- •Предисловие
- •I. Множества и операции над ними
- •Понятие множества
- •Способы задания множеств. Отношения между множествами
- •3. Объединение и пересечение множеств, их свойства
- •4. Разность множеств. Дополнение к подмножеству
- •Задача 3.
- •Задача 6
- •Контрольные вопросы
- •Упражнения
- •5. Разбиение множества на классы
- •6. Декартово умножение множеств
- •II. Элементы математической логики
- •2. Высказывания с кванторами
- •Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- •3. Отношение логического следования и равносильности
- •Строение теоремы. Виды теорем
- •6. Математические понятия
- •Отношения между понятиями
- •Умозаключения
- •III. Соответствия и отношения
- •Соответствия между элементами двух множеств.
- •2. Функции
- •3. Бинарные отношения
- •Алгебраические операции
- •IV. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •Об аксиоматическом построении теории
- •Сложение и умножение. Отношение «меньше» «больше»
- •Свойства операции сложения
- •Свойства операции умножения
- •Вычитание и деление
- •Правило вычитания числа из суммы
- •Правило вычитания суммы из суммы
- •Деление суммы на число
- •Деление разности на число
- •Деление произведения на число
- •4. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком
- •5. Свойства множеств натуральных и целых неотрицательных чисел
- •V. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами
- •1. Порядковые и количественные натуральные числа.
- •2. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел.
- •Свойства операции сложения
- •3. Умножение целых неотрицательный чисел
- •Свойства операции умножения
- •4. Деление
Способы задания множеств. Отношения между множествами
Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Существует несколько способов задания множеств.
Задание множества с помощью словесного описания. Например, А – множество натуральных чисел, меньших 6.
Задание множеств перечислением элементов, сводящееся к последовательному выписыванию, пересчету всех элементов данного множества. Этим способом могут быть заданы конечные множества, а также те бесконечные множества, элементы которых можно перенумеровать натуральными числами. Например: А= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, N = {1, 2, 3,..., п,...}, Р – множество всех простых чисел, Р = {2, 3, 5, 7,..., p ,...}.
3) Задание множества с помощью характеристического свойства элементов множества.
Этот способ заключается в том, что если хотят задать множество А, то:
а) указывают хорошо известное множество М, подмножеством которого является множество А;
б) указывают свойство Р, которым обладают те и только те элементы множества М, которые входят в А. При этом множество А записывают в виде: А = {х/х М, Р(х)}, где символ Р(х) заменяет слова: «элемент х обладает свойством Р». Например, А – множество натуральных чисел, меньших 6 можно задать так: А = {х/х N, х < 6}.
_______________________________________________________________
Определение 1. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. В этом случае пишут, А=В.
_________________________________________________________________________________________
Например: А = {12, 22, З2, 42 }и В = {} равны, А = В, т.к. оба множества состоят из чисел 1, 4, 9, 16.
______________________________________________________________
Определение 2. Множество В называют подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является одновременно и элементом множества А. В этом случае пишут В А.
__________________________________________________________________________
Согласно данному определению подмножества каждое множество является подмножеством самого себя: А А. Кроме того, считают, что пустое множество есть подмножество любого множества А: А.
Определение 3. Если А В и А В, то А называют собственным подмножеством множества В
_________________________________________________________________________________________
Например, множество А = {п,т,р} имеет восемь подмножеств: {т}, {n}, {р}, {т,р}, {т,п}, {п,р}, {n, т,р} и .
Из определений 1 и 2, очевидно, что если В А и А В, то А = В. Из этого утверждения вытекает один из способов доказательства равенства двух множеств: если доказано, что любой элемент из В является элементом из А и, в свою очередь, любой элемент из А является элементом В, то делают вывод А= В.
Кроме того, если А В и В С, то А С. Действительно, если, каждый элемент множества А принадлежит В, а каждый элемент множества В является, в свою очередь, элементом С, то каждый элемент из А принадлежит множеству С.
Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Например, если мы хотим наглядно изобразить, что множество А является собственным подмножеством В, то рисуем эти множества так, как показано на рисунке 1. Если же надо показать, что множества А и В не имеют общих элементов, то их изображаем так, как показано на рисунке 2. Такие изображения множеств кругами называют диаграммами Эйлера-Венна.
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3.
Диаграмма, показанная на рисунке 3, делает очевидным утверждение: если А В и В С, то А С.
____________________________________________________________
Определение 4. Для данных множеств А, В С,... универсальным множеством называют каждое множество И, такое, что А И, В И, С И,...
______________________________________________________________________________________
Каждое множество является универсальным множеством для любой системы своих подмножеств.
Например, если А – множество студентов первого курса некоторого института, В – множество студенток в этом же институте, С – множество спортсменов этого же института, то в качестве универсального множества И можно взять множество всех студентов данного института, тогда А И, В И, С И.