3. Умножение целых неотрицательный чисел

______________________________________________________________________

Определение 10. Операция нахождения произведения целых не­отрицательных чисел называется операцией умножения.

___________________________________________________________________________________________________

Теоретико-множественное определение произведения. Пусть а = п(А), b = п(В).

______________________________________________________________________

Определение 11. Произведением чисел а и b называют число эле­ментов декартова произведения множеств А и В.

___________________________________________________________________________________________________

Символическая запись: а  b= п (А  В). Имеет место теорема.

Теорема 2. Произведение двух любых целых неотрицательных чи­сел всегда существует и определенно однозначно.

Свойства операции умножения

1. ( а, b N₀) а  b = b а (коммутативности);

2. ( а, b,c  N₀) а  (b  c)= (а  b) c= a  b  c (ассоциативности);

3. ( а, b,c  N₀) а  b = a  c b = c  а  b= c b  a = c (сократимости);

4. ( а, b,c  N) а  b < a  c  b < c  а  b< c b  a < c (монотонности);

5. Свойства дистрибутивности операции умножения относительно сложения слева и справа:

( а, b,c  N) а  ( b + c) ab +ac;

( а, b,c  N) (а + b)  c = ac +bc;

6. Свойства дистрибутивности операции умножения относительно вычитания слева и справа:

( а, b,c  N) а  ( b – c)= ab – ac;

( а, b,c  N) (а – b)  c = ac – bc;

Задача 8.

Доказать свойства:

а) коммутативность операции умножения;

б) дистрибутивность операции умножения относительно сложения.

Решение.

а) Докажем, что ( а, b N₀) а  b = b а

Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выражений, записанных в левой и правой частях этого числового равенства.

Пусть а = п(А); b = п(В), тогда а b = п (АВ),

а b = п (ВА).

Хотя декартово умножение не коммутативно (вообще говоря, АВ ВА), справедливо равенство п(АВ) = п (В  А). Чтобы доказать это, поставим в соответствие каждой паре (х, у) из АВ пару (у, х) из В  А, и наоборот, тогда между множествами A  В и В  А будет установлено взаимно однозначное соответствие и множества АВ и ВА будут равночисленны. Символически это записать так:

~

б) Докажем, что ( а, b,c  N) а  ( b + c) ab +ac;

Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выра­жений, записанных в левой и правой частях этого числового раве­нства. Пусть а = п(А); b = п(В); с = п(С), тогда b + с = п(В  С), если В  С=, а(b + с) = п(А (В  С)), аb = п (А  В); ас = п(АС), аb + ас = п((А В) (А С)), если (А В)  (АС) =.

Имеет место свойство дистрибутивности декартова умножения относительно объединения множеств, т.е.

А  (B С) = (АB) (АC).

Если множества равны, то и количество элементов их одинаково, т.е.

п(А(ВС)) = п((А В)(А С)). Символически это мож­но записать так:

А  (В  С) = (А  В)  (А  С) => п (А (В  C) = п((А В)  (А  С)) => а(b + с) = аb + ас.

В школе используется определение умножения, основанное на понятии суммы одинаковых слагаемых.

______________________________________________________________________

Определение 12. Если а и b – целые неотрицательные числа, то:

a b = а + а+…+а при b>1;

b слагаемых

а  1 = а при b=1

а  0 = 0 при b = 0.

______________________________________________________________________

Первую строчку определения можно сформулировать так: произ­ведением чисел а и b назовем сумму b слагаемых, каждое из которых равно а. Из данного определения следует, что если множества A₁, А₂,...,А_b имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А₁ А₂  ...  А_b содержит а  b эле­ментов.

Таким образом, произведение а  b равно числу элементов в объе­динении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов, и никакие два из них не пересекаются. Символически это можно запи­сать так:

А₁ А2  ...  А_b = А, причем А_i A_j = , где i j и i, j=1,2, ...,b

п(А₁) = п(А₂) =... = п(А_b)=a, тогда п(А) = п(А₁  А₂  ...  А_b) = п(А₁) + п(А₂) + ... + п(А_b)= а + а+ +... + а = аb. В начальном курсе математики определение произведения вво­дится по частям: сначала появляется определение «Сумму одинако­вых слагаемых называют произведением», например, 2 + 2 + 2 + 2 = 2 4, затем «При умножении любого числа на единицу получается то число, которое умножали», и запись а  1 = а и, наконец, «Произведе­ние любого числа и нуля считают равным нулю» и запись а  0 = 0.

Задача 9.

Используя определение произведения, докажите, что 43 = 12.

Решение.

Возьмем множество А, в котором четыре элемента, и множество В, в котором три элемента. Пусть это будут множества:

А = {а, b, с, d}, п(А) = 4 и B={m, n, k}, п(В) = 3.

Найдем декартово произведение множеств А и В: АВ - {(а, т), {а, п), (а, k), (b, т), (b, n), (b, к), (с, т), (с, n), (с, k), (d, т), (d, п), {d, к)}. Оно содержит 12 элементов, т.е. п (АВ) = 12. Следовательно, по определению, а = п (А);b = п(В), то аb= п{АВ) получим 43 = 12.

Задача 10.

Решить и объяснить выбор действия.

В 3 банки положили по 8 огурцов. Сколько всего огурцов в этих банках?

Решение.

Пусть А₁ – множество огурцов в первой банке, А₂ – множество огурцов во второй банке, А₃ – множество огурцов в третьей банке, причем п(А₁)=п(А₂)=п(А₃)=8.

А – множество всех огурцов в банках, тогда А =А₁  А₁  А₃, причем А₁А₂ = , А₁А₃ = , А₂А₃ = , тогда n(А)= n (A₁A₁A₃) = п (А₁) + п (А₂) + п (А₃) = 8 + 8 + 8 = 83 = 24. Или кратко, три раза по восемь – это:

8+ 8 + 8 = 83 = 24

3 раза

В трех банках 24 огурца.

Эта задача на уяснение смысла действия умножения.

Задача 11.

Решить и объяснить выбор действий (на смысл отношения «боль­ше в...» в прямой форме).

Сережа вырезал 2 треугольника, а квадратов в три раза больше, чем треугольников. Сколько квадратов вырезал Сережа?

Решение.

Пусть А – множество треугольников, которые вырезал Сережа, п(А) = 2. В – множество квадратов, которые вырезал Сережа, сколько их – надо найти, п(В) – ?

Квадратов в три раза больше, чем треугольников, это значит, квадратов 3 раза по столько, сколько треугольников. Схематически это можно изобразить так:

A B

B₁ B₂ B₃

А~В₁~В₂~В₃ => п(А) = n(B₁) = п(В₂) = n(B₃) = 2.

Множество В – объединение множеств В₁, В₂ и В₃, т.е. В = В₁ В2 В₃, причем В₁В₂= , В₁  В₃ = , В₂  В₃ = , тогда n (B) = n (В₁ В₂ В₃) = п (В₁) + п (В₂) + п (В₃) = 2 + 2 + 2 = 23 = 6. Или кратко, квад­ратов в 3 раза больше, чем треугольников, т.е. квадратов три раза постольку, сколько треугольников, т.е. 3 раза по 2, а это 2 + 2 + 2 = 23 = 6.

Сережа вырезал 6 квадратов.

Задача 12.

Решить и объяснить выбор действий (на смысл отношения «меньше в...» в косвенной форме).

Для урока труда девочка принесла 6 листов красной бумаги, это в 2 раза меньше, чем зеленой. Сколько листов зеленой бумаги принесла девочка?

Решение.

Красной бумаги 6 листов, это в 2 раза меньше, чем зеленой, тогда зеленой бумаги в 2 раза больше, чем красной. Пришли к задаче, ана­логичной предыдущей, приводятся аналогичные рассуждения. Кратко: зеленой бумаги в 2 раза больше, чем красной, т.е. 2 раза по 6, и это можно записать 6 + 6 = 62 = 12.

Девочка принесла 12 листов зеленой бумаги.

Задача 13.

Вычислить рационально, объяснив вычисление: 7731 + 3123.

Первый способ. Можно найти значение выражения в порядке вы­полнения действий.

1)7731=2387; 2)3123=713; 3)2387 + 713 = 3100.

Второй способ. Можно найти значение выражения, пользуясь свойствами операций. Используя коммутативность умножения, можно поменять местами множители 77 и 31 или 31 и 23. Далее можно воспользоваться дистрибутивностью умножения относительно сложения слева или справа.

7731 + 31 23 3177 + 31  23 31(77 + 23) = 31 100 = 3100.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств.

2. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через сумму.

3. Дайте определение умножения, используемое в начальном курсе математики.

4. Запишите свойство коммутативности умножения, дайте его теоретико-множественное истолкование.

5. Запишите свойство ассоциативности умножения. Приведите пример на применение этого свойства.

6. Запишите свойство дистрибутивности умножения относительно сложения. В каком виде используется это свойство при начальном обучении математике?

Упражнения

363. Используя определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств, покажите, что:

а) 2  4 = 8; б)1 3 = 3; в) 0  5 = 0.

363. Используя определение произведения целых неотрицательных чисел через сумму, покажите, что:

а) 2  4 = 8; б) 1  3 = 3; в) 0  5 = 0.

363. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются действием умножения:

а) На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 7 таких пальто?

б) Юннаты посадили 3 ряда березок по 5 березок в каждом. Сколько всего березок посадили юннаты?

363. а) В пруду плавали 4 гуся, а уток в 3 раза больше. Сколько уток плавало в пруду?

б) В шкафу стояли 6 глубоких тарелок, а мелких в 2 раза больше. Сколько всего тарелок стояло в шкафу?

363. а) В цирковом представлении участвовали 6 дрессированных собачек, их было в 3 раза меньше, чем дрессированных голубей. Сколько дрессированных голубей участвовало в представлении?

б) Коля поймал 8 рыб, в 2 раза меньше, чем Женя. Сколько рыб поймали оба мальчика?

363. Решить разными способами:

а) Двум мальчикам раздали по 3 зеленых и по 4 красных круга каждому. Сколько всего кругов раздали этим мальчикам?

б) Для школьного зала купили новые стулья. 2 ряда по 5 стульев поставили на сцену и 8 рядов по 5 стульев поставили в зале. Сколько всего новых стульев поставили?

363. Вычислить рациональными способами, объяснить вычисления.

а) 319+19-27;

б) 5718 –1837;

в) 4  17  5;

г) 487525;

д) (17+ 25) 4;

е) 13156 – 3613;

ж) 1728 + 17217;

з) 2  4  17  25;

и) (53 + 35) 2;

к)1875.