6. Декартово умножение множеств

Назовем (х, у) упорядоченной парой, а х и у – компонентами этой пары. При этом считают, что (х₁ у₁) = (х₂.у₂), если х₁ = х₂ и у₁ = у₂.

__________________________________________________________________

Определение 9. Декартовым произведением множеств А и В назы­вают множество АВ, элементами которого являются все пары(х,у), такие, что х  А, уВ, т.е. АВ = {(х,у)/х А, у В}.

_____________________________________________________________________________________________

Найдем, например, декартово произведение множеств А = {1,3} и В ={2,4,6}.

АВ = {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

Операцию, при помощи которой находят декартово произведе­ние, называют декартовым умножением множеств.

Декартово умножение множеств не обладает ни свойством комму­тативности, ни свойством ассоциативности, но связано с операциями объединения и вычитания множеств дистрибутивными свойствами:

для любых множеств А, В, С имеют место равенства:

(А В) С = (АС)  (ВС),

(А\В)С = (АС)\(ВС).

Для наглядного представления декартова произведения числовых множеств часто используют прямоугольную систему координат.

Пусть А и В – числовые множества. Тогда элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. Изобразив каждую пару чисел точкой на координатной плоскости, получим фигуру, которая и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А и В.

Изобразим на координатной плоскости декартово произведение множеств А и В, если:

a) A = {2, 6}; B ={1,4}, б) А = {2, 6}; В = [1,4], в) А = [2, 6]; B =[1,4].

В случае а) данные множества конечны и можно перечислить элементы декартова произведения.

АВ = {(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. Построим оси координат и на оси ОХ отметим элементы множества А, а на оси ОУ – элементы множества В. Затем изобразим каждую пару чисел множества АВ точкам на координатной плоскости (рис.7). Полученная фигура из четыре точек и будет наглядно представлять декартово произведение данных множеств А и В.

В случае б) перечислить все элементы декартова произведения множеств невозможно, т.к. множество В – бесконечное, но можно представить процесс образования этого декартова произведения: в каждой паре первая компонента либо 2, либо 6, а вторая компонента – действительное число из промежутка [1,4].

Все пары, первая компонента которых есть число 2, а вторая пробегает значение от 1 до 4 включительно, изображаются точками отрезка СД, а пары, первая компонента которых есть число 6, а вторая – любое действительное число из промежутка [1,4], – точками отрезка РS (рис.8). Таким образом, в случае б) декартово произведение множеств А и В на координатной плоскости изображается в виде отрезка СД и РS.

Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9

Случай в) отличается от случая б) тем, что здесь бесконечно не только множество В, но и множество А, поэтому, первой компонентой пар, принадлежащих множеству А В, является любое число из промежутка [2, 6]. Точки, изображающие элементы декартова произведения множеств А и В, образуют квадрат СДЕL (рис. 9). Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются точками квадрата, его можно заштриховать.

Контрольные вопросы

1. Покажите, что решение следующих задач приводит к образованию декартова произведения множеств:

а) Запишите все дроби, числителем которых является число из множества А = {3, 4}, а знаменателем – число из множества В = {5, 6, 7}.

б) Запишите различные двузначные числа, используя числа 1, 2, 3, 4.

2. Докажите, что для любых множеств А, В, С справедливо раве­нство (А  В)С = (АС)  (ВС). Проиллюстрируйте его выпол­нимость для множеств А = {2, 4, 6}, В= {1,3, 5}, С = {0, 1}.

3. Какую фигуру образуют точки на координатной плоскости, если их координаты являются элементами декартова произведения множеств А = {– 3, 3} и В = R

4. Определите, декартово произведение каких множеств А и В изо­бражено на рисунке 10.

а) б) в)

Рис. 10

Упражнения

112. Запишите все двузначные числа, цифры десятков которых принадлежат множеству А = {1, 3, 5}, а цифры единиц – множеству В = {2,4,6}.

113. Напишите все дроби, числители которых выбираются из множества А= {3, 5, 7}, а знаменатель – из множества В= {4, 6, 8}.

114. Напишите все правильные дроби, числители которых выбираются из множества А = {3, 5,7}, а знаменатель – из множества В= {4, 6,8}.

115. Даны множества Р = {1, 2, 3}, К= {а, b}. Найдите все декартова произведения множеств Р К и KР.

116. Известно, что АВ = {(1, 2); (3, 2); (1, 4);(3, 4); (1, 6); (3, 6)}. Установите, из каких элементов состоят множества А и В.

117. Запишите множества (АВ)С и А(ВС) перечислением пар, если А={а, b}, B = {3},C={4, 6}

118. Составьте множества АВ, ВА, если:

a)А = {а,b,с},В={d},

б) A = {a, b}, B = ,

в) А= {т, п, k }, В = А,

г) A = {x, y, z}, B = {k, n}

119. Известно, что АВ = {(2,3), (2,5), (2,6), (3,3), (3,5), (3,6)}. Установите, из каких элементов состоят множества А и В.

120. Найдите декартово произведение множеств А = {5, 9, 4} и В = {7, 8, 6} и выделите из него подмножество пар, в которых:

а) первая компонента больше второй; б) первая компонента равна 5; в) вторая компонента равна 7.

121. Перечислите элементы, принадлежащие декартову произ­ведению множеств А, В и С, если:

а) А = {2, 3}, В = (7, 8, 9}, С = {1, 0};

б) А = В = С = {2, 3};

в) А = {2, 3}, B = {7, 8, 9}, С = 

122. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова про­ изведения множеств А и В, если:

а) А = {х/х  N, 2 < х < 4}, В = {х/х N, х < 3};

б) А = {х/х R, 2 < х < 4}, В = {х/х N, х < 3};

в) А = [2, 4]; В = [1,2].

123. Все элементы декартова произведения двух множеств A и B изображены точками в прямоугольной системе координат. Запишите множества A и В (рис. 11).

а) б) в)

Рис. 13

124. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения множеств X и Y, если:

а) Х={–1,0, 1,2}, Y={2, 3,4};

б) Х={–1,0, 1,2}, Y=[2, 4];

в) Х = [–1;2], Y = {2, 3, 4};

г) Х = [1;7], Y = [2; 6];

д) X = [–3; 2], Y = [0; 5[;

е) X = R, Y = [–2; 2];

ж) Х = ]–3;2[, Y=R;

з) Х={2}, Y=R;

и) Х= R, Y = {–3}.

125. Фигуры, приведенные на рис. 14, являются результатом изображения на координатной плоскости декартова произведения множеств X и Y. Укажите для каждой фигуры эти множества.

а) б) в)

г) д)

Рис. 14

126. Выясните, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде полуплоскости. Рассмотрите все случаи.

127. Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде прямого угла, который образуется при пересечении координатных осей.

128. На координатной плоскости постройте прямую, параллельную оси ОХ и проходящую через точку Р (–2, 3). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде этой прямой.

129. На координатной плоскости постройте прямую, параллельную оси ОY и проходящую через точку Р (–2, 3). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде этой прямой.

130. На координатной плоскости постройте полосу, ограниченную прямыми, проходящими через точки (–2, 0) и (2, 0) и параллельными оси ОY. Опишите множество точек, принадлежащих этой полосе.

131. На координатной плоскости постройте прямоугольник, вершинами которого служат точки А (–3, 5), В (–3, 8), С (7, 5), D (7, 8). Опишите множество точек этого прямоугольника.

132. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

а) х  R, у = 5;

б) х = –3, у  R;

в) хR, |у| = 2;

г) |x| = 3, у  R;

д) х  R, y≥ 4;

е) x  R, y  4;

ж) х R, |у|  4;

з) |x|  4, |у|  3;

и) |х| ≥1, |у| ≥ 4;

к)|х| ≥ 2, у  R.

133. На координатной плоскости изобразите элементы декартова произведения множеств X и Y, если:

а) X = R, Y = {3}; б) X = R, Y = [–3; 3]; в) X = [0; ),Y = (, 0].

134. На координатной плоскости постройте фигуру F, если

а) F = {(х, у) |х = 2, у  R}

б) F = {(х, у) | x R, у = –3};

в) F = {(х, у) | х  2, у  R};

г) F = {(х, у) | х  К, y≥ – 3};

д) F = {(х, у) | |х| = 2, у  R};

е) F={(х,у) |х  R, |у| = 3}.

135. Постройте прямоугольник с вершинами в точках (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Укажите характеристическое свойство точек, принадлежащих этому прямоугольнику.

136. На координатной плоскости постройте прямые, параллельные оси ОХ и проходящие через точки (2, 3) и (2, –1). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде полосы, заключенной между построенными прямыми.

137. На координатной плоскости постройте прямые, параллельные оси ОY и проходящие через точки (2, 3) и (–2, 3). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде полосы, заключенной между построенными прямыми.

138. Изобразите в прямоугольной системе координат множество XY, если:

a) X = R; Y ={ yу R, |у| < 3},

б) Х= {x/x R, |х| > 2}; Y= {у/у  R, |у| > 4}.

По теме данной главы студент должен уметь:

- задавать множества разными способами;

- устанавливать отношения между множествами и изображать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна;

- доказывать равенство двух множеств;

- выполнять операции над множествами и геометрически их иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна;

- производить разбиение множества на классы с помощью одного или нескольких свойств; оценивать правильность выполненной классификации.