IV. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел

Литература [1] гл. III §§ 13, 14,15

1. Об аксиоматическом построении теории

При аксиоматическом построении какой-либо теории соблюдаются определенные правила:

• некоторые понятия теории выбираются в качестве основных, и принимаются без определения и называется неопределяемыми.

• формулируются аксиомы – предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрывают свойства основных понятий;

• каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл помощью основных и предшествующих данному понятий;

• каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называются теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

При аксиоматическом построении теории по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования. Прежде всего, она должна быть непротиворечивой и независимой.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.

Аксиомы, как правило, являются отражением многовековой практической деятельности людей, и этим обусловливается их справедливость.

В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Известными также считаются понятия множества, элемента множества и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'. Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах, предложенных итальянским математиком Дж. Пеано в 1891 году.

Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Его называют единицей и обозначают символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. (Аксиома индукции). Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что любой элемент а содержится в М, следует, что и а' содержится в М.

Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано, а аксиому четвертую – аксиомой индукции.

Запишем эти аксиомы в символической форме.

А₁)(1N)(aN) а'1;

А₂)(aN)(!bN) а'=b

А₃) (а,b,с N )с = а' с = b'  а = b;

A₄) MN1M(aM а'M)  M=N

Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы Пеано 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

___________________________________________________________________

Определение 1. Множество N. для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы натуральными числами.

______________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Определение 2. Если натуральное число b непосредственно следует за числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (предшествующим) числу b.

______________________________________________________________________________________________

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа (истинность теоремы вытекает сразу из аксиомы А₁).

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от единицы имеет предшествующее число b, такое, что b' = а.

В определении натурального числа ничего не говорит о природе элементов множества N. Значит, она может быть какой угодно. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возник­ший в процессе исторического развития общества ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5 ,..,

Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, которые будем считать известными.

Важно заметить, что в определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя.

1

1 a b c d

    …

х у

z

1. a

c

b

Рис. 16 Рис. 17

Задача 1.

На рисунках каждый элемент соединен стрелкой со следующим за ним элементом.

Установить, какие из множеств, приведенных на рисунках 15 и 16, являются моделями системы аксиом Пеано.

1. На рис. 16 изображено множество, в котором выполняются аксиомы 2 и 3, но не выполняется аксиома 1.

Аксиома 4 не будет иметь смысла, так как в множестве нет элемента, непосредственно не следующего ни за каким другим.

2. На рис. 17 показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 3, но не выполняется аксиома 4 – множество точек, лежащих на луче, содержит 1, и вместе с каждым числом оно содержит непосредственно следующее за ним число, но оно не совпадает со всем множеством точек, показанных на рисунке. Вывод: ни одно из множеств, изображенных на рис. 16 и 17, нельзя считать моделями системы аксиом Пеано.

Задача 2.

Докажем, что всякое натуральное число отлично от непосредственно следующего за ним натурального числа, т.е. (х )х  х'

Доказательство

Пользуемся аксиомой индукции – А₄.

Пусть М= {х/х , х  х'}, т.к. х   М  N.

Доказательство состоит из двух частей.

1. Докажем, что 1 М, т.е. 1  1' . Это следует из А₁.

2. Докажем, что х М => х'  М. Пусть х  М т.е. х  х'. Докажем, что х'  М , т.е. х'  (х')'. Из аксиомы А₃ следует х'  (х')'. Действительно, по А₃, если бы х' = (х')' то и х = х', а т.к. по предложению индукции х  М, то х  х', следовательно, приходим к противоречию. Значит, х'  (х')',  х'  М.

Здесь применено правило контрапозиции (ПК), широко применяемое в доказательствах «от противного».

Итак, мы получили:

М  N(1  М(x М => х'  М))  M = N, т.е. утверждение х  х' верно для любого натурального числа.

Контрольные вопросы

1. В чем суть аксиоматического построения теории?

2. Назовите основные понятия школьного курса планиметрии. Вспомните систему аксиом этого курса. Свойства каких понятий в них описываются?

3. Сформулируйте и запишите в символической форме аксиомы Пеано. '

4. Сформулируйте аксиоматическое определение натурального числа.

5. Продолжите определение натурального числа: «Натуральным числом называется элемент множества N,...».

6. Приведите примеры из учебников математики для начальных классов, в которых:

а) новое (для учащихся) число выступает как продолжение полученного отрезка натурального ряда;

б) устанавливается, что за каждым натуральным числом непосредственно следует только одно другое натуральное число.

Упражнения

285. Элементами множества являются группы черточек {I, II, III, IIII,...}. Удовлетворяет ли это множество аксиомам Пеано? Как определено здесь отношение «непосредственно следовать за». Рассмотрите эти же вопросы для множества {0, 00, 000, 0000,...}.

a) б)

в) г)

Рис. 17

286. На рисунке 17 а) каждый элемент соединен стрелкой со следую­щим за ним элементом. Можно ли считать множество моделью системы аксиом Пеано? Те же вопросы для множеств на рисунках 17 б), в), г).

287. Удовлетворяет ли аксиомам Пеано множество чисел {1, 2, 3 п, ...}, если отношение следования задано в нем так:

1 3  5 7….

2  4  6 8….

288. Приведите примеры заданий из учебников математики для начальных классов, в которых правильность выполнения заданий объясняется аксиомами Пеано.