратов. Докажите, что В А и С В. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера.
40. Дано множество М = {к, l, m}. Образуйте все его: а) одноэлементные подмножества; б) двухэлементные подмножества; в) трехэлементные подмножества. Присоедините к полученным подмножествам пустое множество. Сколько всего подмножеств получили?
41. А – множество натуральных чисел, меньших 20; В, С, D и Е – подмножества множества А, такие, что В состоит из чисел, кратных 6, С – из чисел, кратных 2, D – из чисел, кратных 3, Е – из чисел, кратных 2 и 3 одновременно. Перечислите элементы множеств А, В, С, D и Е и укажите среди них равные множества.
42. М – множество натуральных решений неравенства 2 ≤ х < 7, K – множество натуральных решений неравенства 1 < х ≤ 6. Какие из следующих высказываний истинны: а) М К; б) К М; в) М = K?
43. Докажите, что А = В, если: а) А – множество двузначных чисел, кратных 9, В – множество двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 9; б) A – множество натуральных чисел, запись которых оканчивается нулем, В – множество натуральных чисел, кратных 10.
44. А – множество двузначных чисел; В – множество четных натуральных чисел; С – множество натуральных чисел, кратных 4. В каком из случаев, представленных на рисунке 8, изображены данные множества? Приведите примеры множеств А, В и С, если их изображение таково, как на рисунке 8.
а) б) в)
Рис. 8
45. Найдите пересечение и объединение множества С = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} и множества D, если:
а) D = {12, 14, 18, 20, 22, 24};
б) D = {14, 16, 18, 20};
в) D = {3, 4, 5, 6};
г) D = С.
46. Вместо многоточия поставьте «и» либо «или»:
а) Элемент х принадлежит объединению множеств Р и Q тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству Р… множеству Q.
б) Элемент х не принадлежит множеству Р Q тогда и только тогда, когда он не принадлежит множеству Р ... не принадлежит множеству Q.
в) Элемент х принадлежит пересечению множеств Р и Q тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству Р ... принадлежит множеству Q.
г) Элемент х не принадлежит пересечению множеств Р и Q тогда и только тогда, когда он не принадлежит множеству Р ... не принадлежит множеству Q.
47. Даны множества А и В. Сформулируйте условия, при которых А В , А В , А В = В, А В = В, если:
а) А – множество учащихся класса, занимающихся в кружке по рисованию, В – множество мальчиков класса;
б) А – множество девочек класса, В – множество отличников класса.
48.
Укажите характеристическое свойство
элементов множества Х
= А
В
С,
если A
= (–3; 0], B
=]–2, 2[, С = (0,
).
Верно ли, что: а) 0 X; б) –2 X; в) 27,3 X?
49.
Укажите характеристическое свойство
элементов множества
М
= А
В
С,
если A
= (
;–
2), В = (–7;– 1], С = ( –3,
).
Принадлежат ли множеству М числа: –3,7; 0; 12?
50. С – множество трапеций, D – множество параллелограммов, Е – множество четырехугольников, имеющих прямой угол. Постройте для данных множеств круги Эйлера, выделите штриховкой области, изображающие множества С D Е и С D Е, и задайте каждое из них описанием характеристического свойства. Для каждого случая сделайте отдельный чертеж.
51. Р – множество натуральных делителей числа 18, Q – множество натуральных делителей числа 24. Укажите характеристическое свойство элементов пересечения множеств Р и Q и перечислите его элемент
52. Найдите пересечение и объединение множеств К и М, если К – множество двузначных чисел, М – множество нечетных чисел. Верно ли, что:
а) 21 К М;
б) 32 К М;
в) 32 K М;
г) 7 К М;
д) 7 К М;
е) 135 K М?
53. Постройте круги Эйлера для множеств А, В и С и укажите характеристическое свойство элементов множества А (В С), если:
а) А – множество правильных многоугольников, В – множество треугольников, С – множество четырехугольников;
б) А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество четырехугольников;
в) A – множество прямоугольных треугольников, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество равносторонних треугольников;
г) A – множество прямоугольных треугольников, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество треугольников.
В каждом из случаев выделите на чертеже область, изображающую множество АВ С, и начертите фигуру, принадлежащую этому множеству.
54. Даны множества: А = {а, b, с, d, е}, В = {с, d, f, к), С = {b, с, d, f, m}. Перечислите элементы множеств К = (А В)С и Р = A (В С). Содержится ли элемент m в множестве К, а элемент f в множестве Р?
55. А – множество чисел, кратных 2, В – множество чисел, кратных 3, С – множество чисел, кратных 5. Укажите характеристическое свойство элементов множеств (А В) С и (А В) С.
56. Найдите разность множества А = {a, b, c, d, e} и множества В, если:
а) В = {c, d, e, f, k, l};
б) В = {a, c, e};
в) B = {c, a, d, e};
г) B = {k, l, m};
д) В = {a, b, c, d, e, f, k};
е) В = .
57. Даны множества: Р – множество остроугольных треугольников, Q – множество равнобедренных треугольников, S – множество равносторонних треугольников. Укажите характеристическое свойство элементов множеств X = (Р Q) \ S и Y = Q' (Р S). Установите, какие из треугольников, изображенных на рисунке 13, принадлежат множеству X, а какие – множеству Y.
58. Т – множество многоугольников, имеющих прямой угол, Р – множество квадратов, М – множество треугольников. Начертите две фигуры, принадлежащие множеству X = Р (М \ Т).
59. Известно, что X – множество двузначных чисел, Е – множество четных натуральных чисел, У – множество натуральных чисел, кратных 4. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера и выделите штриховкой множество: а) А = X Y Е, б) В = X Y \ В; в) С = X Y' E. Каковы характеристические свойства элементов множеств A, B и С?
60. А – множество параллелограммов, В – множество треугольников, С – множество многоугольников с углом в 60°. Начертите две фигуры, принадлежащие множеству X = А С В, и две фигуры, принадлежащие множеству Y = (С \ А) \ В.
61. Множество А состоит из натуральных чисел от 2 до 10, множество В – из натуральных чисел от 5 до 20. Перечислите элементы множеств А\ В и В \ А.
62. Р – множество двузначных чисел, Q – множество четных натуральных чисел. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера, отметьте штриховкой разность множеств Р и Q и укажите характеристическое свойство элементов, принадлежащих этой разности. Верно ли то, что Р \ Q содержит числа 21; 17?
В следующих упражнениях изобразить множества А, В, С, Д на кругах Эйлера и заштриховать область, изображающую множество X. Задать множество Xсловесным способом, при необходимости ввести подходящее универсальное множество И.
63. А – множество четырехугольников плоскости, В – множество прямоугольников, С – множество четырехугольников со стороной 5 см.
а) Х = (В\А) (А С); б) Х=(А В) и (А\С); в) Х = А(В С).
64. В – множество прямоугольников, С – множество ромбов, Д – множество четырехугольников, имеющих прямой угол.
а) Х = Д (В\С); б) Х = (Д В) С.
65. А – множество прямоугольников, В – множество ромбов, С – множество параллелограммов со стороной 3 см:
а) Х = А'(В\С); б) Х = (АВ)\С; в) Х = (А\С)В
66. А – множество прямоугольных треугольников, В – множество равносторонних треугольников, С – множество треугольников со стороной 3 см:
а) Х = (А\ В) С; б) Х=(А\В)\С; в) Х=А' (В\С).
67. А – множество прямоугольных треугольников, В – множество равносторонних треугольников, С – множество треугольников со стороной 3 см:
а) Х= (А С) (В С); б) Х= (А\С) В'.
Найти А В, А В, А\В, В\А, и А,И= R в следующих упражнениях.
68. Множества X и Y являются подмножествами универсального множества, и X Y. Изобразите их при помощи кругов Эйлера и выделите штриховкой множество:
a) X' Y',
б) X' Y',
в) (X Y)';
г) (X Y)'.
Для каждого случая сделайте отдельный чертеж. Есть ли среди этих множеств равные?
69. А – множество однозначных чисел, В – множество нечетных однозначных чисел, С – множество однозначных чисел, кратных 3. Изобразите множества А, В и С при помощи кругов Эйлера. Отметьте штриховкой (для каждого случая сделайте отдельный чертеж) множество:
а) В';
б) С';
в) В' С';
г)В'С';
д) (В С)';
е)(ВС)'.
Каково характеристическое свойство элементов каждого из этих множеств? Есть ли среди этих множеств равные?
70. А = (–, 3); В = (– 3, +).
71. А = 0, 5; В = (–3,2).
72. А = (– 3,7]; В = [5, 6).
73. А = (–, 5); В = (0, +).
74. А = 0, 5; В = (–3,0).
75. А = – 3,7); В = (1, 5.
76. А = – 2,7); В = (3, 5.
77. А = (–, 3); В = [3,10).
78. А = (0, 11); В = (–3, 7].
79. А = (– 4, +); В = [0, 3).
80. А = [– 2,+); В = (0, 4].
В упражнениях 70 – 79 доказать, что для любых множеств А, В, С верны равенства.
81. А (ВС) = (АВ)(АС).
82. (А В) \С =А (В \С).
83. (АВ)\С= (А\С)(В\С).
84. (А\В) \С=(А\С)\В.
85. (А В)\С = В (А\С).
86. А = (А\В) (А В).
87. (А\В)'=А'(АВ).
88. (АВ)' = А'В1
89. (А В)' = А' В1
90. А (В С) = (А В) (А С).
Докажите, что для любых множеств А и В верно равенство:
а) (А \ В) В = ; б) (A \ В) (А В) = ; в) (A \ В) (А В) = А.
92. Докажите, что для любых множеств А, В и С верно равенство:
a) (A \ В) (A \ С) = A \ (В С); б) A В \ С = А (B\С).