Алгебраические операции

Определение 10. Алгебраической операцией на множестве Х называется соответствие, при котором каждой паре элементов из множества Х соответствует единственный элемент этого же множества.

Условились алгебраические операции обозначить символами ( читается «звездочка») и(читается «кружок»).

Определение алгебраической операции символически можно записать так: - алгебраическая опреация на множествеХ, если ( х, у  Х) ( ! z  Х) х у=z.

Определение 11. Частичной алгебраической операцией на множестве называется соответствие, при котором некоторым парам элементов из множества Х соответствует единственный элемент того же множества.

Свойства алгебраических операций

1. Алгебраическая операция, заданная на множестве Х, называется ассоциативной (обладает свойством ассоциативности), если для любых элементов х, у, z из множества Х выполняется равенство (х у)z = х (уz).

2. Алгебраическая операция на множествеХ называется коммутативной (обладает свойством коммутативности), если для любых двух элементов х и у из множества выполняется равенство х у = ух.

3. Алгебраическая операция называется дистрибутивной (обладает свойством дистрибутивности) относительно алгебраической операции, если для любых элементову, х, и z из множества X выполняются равенства:

1) (х у) z = (х у) (уz) и 2) х (у z) = (х у)(х z)

4. Алгебраическая операция, заданная на множестве Х, называется сократимой (обладает свойством сократимости), если из условий а х = ау и х а = уаследует, что х = у для любых элементов а, х, у.

Задача 8.

На множестве натуральных чисел, кратных 5, заданы операции: сложение, вычитание. Какие из них являются на этом множестве:

а) алгебраическими;

б) частично алгебраическими ?

Решение. Пусть Х – множество натуральных чисел, кратных 5.

Любое натуральное число, кратное 5, имеет вид 5п, где п N.

Пусть 5n и 5m – два натуральных числа из множества Х, n  N, m N.

Тогда 5n + 5m= 5(n + m), причем (n + m) – сумма двух натуральных чисел, и, значит, число натуральное и единственное. Следовательно, складывая два любых натуральных числа, кратных 5, мы всегда получаем число, кратное 5, и это число единственное. Таким образом сложение на данном множестве Х есть алгебраическая операция.

Рассмотрим вычитание на множестве Х : 5n – 5m = 5(n – m), но n – m существует на множестве натуральных чисел лишь при условии, что n  m, то разность 5n – 5m существует и является числом, кратным 5. Таким образом, вычитание на множестве Х есть частичная алгебраическая операция.

Контрольные вопросы

1. Что называется отношением на множестве А? Приведите примеры отношения на множестве А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2. Сформулируйте свойства отношения эквивалентности, приведите примеры.

3. Сформулируйте свойства отношения порядка, отношения строгого линейного порядка, приведите примеры.

4. Какова связь отношения эквивалентности, заданного на множестве, и разбиения множества на классы? Приведите примеры.

5. Сформулировать определение алгебраической операции на множестве Х.

6. Приведите примеры алгебраических операций на множестве целых чисел.

7. Приведите примеры операций, не являющихся алгебраическими на множестве целых чисел.

Упражнения

261. На множестве B = {¹/₂, ³/₄, ⁵/₁₀, ²⁵/₅₀, ⁶/₈ , ⁴/₇} задано отношение «дробь х равна дроби у». Объясните, почему данное отношение является отношением эквивалентности, и запишите классы раз­биения множества В, определяемые им. Задайте на множестве В какое-нибудь отношение порядка.

262. Элементами множествах являются уравнения:

{2x – 3 = 1, 4х + 1 = – 1, х + 4 = 6, 6х + 5 = 2, – 6х + 9 = – 3, (2х + 1) = 0}.

Объясните, почему отношение «уравнение х равносильно уравнению у» является отношением эквивалентности, и запишите классы разбиения множества X, определяемые данным отношением.

263. Дано множество В = {23, 32, 24 – 18, 2³, 24, 12 – 3}. Какое из следующих отношений определяет разбиение множества на классы:

К – «значение выражения х меньше значения выражения у»;

Р – «значение выражения х равно значению выражения у»? выпишите эти классы?

264. На отрезке целых неотрицательных чисел от 0 до 999 задано отношение «иметь в записи одно и то же число цифр». Покажите, что оно является отношением эквивалентности; назовите наименьший и наибольший элементы каждого класса разбиения данного множества.

265. Сколько классов эквивалентности определяет на множестве целых неотрицательных чисел отношение «оканчивается одной и той же цифрой»? Назовите по одному представителю каждого класса. Задайте на множестве целых неотрицательных чисел какое-либо отношение порядка.

266. Какими свойствами обладают отношения равенства и включения для множеств? Есть ли среди них отношение порядка?

267. Отношение К – «иметь один и тот же остаток при делении на 3» – задано на множестве X = {х/хN, х < 10}. Объясните, почему отношение К является отношением эквивалентности, и запишет классы эквивалентности, определяемые этим отношением.

268. На множестве А = {5, 6, 7, 8, 9, 10} задано отношение р, х р у  х<у. Покажите, что оно является отношением порядка. Являете ли оно отношением линейного порядка?

269. На множестве А = {1, 2, 3, 4, 5,6,7} задано отношение К, х К у (х + у)2. Объясните, почему данное отношение является отношением эквивалентности, и запишите классы разбиения множества А, определяемые им.

270. На множестве А = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} задано отношение R, х R у х у.Покажите, что оно является отношением порядка. Является оно отношением линейного порядка?

271. Определите свойства следующих отношений:

Отношение «человек х одинакового роста с человеком у», заданного на множестве людей.

Отношение Е — «число х является модулем числа у» задано между элементами множеств А = {3, 4, 5, 6} и В = = {–3, –4, 3, 4, 5, –5, –6, 6}. Постройте граф и график отношения Е.

272. Элементы множества окружностей связаны отношением «окружность х касается окружности у».

273. На множестве людей задано отношение «человек х ниже человека у».

274. На множестве людей задано отношение «человек х имеет одинаковый цвет глаз с человеком у».

275. На множестве прямых задано отношение «прямая х перпендикулярна прямой у».

276. На множестве натуральных чисел задано отношение Р — «быть делителем». Какие из пар (2;15), (3; 12), (10; 150), (17; 17), (6; 15), (24; 6), (9; 1) принадлежат отношению Р?

277. Постройте график отношения, заданного на множестве действительных чисел уравнением: а) 3х + 4у = 12; б) у = 4 – х²; в) (х + 5)² + (у – 2)² = 4; г) у = –х² + 2х – 1; д) ху = 20.

278. Постройте график отношения, заданного на множестве действительных чисел при помощи неравенства:

а) 3х – 5у  4;

б) (х – 4)² + (у – 1)² > 36;

в) (х – 2)² + у²  4.

279. Сформулируйте свойства отношений «равно», «меньше», «не больше», «меньше на 2», заданных на множестве {1, 3, 5, 7, 9}, и постройте их графы. Какое из этих отношений является отношением: а) эквивалентности; б) порядка?

280. Докажите, что отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 6», заданное на множестве натуральных чисел, является отношением эквивалентности. Сколько классов эквивалентности определяет это отношение?

281. Какие из следующих отношений являются отношениями эквивалентности, а какие — порядка: а) равенство на множестве геометрических фигур; б) подобие на множестве геометрических фигур; в) равносильности на множестве уравнений; г) перпендикулярность на множестве прямых; д) «быть длиннее» на множестве отрезков?

282. Доказать, что вычитание является алгебраической операцией на множестве Z, а деление не является алгебраической операцией.

283. Приведите примеры операций, которые являются алгебраическими на множестве:

а) высказываний ; б) всех подмножеств универсального множества И .

284. Доказать, что вычитание является алгебраической операцией на множестве целых чисел, а деление не является на этом же множестве.

По теме данной главы студент должен уметь:

• устанавливать вид соответствия между элементами двух множеств;

• задавать соответствия различными способами.

• определять функциональные соответствия, находить их области определения и значения;

• распознавать прямую и обратную пропорциональность, выделять свойства, присущие только этим функциям и использовать их при решении задач;

• определять отношения эквивалентности, порядка, линейного порядка, доказывать их свойства;

• строить разбиение множества по данному отношению эквивалентности и решать обратную задачу.

• определять является или не является операция алгебраической на заданном множестве.