2. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел.

Пусть а = п(А); b = п(В).

Определение 16. Суммой чисел а иb называют количество эле­ментов в объединении непересекающихся множеств А и В. а + b = п(А В), если А  В = .

Так как А  В = , то п(А В)= п(А) + п(В)

(для любых множеств А и В п(А В) = п(А) + п(В) – n(А  В)).

Теорема. Сумма двух любых целых неотрицательных чисел всегда существует и определена однозначно.

______________________________________________________________________

Определение 6. Операция по нахождению суммы целых неотри­цательных чисел называется операцией сложения.

___________________________________________________________________________________________________

Свойства операции сложения

1. ( а, b N₀) а + b = b + а (коммутативность).

2. ( а, b, c N₀) (а + b) + c = a + (b +c) = а + b + с (ассоциативность).

3. ( а, b, c N₀)(а + b = а + с  b = с)  (а + b = с + b  а = с) (сократимость).

4. ( а, b, c N)(а + b < а + с  b < с)  (а + b < с + b  а < с) (моно­тонность).

5. ( а, b N)а + b  а  a + b  b (сумма двух любых натуральных чисел не равна ни одному из слагаемых).

6. ( а, b N)а + b > а  a + b > b (сумма двух любых натуральных чисел больше любого из слагаемых)

Пусть а = п(А); b = п(В).

______________________________________________________________________

Определение 7. Разностью чисел а и b называется количество элементов разности множеств А и В при условии В  А.

___________________________________________________________________________________________________

a – b = п (А\В), если В  А или а – b = п(В'_А).

А

______________________________________________________________________

Определение 8. Разностью чисел а и b называют число с, если оно существует, такое, что а = b + с, а – в = с а = в + с

___________________________________________________________________________________________________

Эти определения равносильны. Действительно, пусть а = п(А); b = п(В); В  А, с = п(В'_А). В'_А = А\В, если В А, А = В  В'_А, причем В В'_А =, п(А) = п(В  В'_А) = п(В) + п(В'_А), т.е. а = b + с.

______________________________________________________________________

Определение 9. Операция по нахождению разности целых не­отрицательных чисел называется операцией вычитания.

___________________________________________________________________________________________________

Разность чисел а и b существует, когда а  b.

Задача 3.

1. Доказать свойство ассоциативности операции сложения.

2. Дать теоретико-множественное истолкование правила вычита­ния числа из суммы.

Решение. 1. Докажем, что ( а, b, c N)(а + b) + с = a + (b + с).

Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выра­жений, записанных в левой и правой частях этого числового раве­нства. Пусть

а = п(А); b = п(В); с = п(С); тогда а + b = п(А В), если А В = , (а + b) + с = п((А  В) С), если (А В)  С = ,

b + с = п(В  C), если В  С = , а +(b + с) = п(А  (В  С)), если А  (В С) = .

Используя диаграммы Эйлера-Венна, множестваА, В и С можно изобразить так:

Пользуясь свойством ассоциативности операции объединения множеств, получаем

( A,B, С) (A  B)  C = А  (В  С)  п((АB) С) = п(А (В С))  (а +b) + с = а + (b + с)

(равные множества имеют и равное число элементов).

2. Рассмотрим один из способов вычитания, например (а + b)–с =(а – с)+b, если а>с. Пусть а = п(А); b = п(В); с = п(С). Дадим теоре­тико-множественное истолкование числовых выражений, запи­санных в левой и правой частях этого числового равенства. Для левой части равенства получим:

а + b = п(А  В), если А  B = ,

(а + b) – с = п((А В)\С), если С  А  В.

Используя диаграммы Эйлера-Венна, множества А и В можно изобразить так:

Множество С может быть подмножеством А или В. Рассмотрим случай, когда С  А.

В правой части равенства получим:

а – с = п(А\C, т.к. С  А, (а – с) + b = п((А\С)  В), если (А\С)  B = .

В этом случае множества изображаются так:

В

В левой части равенства круг для множества С расположен внутри круга для множества А.

Можно доказать, что (А  В) \ С = (А \ С)  В. Так как равные множества имеют равное число элементов, получаем:

п((А В)\С) = п((А \С)  В) => (а + b) – с = (а – с) + b.

Задача 4.

Решить задачу и обосновать выбор действий.

1. Оля собрала грибы: два белых и пять подосиновиков. Сколько грибов собрала Оля?

2. У Тани пять шариков, два из них она отдала Лене. Сколько шариков осталось у Тани?

Решение.

Переведем условие и вопрос задач на язык теории множеств.

1. Пусть А – множество белых грибов, которые собрала Оля, по условию задачи п(А) = 2;

В – множество подосиновиков, которые собрала Оля, по условию задачи п(В)=5;

С – множество всех грибов, которые собрала Оля. Число элементов множества С неизвестно, его надо найти, т.е. п(С) – ?

C

A B

Множество С является объединением множеств А и В; С = А В, причем А  B = .

n (C) = п(А  В) = п(А) + п(В) = 2 + 5 = 7.

Оля собрала 7 грибов.

Эта задача на уяснение конкретного смысла сложения натураль­ных чисел.

2. Пусть А – множество шариков, которые были у Тани, по условию задачи п(А) = 5;

В – множество шариков, которые Таня отдала Лене, по условию задачи п(В)=2;

С – множество шариков, которые остались у Тани, численность множества С неизвестна, ее надо найти, т.е. п(С) – ?

Выразим множество С через множества А и В.

А

С В

А = В С, В С = 

С – разность множеств А и В, причем В  А. С = А\В, тогда n(C) = п(А \ В) = п(А) – п(В) = 5 – 2 = 3, т.е. n(С) = 3.

У Тани осталось три шарика.

Эта задача на уяснение смысла действия вычитания натуральных чисел.

Задача 5

Решить и обосновать выбор действий.

1. У Кати было 3 шара, а у Тани на 1 шар больше. Сколько шаров было у Тани?

2. В парке 7 берез, а елей на 2 меньше. Сколько елей в парке?

3. На верхней полке 9 книг, а на нижней 5. На сколько книг больше на верхней полке, чем на нижней?

Решение.

Переведем условие и вопрос задач на язык теории множеств.

1. Пусть А – множество шаров у Кати, по условию задачи п(А)=3; В – множество шаров у Тани, число их неизвестно, т.е. п(В) – ? У Тани на 1 шар больше, чем у Кати, это значит, что у Тани ша­ров столько же, сколько у Кати, и еще один. Введем в рассмотрение вспомогательные множества: В₁ – множество шаров у Тани, которых было столько же, сколько у Кати, т.е. В₁ ~ А и тогда n(B₁) = п(А)= 3; В₂ – множество шаров у Тани, которых у Кати нет. По условию задачи п(В₂) = 1, т.к. у Тани на 1 шар больше.

Изобразим схематически множества и выразим множество В че­рез вспомогательные множества.

А–

В–

В₁ В₂

В – объединение множеств B₁ и В₂, причем В₁  В₂ = , В = В₁ и В₂, тогда п(В) = п(В₁) + п(В₂) = 3 + 1 = 4.

У Тани было 4 шара.

Эта задача на смысл отношения «больше на...».

2. Пусть А – множество берез в парке, число их равно 7, т.е. п(А) = 7;

В – множество елей в парке, число их надо найти, т.е. п(В) – ?

Елей на три меньше, чем берез, т.е. елей столько же, сколько бе­рез, но без трех. Введем в рассмотрение вспомогательные мно­жества:

B₁ – множество елей в парке, которых было бы столько же, сколько берез, т.е. В₁ ~ А, и тогда n(B₁) = п(А) = 7.

В₂ – множество елей, которых в парке нет, т.к. их на 3 меньше, чем берез то п(В₂) = 3, причем В₂ B₂.

Изобразим схематически множества и выразим множество В через вспомогательные множества.

А –

В₁ –

В В₂

В – разность множеств В₁ и В₂, причем В₂  В₁, т.е. В = В₁\ В₂, тог­да п(В) = п(В₁\В₂) = п(В₁) – п(В₂) = 7 – 3 = 4.

В парке 4 ели.

Эта задача на смысл отношения «меньше на...».

3. Пусть А – множество книг на верхней полке, число их равно 9, т.е. п(А) = 9;

В – множество книг на нижней полке, число их равно 5, т.е. п(В) = 5;

Введем в рассмотрение вспомогательные множества:

А₁ – множество книг на верхней полке, в котором их столько же, сколько на нижней, т.е. A₁ ~ B, и тогда п(А₁) = п(В)= 5;

А₂ – множество книг на верхней полке, которых нет в А₁. Число элементов множества А₂ надо найти, т.е. п(А₂) – ?

Изобразим схематически множества и выразим множество А₂ через другие множества.

А –

А₁ А₂

В–

А₂ – разность множеств А и А₁, причем А₁  А;

А₂ = А\А₁, тогда п(А₂) = п(А\А₁) = п(А) – п(А₁) = 9 – 5 = 4.

На верхней полке на четыре книги больше, чем на нижней.

Задача 6.

Решить и объяснить выбор действий.

1. В парке 9 кленов. Их на три больше, чем лип. Сколько лип в парке?

2. На столе 6 чашек, их на 2 меньше, чем ложек. Сколько ложек на столе?

Решение.

1. Первый способ. Пусть А – множество лип в парке, число их надо найти, т.е. п(А) – ? В – множество кленов в парке, число кленов равно 9, т.е. п(В) = 9. Кленов на три больше, чем лип, это значит, что кленов столько же, сколько лип, и еще три. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:

B₁ – множество кленов, которых столько же сколько было бы лип, тогда В₁ ~ А и n (B₁) = п(А);

B₂ – множество кленов из множества В, которые не вошли в В₁, т.е. В₂  В, В₁  В₂ =  и В =В₁  В₂, причем п(В₂) = 3.

Надо найти п(А); п(А) = п(В₁). Изобразим множества схематичес­ки и выразим множество В₁ через другие множества.

А –

В–

В₁ В₂

В₁ – разность множеств В и В₂, В₁ = В \ В₂, причем В₂  В, тогда п(В₁) = п(В\В₂) = п(В) - п(В₂) = 9 – 3 = 6, п(В₁) = 6, тогда п(А) = 6. В парке 6 лип.

Второй способ. Пусть A – множество лип в парке, число их надо найти, т.е. п(А) – ? В – множество кленов в парке, число их равно 9, т.е. п(В) = 9. Так как кленов на три больше, чем лип, то лип на 3 меньше, чем кленов. Введем в рассмотрение вспомогательные мно­жества:

А₁ – множество лип, в котором лип было бы столько же, сколько кленов, т.е. А₁~В и п(А₁) = п(В) = 9;

А₂ – множество лип из А₁, которые не вошли в А, т.е. п(А₂) = 3, А₂  А₁, А₂А= , тогда A₁ = А  А₂.

Изобразим схематически множества и выразим множество А че­рез другие.

А₁ –

А А₂

В –

А – разность множеств А₁ и А₂, А=А₁\A₂, причем, А₂  А₁, тогда п(А)= п(А₁\А₂) = п(А₂) –п(А₂)= 9 – 3 = 6.

В парке 6 лип.

2. Первый способ. Пусть А – множество чашек на столе, число чашек 6, т.е. п(А) = 6; В – множество ложек на столе, число ложек надо найти, т.е. п(В) – ? Чашек на 2 меньше, чем ложек, это значит чашек столько же, сколько ложек, но без 2. Введем в рассмотре­ние вспомогательные множества:

А₁ – множество чашек, в котором чашек было бы столько же, сколько ложек, тогда А₁ ~ В и n(A₁) = п(В);

А₂ – множество чашек, которые не вошли во множество А, т.е. п(А₂) = 2; А₂ А₁, А  А₂ = , причем A₁ =А А₂.

Надо найти п(В); п(В) = п(А₁). Изобразим множества схематичес­ки и выразим множество А₁ через другие.

А₁ –

А А₂

В –

А₁ – объединение множеств А и А₂, причем А  А2 =. А₁=А А₂, тогда п(А₁) = п(А А₂) = п(А) + п(А₂)= 6 + 2 = 8. т.к. п(В) = п(А₁), то восемь ложек на столе.

Второй способ. Пусть А – множество чашек на столе, число чашек 6, т.е. п(А) = 6; В – множество ложек на столе, число ложек надо найти, т.е. п(В) – ? Чашек на две меньше, чем ложек, тогда ложек на две больше, чем чашек. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:

В₁ – множество ложек, в котором ложек столько же, сколько ча­шек, тогда В₁~А и п(В₁)= п(А) = 6;

В₂ – множество ложек из В, которые не вошли в В₁, т.е. п(В₂) = 2, причем В₁  В₂=, В = В₁ и В₂.

Изобразим схематически множества и выразим множество В че­рез другие.

А –

В –

В₁ В₂

В – объединение множеств B₁ и В₂, В = В_{1 } В₂, причем В₁  B₂ = , тогда п(В) = n(B_1 B₂) = n(B₁) + п(В₂) = 6 + 2= 8. На столе 8 ложек.

Задача 7.

Найти значение выражения и объяснить, какие свойства были при этом использованы:

53 + 119 + 47 + 31.

Первый способ.

Можно находить значение числового выражения в порядке выполнения действий, т.е.

1. 53 + 119=172;

2. 172 + 47 = 219;

3. 219 + 31=250.

Второй способ.

Можно найти значение этого выражения, используя свойства операции сложения.

Контрольные вопросы

1. Дайте теоретико-множественное истолкование суммы двух целых неотрицательных чисел. Объясните, почему сумму чисел связывают с объединением непересекающихся множеств, а не множеств вообще.

2. Запишите свойства операции сложения.

3. Дайте определение разности через дополнение подмножества и через сумму, докажите их равнозначность.

4. Запишите, используя символы, правила:

а) вычитания числа из суммы;

б) вычитания суммы из числа;

в) вычитания суммы из суммы.

Приведите примеры на применение этих правил.

5. Запишите, используя символы, правила:

а) прибавления числа к сумме;

б) прибавления суммы к числу;

в) прибавления суммы к сумме.

Приведите примеры на применение этих правил.

Упражнения

362. Докажите свойства операций сложения:

а) коммутативность,

б) ассоциативность.

363. Дайте теоретико-множественное истолкование свойств операции сложения:

а) сократимость,

б) монотонность,

в) 5-го и 6-го свойств.

363. Дайте теоретико-множественное истолкование нижеуказанных правил. Приведите примеры заданий из учебников математики начальных классов, при выполнении которых можно пользоваться этими правилами:

а) правило вычитания числа из суммы;

б) правило вычитания суммы из числа;

в) правило вычитания суммы из суммы;

г) правило сложения суммы с суммой.

363. Запишите нижеуказанные правила. Дайте теоретическое обоснование им, каждый шаг обоснуйте:

а) правило сложения числа с суммой;

б) правило сложения суммы с числом. Решить и объяснить выбор действий.

363. а) У Саши было 6 значков, а у Лены 4 значка. Сколько значков у Саши и у Лены вместе?

б) У Саши было 6 значков, 2 значка он отдал Лене. Сколько значков осталось у Саши?

363. а) Столяр сделал 8 книжных полок, а кухонных полок на 3 меньше. Сколько кухонных полок сделал столяр? Сколько всего полок сделал столяр?

б) На елке горели 10 зеленых лампочек, а красных на 4 меньше. Сколько красных лампочек на елке?

363. а) На елку повесили 7 красных шаров, а синих на три больше. Сколько всего шаров повесили на елку?

б) Сережа вырезал 5 красных флажков, а зеленых на 4 больше. Сколько всего флажков вырезал Сережа?

363. а) Для детского сада купили 10 кукол, 8 заводных машин, а мячей столько, сколько кукол и машин вместе. Сколько купили мячей? б) В одной вазе 5 апельсинов, в другой 7 апельсинов, а в третьей столько, сколько в первой и во второй вместе. Сколько апельсинов в третьей вазе?

364. а) У пристани стояли 3 теплохода и 9 катеров. На сколько меньше было теплоходов, чем катеров?

б) В одном ряду 5 кустов смородины, а в другом 11 кустов. На сколько кустов смородины больше во втором ряду, чем в первом?

363. а) В школьном саду 7 яблонь, это на 3 больше, чем груш. Сколько всего яблонь и груш в саду?

б) В букете было 4 красных пиона, их на 1 больше, чем розовых. Сколько всего пионов было в букете?

363. а) Дети играли в слова. Катя написала 8 слов, это на 5 меньше, чем написала Ира. Сколько всего слов написали девочки?

б) В саду посадили саженцы. Вишен 4, их на три меньше, чем слив. Сколько всего саженцев посадили в саду?

363. а) У Жени было 20 открыток. 4 открытки она отдала для школьной стенгазеты, 3 открытки подарила подруге. Сколько открыток осталось у Жени?

б) В трамвае ехали 42 человека. На остановке вышли 8 человек, а вошли 12 человек. Сколько человек стало в трамвае?

363. а) Нина нашла 32 желудя, Катя на 6 желудей больше, чем Нина, а Оля на 9 желудей меньше, чем Катя. Сколько желудей нашла Оля?

б) Юннаты на первую грядку посадили 40 кустиков клубники, да вторую на 6 кустиков меньше, чем на первую, а на третью на 10 кустиков больше, чем на вторую. Сколько кустиков клубники юннаты высадили на третью грядку?

363. Вычислить рациональным способом, объяснить вычисления.

а) 209 + 66 + 91+34 + 72;

б) 57 + 68 + 89 + 32+11+43;

в) 38+ 89+ 32+11;

г) (251 + 37) + (63+ 49);

д) (368 + 81) + (32 + 119);

е)179 – (39 +120);

ж)157 – (29 + 27);

з) (173 + 34) – (53+ 24);

и) 203 + 69 + 97 + 31+ 93;

к) 157 +178 + 74 + 43 +22.